Схема для горизонтальных циферблатов

Набор инструкций, используемых для изготовления горизонтальных солнечных часов

Схема для горизонтальных циферблатов — это набор инструкций, используемых для построения горизонтальных солнечных часов с использованием методов построения циркуля и линейки , которые широко использовались в Европе с конца пятнадцатого века до конца девятнадцатого века. Обычные горизонтальные солнечные часы представляют собой геометрическую проекцию экваториальных солнечных часов на горизонтальную плоскость.

Особые свойства гномона, указывающего на полярную точку (осевого гномона), были впервые известны мавританскому астроному Абдулу Хасану Али в начале тринадцатого века ^[1], и это открыло путь к появлению циферблатов, с которыми мы знакомы, циферблатов, в которых стиль и часовые линии имеют общую основу.

На протяжении столетий мастера использовали различные методы для разметки часовых линий солнечных часов, используя методы, которые были им знакомы, кроме того, эта тема увлекла математиков и стала предметом изучения. Графическая проекция когда-то была общепринятым предметом обучения, хотя ее вытеснили тригонометрия , логарифмы , логарифмические линейки и компьютеры , которые сделали арифметические вычисления все более тривиальными. Графическая проекция когда-то была основным методом разметки солнечных часов, но сейчас она отошла на второй план и представляет только академический интерес.

Первый известный документ на английском языке, описывающий схему графической проекции, был опубликован в Шотландии в 1440 году, что привело к появлению серии отдельных схем для горизонтальных циферблатов, каждая из которых имела характеристики, соответствующие целевой широте и методу построения того времени.

Контекст

Мечеть Омейядов, также известная как Большая мечеть Дамаска

Искусство дизайна солнечных часов заключается в создании циферблата, который точно отображает местное время. Дизайнеры солнечных часов также были очарованы математикой циферблата и возможными новыми способами отображения информации. Современное циферблатирование началось в десятом веке, когда арабские астрономы сделали великое открытие, что гномон, параллельный земной оси, создаст солнечные часы, часовые линии которых будут показывать равные часы или законные часы в любой день года: циферблат Ибн аль-Шатира в мечети Омейядов в Дамаске является старейшим циферблатом этого типа. ^[a] Циферблаты этого типа появились в Австрии и Германии в 1440-х годах. ^[2]

Циферблат можно выложить, используя прагматичный подход, наблюдая и отмечая тень через равные интервалы в течение дня в каждый день года. Если широта известна , циферблат можно выложить, используя геометрические методы построения , которые опираются на проекционную геометрию , или путем расчета с использованием известных формул и тригонометрических таблиц, обычно с использованием логарифмов , или логарифмических линеек , или, в последнее время, компьютеров или мобильных телефонов . Линейная алгебра предоставила полезный язык для описания преобразований .

Схема солнечных часов использует компас и линейку , чтобы сначала вывести основные углы для этой широты, а затем использовать это для рисования часовых линий на циферблате. В современной терминологии это означало бы, что графические методы использовались для выведения и и из него . ^[b] ${\displaystyle \sin x}$ ${\displaystyle m\tan y}$ ${\displaystyle \sin x.\tan y}$

Базовый расчет

• Используйте большой лист бумаги.
• Начиная снизу, проводится горизонтальная линия, а затем вертикальная линия вверх по центру. Место их пересечения становится точкой начала координат O, основанием гномона.
• Горизонтальная линия проведите линию, которая фиксирует размер циферблата. Там, где она пересекает центральную линию, находится важная точка построения F
• Из точки О вверх под углом широты проведена вспомогательная линия. ^[c]
• Используя квадрат (проведите линию), проведите линию от F через линию построения так, чтобы они пересекались под прямым углом. Эта точка E является важной точкой построения. Если быть точным, то важна линия FE, поскольку ее длина . ${\displaystyle \sin \phi }$
• Используя циркуль или циркуль, длина FE была скопирована вверх по центральной линии от F. Новая точка построения называется G. Линии построения и FE стерты.

