Disquisitiones Arithmeticae (лат« Арифметические исследования ») — учебник потеории чисел,написанный на латыниКарлом Фридрихом Гауссомв 1798 году, когда Гауссу был 21 год, и опубликованный в 1801 году, когда ему было 24 года. Он оказал революционное влияние на теорию чисел, создав эта область была поистине строгой и систематической и проложила путь современной теории чисел. В этой книге Гаусс собрал и согласовал результаты по теории чисел, полученные такими выдающимися математиками, какФерма,Эйлер,ЛагранжиЛежандр, добавив при этом свои глубокие и оригинальные результаты.
Disquisitiones охватывает как элементарную теорию чисел , так и часть области математики, которая сейчас называется алгебраической теорией чисел . Гаусс не признавал в явном виде концепцию группы , которая является центральной в современной алгебре , поэтому он не использовал этот термин. Его собственное название предмета было «Высшая арифметика». В своем предисловии к «Рассуждениям» Гаусс описывает объем книги следующим образом:
Исследования, которым будет посвящен этот том, относятся к той части математики, которая занимается целыми числами.
Гаусс также пишет: «При столкновении со многими трудными проблемами выводы были опущены ради краткости, когда читатели ссылаются на эту работу». («Quod, in pluribus quaestionibus difficilibus,демонстрировать синтетическую сумму, analysinque per quam erutae sunt подавлени, imprimis brevitatis studio tribuendum est, Cui Quantum Fieri Poterat Consulere Oportebat»)
Книга разделена на семь разделов:
Эти разделы разделены на 366 пронумерованных пунктов, в которых излагаются теоремы с доказательством или иным образом развиваются замечания или мысли.
Разделы с I по III представляют собой, по сути, обзор предыдущих результатов, включая малую теорему Ферма , теорему Вильсона и существование примитивных корней . Хотя немногие из результатов в этих разделах являются оригинальными, Гаусс был первым математиком, который систематически объединил этот материал. Он также осознал важность свойства уникальной факторизации (обеспечиваемого фундаментальной теоремой арифметики , впервые изученной Евклидом ), которую он переформулирует и доказывает, используя современные инструменты.
Начиная с Раздела IV, большая часть работ является оригинальной. В разделе IV развивается доказательство квадратичной взаимности ; Раздел V, занимающий более половины книги, представляет собой всесторонний анализ бинарных и троичных квадратичных форм . Раздел VI включает два различных теста на простоту . Наконец, раздел VII представляет собой анализ круговых многочленов , который завершается приведением критериев, определяющих, какие правильные многоугольники можно построить , т. е. можно построить только с помощью циркуля и немаркированной линейки.
Гаусс начал писать восьмой раздел о сравнениях высшего порядка, но не завершил его, и после его смерти он был опубликован отдельно под названием Disquisitiones Generales de Congruentiis (лат. «Общие исследования по сравнениям»). [1] В нем Гаусс обсуждал сравнения произвольной степени, рассматривая проблему общих сравнений с точки зрения, тесно связанной с той, которую позднее заняли Дедекинд , Галуа и Эмиль Артин . Трактат открыл путь к теории функциональных полей над конечным полем констант. Уникальными идеями этого трактата являются четкое признание важности морфизма Фробениуса и версия леммы Гензеля .
Disquisitiones была одной из последних математических работ, написанных на научной латыни . Английский перевод не был опубликован до 1965 года.
До публикации Disquisitiones теория чисел представляла собой набор изолированных теорем и гипотез. Гаусс привел работы своих предшественников вместе со своей собственной оригинальной работой в систематическую структуру, заполнил пробелы, исправил необоснованные доказательства и расширил тему во многих отношениях.
Логическая структура Disquisitiones ( изложение теоремы , за которым следует доказательство , за которым следуют следствия ) установила стандарт для более поздних текстов. Признавая первостепенную важность логического доказательства, Гаусс также иллюстрирует многие теоремы числовыми примерами.
« Дискусства» стали отправной точкой для других европейских математиков XIX века, в том числе Эрнста Куммера , Питера Густава Лежена Дирихле и Рихарда Дедекинда . Многие из аннотаций Гаусса по сути являются анонсами его дальнейших исследований, некоторые из которых остались неопубликованными. Его современникам они, должно быть, казались особенно загадочными; теперь их можно считать содержащими зародыши теорий L-функций и , в частности, комплексного умножения .
Disquisitiones продолжали оказывать влияние в 20 веке . Например, в разделе V статьи 303 Гаусс суммировал свои расчеты чисел классов собственных примитивных бинарных квадратичных форм и предположил, что он нашел все из них с номерами классов 1, 2 и 3. Позже это было интерпретировано как определение полей мнимых квадратичных чисел с четным дискриминантом и номером класса 1, 2 и 3 и расширено на случай нечетного дискриминанта. Этот более общий вопрос, который иногда называют проблемой числа классов , был в конечном итоге подтвержден в 1986 году [2] (конкретный вопрос, заданный Гауссом, был подтвержден Ландау в 1902 году [3] для класса номер один). В разделе VII статьи 358 Гаусс доказал то, что можно интерпретировать как первый нетривиальный случай гипотезы Римана для кривых над конечными полями ( теорема Хассе–Вейля ). [4]
СМИ, связанные с Disquisitiones Arithmeticae, на Викискладе?
В латинском Wikisource есть оригинальный текст, связанный с этой статьей: Disquisitiones arithmeticae (латинский оригинал) (первое издание 1801 г.) (изд. 1870 г.) Во французском Wikisource есть оригинальный текст, связанный с этой статьей: Recherches arithmétiques (французский перевод) (изд. 1807 г.)