• 
  Установка циферблата для 52° с.ш. Три начальные линии.
• 
  Отмечаем широту, прокладываем длину и копируем в точку G по вертикали. ${\displaystyle \sin \phi }$
• 
  Касательная:Распределение длины ${\displaystyle \tan \theta }$
• 
  Тангенс синуса: разложение линий длины , где h — целое число 0 .. 5 ${\displaystyle \sin \phi \tan h}$

Такие геометрические построения были хорошо известны и оставались частью учебной программы средней школы (в Великобритании) до революции Новой математики в 1970-х годах. ^[3]

Схема, показанная выше, была использована в 1525 году (из более ранней работы 1440 года) Дюрером и используется до сих пор. Более простые схемы были более подходящими для циферблатов, разработанных для низких широт, требующих узкого листа бумаги для конструкции, чем те, которые были предназначены для высоких широт. Это побудило искать другие конструкции.

Горизонтальные циферблаты

Первая часть процесса является общей для многих методов. Она устанавливает точку на линии север-юг, которая находится на расстоянии sin φ от линии меридиана.

Ранний шотландский метод (1440) Дюрер (1525) Рор (1965)

• Начните с базового метода, показанного выше.
• Из точки G проводится ряд линий, отстоящих друг от друга на 15° и достаточно длинных, чтобы они пересекали линию, проходящую через точку F. Они отмечают часовые точки 1, 2, 3, 4, 5 и 7, 8, 9, 10, 11.
• Центр циферблата находится внизу, в точке О. Линия, проведенная от каждой из этих точек до О, будет часовой линией на готовом циферблате. ^[4]

Существенной проблемой является ширина бумаги, необходимая в более высоких широтах. ^[5]

• 
  Установка циферблата для 52° с.ш. Три начальные линии.
• 
  Отмечаем широту, прокладываем длину и копируем в точку G по вертикали. ${\displaystyle \sin \phi }$
• 
• 
• 

Бенедетти (1574)

De gnomonum umbrarumque солярий обычно

Джамбаттиста Бенедетти , обедневший дворянин, работал математиком при дворе Саволы. Его книга, описывающая этот метод, называлась De gnomonum umbrarumque solarium usu, опубликованная в 1574 году. В ней описывается метод отображения законных часов, то есть равных часов, которые мы используем сегодня, в то время как большинство людей все еще использовали неравные часы, которые делили часы дневного света на 12 равных часов, но они менялись по мере течения года. Метод Бенедетти делит квадрант на сегменты по 15°. Сделаны две конструкции: параллельная горизонтальная линия, которая определяет расстояния tan h, и гномоническая полярная линия GT, которая представляет sin φ.

• Нарисуйте квадрант GRB с сегментами по 15°. GR горизонтален.
• Из ПЭ проводится параллельная горизонтальная линия, и в месте ее пересечения с лучами под углом 15° ставятся отметки.
• GX — широта. T — точка пересечения с PE. GTE — гномонический треугольник.
• Длина GT копируется в нижнюю часть E, давая точку F.
• Часовые линии проведены от F, и циферблат завершен.

Бенедетти включил инструкции по рисованию точечного гномона, чтобы можно было наносить на карту неравные часы. ^[6]

• 
  Квадрант с сегментами 15°.
• 
  построение лучей.
• 
  Поиск источника.
• 
  Добавляем часовые линии.
• 
  Циферблат.

Метод Клавиуса (1586)

( Fabica et usus Instrumenti ad horologiorumscriptionem. ) Рим, Италия.

Метод Клавиуса рассматривает четверть циферблата. Он рассматривает горизонтальную и перпендикулярную к полярной оси плоскости как два прямоугольника, шарнирно закрепленные вокруг верхнего края обоих циферблатов. Полярная ось будет находиться под углом φ к полярной оси, а часовые линии будут равномерно распределены на полярной плоскости экваториального циферблата. (15°). Часовые точки на полярной плоскости будут соединяться с соответствующей точкой на горизонтальной плоскости. Горизонтальные часовые линии проводятся в начало координат.

^[7]

• Начертите гномический треугольник, лежащий на гипотенузе.
• На меньшей стороне нарисуйте (экваториальный) квадрат с часовыми делениями через 15°.
• Циферблат изготовлен с помощью циркуля, размеры которого определяются треугольником.
• Известны часовые линии 12, 3 и 6. Часовые линии 1 и 2 берутся со стороны квадрата.
• Проводится диагональ от 12 до 6, и параллельные ей линии проводятся через 1 и 2, давая 5 и 4.
• Утренний циферблат является отражением этого.

• 
• 
• 
• 
• 
• 

Метод Стеррапа (1652)

• Из точки G проводится ряд линий, отстоящих друг от друга на 15° и достаточно длинных, чтобы они пересекали линию, проходящую через точку F. Они отмечают часовые точки 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3.
• Центр циферблата находится внизу, в точке О. Линия, проведенная от каждой из этих часовых точек до О, будет часовой линией на готовом циферблате.

^[5]

• 
  Установка циферблата для 52° с.ш. Три начальные линии.
• 
  Отмечаем широту, прокладываем длину и копируем в точку G по вертикали. ${\displaystyle \sin \phi }$
• 
  От G-литья по горизонтали. ${\displaystyle \tan h\sin \phi }$
• 
  Фактические часовые линии 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3.
• 
  Строительные линии удалены.
• 
  Нахождение угла между 4 и 5.
• 
  Рисунки 4 и 5.
• 
  Строительные линии удалены. Завершенная циферблатная пластина для 52° с.ш. Стремя (1652)

Метод Беттини (1660)

Иезуит Марио Беттини разработал метод , который был посмертно опубликован в книге Recreationum Mathematicarum Apiaria Novissima 1660.

• Начертите гномонический треугольник с гипотенузой напротив линии меридиана и φ к основанию, C. Другую точку обозначьте M, прямой угол обозначьте G.
• Через точку М проведена горизонтальная линия, это точка равноденствия.
• Нарисована окружность с центром в точке М и радиусом MG. Точки G2 и G3 являются пересечениями окружности и меридиана.
• В верхних квадрантах точки отмечены через каждые 30°. Две из них названы P, Q.
• Конструктивные линии проведены из точек G2 и G3 через P и Q, отмечены пересечения с точкой равноденствия.
• В завершение через эти точки из точки С проводятся часовые линии, а циферблат придается квадратная форма.

^[8]

• Метод Беттини 1660
• 
  Гномонический треугольник
• 
  Круг, отмеченный через каждые 30°
• 
  Строительные линии
• 
  Часовые линии, проведенные к началу координат
• 
  Циферблат

Лейборн (1669)

Уильям Лейборн опубликовал свое « Искусство набора номера » ^[d] в 1669 году, с его шестиступенчатым методом. Его описание в значительной степени опирается на термин линия хорд , который современный диаллист заменяет транспортиром . Линия хорд была шкалой, найденной на секторе , которая использовалась вместе с набором циркуль или циркулей. Она все еще использовалась навигаторами вплоть до конца 19-го века. ^[e]

• Нарисуйте окружность и два ее главных диаметра: E–W и S–N (сверху вниз). O — их точка пересечения или начало координат.
• Используя шкалу хорд или транспортир, отложите две линии: «0a» , которая находится на расстоянии 52° от OS, и «0b», которая находится на расстоянии 52° от OW (они будут находиться под прямым углом). Точки «a» и «b» важны).
• С помощью линейки проведите линию, соединяющую E с «a», она пересекает SN (линию меридиана) в точке P, которая называется полюсом мира . Теперь соедините E с «a», она соединяет AE. Эта точка важна, так как именно там меридиан пересекает окружность равноденствия . Точки E, AE и W лежат на окружности равноденствия. Следующая задача — использовать эту информацию для определения центра и построения окружности. Используйте вспомогательную линию, чтобы соединить AE и W. В центральной точке проведите линию под прямым углом. Точка пересечения линии с SN (меридианом) будет C, центром окружности равноденствия. Используйте C, чтобы нарисовать дугу от E до W, она пройдет через AE.
• Теперь есть полуокружность, проходящая через E и W, и равноденственная дуга, проходящая через E и W. Разделите полуокружность на 12 равных частей, т.е. углов по 15°. Отметьте "точкой построения". ^[f]
• Линейка соединяет точку О с точками на полуокружности. Эти линии пересекают равноденственную дугу: создается ряд неравных точек («маркеров»).
• Линейка из точки P (полюс мира) проводит линию от этих маркеров обратно по полукругу. Место пересечения будет «часовой точкой»; эти часовые точки неравномерно расположены.
• Часовые линии проведены от каждой из этих «часовой точки» к точке начала координат O. Начало координат — это основание стиля, срезанное под углом 52°. ^{[10] [5]}

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Метод Озанама (1673 г.) Мэйолла (1938 г.)

Для этого метода требуется гораздо меньший лист бумаги ^[5] , что является большим преимуществом для более высоких широт.

• Из точки G проводится ряд линий, отстоящих друг от друга на 15° и достаточно длинных, чтобы они пересекали линию, проходящую через точку F. Они отмечают часовые точки 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3 и представляют собой точки . ${\displaystyle \tan h\sin \phi }$
• Центр циферблата находится внизу, в точке О. Линия, проведенная от каждой из этих точек до О, будет часовой линией на готовом циферблате. ^[4]
• Линии, проходящие через 9 и 3, продлеваются до линии WE, а линия, опущенная ортогонально от 9 и 3 до линии WE, называется точками пересечения W' и E'. От W и E проводятся еще две линии на расстоянии 15° друг от друга, они пересекают вертикали, создавая часовые точки 7, 8 и 4, 5. Линии, проведенные от 0 до этих часовых точек, являются часовыми линиями на конечном циферблате.

^[5]

• 
  Установка циферблата для 52° с.ш. Три начальные линии.
• 
  Отмечаем широту, прокладываем длину и копируем в точку G по вертикали. ${\displaystyle \sin \phi }$
• 
  От G-литья по горизонтали. ${\displaystyle \tan h\sin \phi }$
• 
  Фактические часовые линии 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3.
• 
  Строительные линии удалены.

Энциклопедический метод (1771)

Этот метод использует свойства хорд для установления расстояния в верхнем квадранте, а затем переносит это расстояние в нижний квадрант, так что устанавливается. Опять же, перенос этой меры на хорды в верхнем квадранте. Последние строки устанавливают формулу = ${\displaystyle m.\sin \theta }$ ${\displaystyle \sin \phi \sin \theta }$ ${\displaystyle \tan \kappa =}$ ${\displaystyle \sin \theta \sin \phi \over \cos \theta }$ ${\displaystyle \tan \theta \sin \phi }$

Затем это переносится симметрией на все квадранты. Это использовалось в Encyclopaedia Britannica, первое издание 1771 г., шестое издание 1823 г. ^[11]

• Сначала гномон чертится против линии север-юг. При этом чертится диаметр под углом φ к вертикали; его отражение также понадобится.
• Окружность размечена с интервалом 15° в верхних квадрантах. Проведены хорды, параллельные горизонтали (длина этих хорд будет sin Θ).
• Измерение каждой хорды переносится для формирования шкалы вдоль нижних радиусов. При соединении эти точки образуют ряд параллельных линий, которые имеют длину sin θ. sin φ.
• Эти измерения переносятся на хорду.
• Конечные часовые линии проводятся от начальных точек через эти точки пересечения. ( = ) ^[12] ${\displaystyle \tan \kappa =}$ ${\displaystyle \sin \theta \sin \phi \over \cos \theta }$ ${\displaystyle \tan \theta \sin \phi }$

• 
  Начертите гномон и диаметры под заданным углом.
• 
  Отметьте верхние квадранты под углом 15° и соедините их хордами.
• 
  Перенесите длину полухорды на нижний радиус и проведите поперек.
• 
  Поднять вертикали
• 
  Проведите часовую линию через перекрестки.
• 
  Получившаяся шкала соответствует 52°.

де Целль (1760) (1790) Метод Во (1973)

Метод дона Франсуа Бедоса де Целля (1760) ^[13] , также известный как метод Во (1973) ^{[14] [5]}

• Из точки G проводится ряд линий, отстоящих друг от друга на 15°, достаточно длинных, чтобы они пересекали линию, проходящую через точку F. Они отмечают часовые точки 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3, если взять только 3 и представить точки . ${\displaystyle \tan h\sin \phi }$
• Центр циферблата находится внизу, в точке О. Линия, проведенная от каждой из этих точек до О, будет часовой линией на готовом циферблате. ^[4]
• Если бумага достаточно большая, то метод выше работает от 7 до 12 и от 12 до 5, а значения до и после 6 вычисляются с помощью симметрии. Однако есть другой способ разметки 7 и 8, а также 4 и 5. Назовем точку, где 3 пересекает линию, R и проведем линию под прямым углом к ​​базовой линии. Назовем эту точку W. Соединим W и F вспомогательной линией. Во назовем точки пересечения с часовыми линиями K, L, M.
• Используя циркуль или циркуль, добавьте к этой линии еще две точки N и P так, чтобы расстояния MN = ML, а MP = MK. Недостающие часовые линии проводятся от O через N и через P. Конструктивные линии стираются. ^{[4] [5]}

• 
  Установка циферблата для 52° с.ш. Три начальные линии.
• 
  Отмечаем широту, прокладываем длину и копируем в точку G по вертикали. ${\displaystyle \sin \phi }$
• 
  От G-литья по горизонтали. ${\displaystyle \tan h\sin \phi }$
• 
  Фактические часовые линии 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3.
• 
  Строительные линии удалены.
• 
  Построение линий 7, 8, 4, 5
• 
  Отметка линий 7, 8, 4, 5
• 
  Завершенная циферблатная пластина для 52° с.ш. Бедос де Сель (1790)

Метод Николсона (1825)

Этот метод впервые появился в «Популярном курсе чистой и смешанной математики» Питера Николсона в 1825 году. Он был скопирован School World в июне 1903 года, затем в «Sundial and Spheres» Кеннета Линча в 1971 году. ^[15] Он начинается с рисования хорошо известного треугольника и берет вершины, чтобы нарисовать две окружности с радиусом (OB) sin φ и (AB) tan φ. Рисуются линии под углом 15°, пересекающие эти окружности. Линии проводятся горизонтально и вертикально из этих окружностей, и их точка пересечения (OB sin t,AB cos t) находится на часовой линии. То есть tan κ = OB sin t/ AB cos t, что разрешается в sin φ. tan t.

• Проведите линию NS и линию EW, пересекающиеся в начале координат O. В удобной точке в первом квадранте соедините оси линией, установленной под целевым углом. Это образует базовый треугольник OAB.
• Установите циркуль на длину OB и впишите окружность. Установите циркуль на AB и впишите концентрическую окружность. На обеих этих окружностях отметьте углы в 15°.
• Проведя линии вертикально от внутреннего круга и горизонтально от внешнего круга, отметьте каждое из пересечений. Они находятся на часовых линиях.
• Соедините точки пересечения с началом координат.

^[15]

• 
  Основной треугольник
• 
  Круги
• 
  Мера 15°
• 
  Точки пересечения
• 
  Завершенный циферблат

Шкалы набора номера Фостера Серлеса (1638)

• На циферблате нарисован прямой угол, а шкала широты нанесена на ось x .
• На циферблате часов поперек нанесена точка широты цели. Часовая шкала располагается от этой точки до полуденной линии (условно нулевая точка находится на полуденной линии).
• Каждая из точек часов копируется на циферблат, и эта процедура повторяется, давая часы по обе стороны от полудня. Для соединения этих точек с началом координат используется прямая кромка, таким образом рисуя часовые линии для этого местоположения.
• Вертикальная линия, проходящая через заданную точку широты, и горизонтальная линия, проходящая через точку полудня, пересекутся пополам на отметке трех часов (с 9:00 до 15:00).
• Стиль будет иметь тот же угол, что и широта.

• 
• 
• 
• 

^[16]

Сафея (Ас-Сафиах)

Это был ранний и удобный метод, который можно было использовать, если у вас был доступ к астролябии , как у многих астрологов и математиков того времени. Метод включал копирование проекций небесной сферы на плоскую поверхность. Вертикальная линия проводилась с помощью линии под углом широты, проведенной на бисекции вертикали с небесной сферой. ^[17]

Смотрите также

• Лондонский циферблат
• Схема для вертикальных наклонных циферблатов

Примечания

1. Время измерялось путем деления светового дня на двенадцать с использованием неравных часов , известных как итальянские часы или вавилонские часы .
2. Британское общество солнечных часов публикует глоссарий компьютерных терминов и символов, которые обычно используются для их представления. Широта обозначается как phi , или φ , или Φ. ${\displaystyle \phi }$
3. Все циферблаты на этих иллюстрациях используют широту 52°, она была выбрана случайным образом, но примерно соответствует широте Блетчли-парка , Гааги или Билефельда .
4. Искусство циферблата: Геометрически, с помощью шкалы и циркуля; Арифметически, с помощью канонов синусов и тангенсов; Инструментально, с помощью тригонального инструмента...; К которому добавлено Приложение; Показывающее, как с помощью шкалы и циркуля вписывать такие круги сферы в планы солнечных часов, которые покажут (помимо часа дня) суточное движение Солнца...
5. Линия аккордов доступна на металлической линейке строителей (линия аккордов Stanley 60R) в 2015 году. ^[9]
6. Это можно сделать, используя линию хорд, установленную на 60° и подразделяющую ее.

Ссылки

Цитаты

1. "BSS Glossary". British Sundial Society. Архивировано из оригинала 10 октября 2007 года . Получено 2 мая 2011 года .
2. Джонс 1980, стр. 6.ошибка sfn: нет цели: CITEREFJones1980 ( помощь )
3. Дарелл 1921.
4. Waugh 1973, стр. 38–39.
5. Сойер 191.
6. Гунелла 2013б.
7. Гунелла 2013.
8. Гунелла 2014, стр. 13.
9. "Toolbook". Архивировано из оригинала 20 сентября 2015 г. Получено 11 сентября 2015 г.
10. Лейборн 1700.
11. Сойер 193, стр. 36.
12. Сойер 193, стр. 37.
13. Бедос де Сельс 1760, с. 58.
14. Во 1973, стр. 38.
15. Sawyer 194.
16. Сойер, Фред (1995). "Serle's Dialing Scales". Компендиум . 2 (2). Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов: 5.
17. Гунелла 2013c.

Источники

• Дарелл, Клемент V (1921). Геометрия. Издательство G.Bell And Sons Limited.
• Бедос де Селлес, Франсуа (1760). «4-3». La Gnomonique pratique ou l'Art de Tracer les cadrans Solaires avec la plus grande précision (на французском языке) (3-е изд.). Париж. п. 459 . Проверено 12 июля 2015 г.
• Дэвис, Джон (июнь 2014 г.). "Гравированные украшения на английских горизонтальных циферблатах" (PDF) . Бюллетень . 26 (ii). British Sundial Society: 48–52. ISSN  0958-4315 . Получено 3 июля 2015 г. .
• Рор, Рене Р. Дж.; с предисловием Анри Мишеля; перевод Габриэля Годена (1996). Солнечные часы: история, теория и практика (издание в мягкой обложке). Нью-Йорк: Dover Publications . стр. 142. ISBN 0-486-29139-1.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Сойер, Фред (1995). «Шкалы набора Серла». Компендиум . 2 (2). Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов: 5.
• Сойер, Фред (2012). «Горизонтальные макеты 1–4». Компендиум . 19 (1). Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов: 33.
• Сойер, Фред (2012). «Горизонтальные макеты 6». Компендиум . 19 (3). Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов: 36–7.
• Сойер, Фред (2012). «Горизонтальные макеты 7». Компендиум . 19 (4). Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов: 39.
• Гунелла, Алессандро (2013). Сойер, Фред (ред.). «Горизонтальные макеты 8 – Метод Клавиуса». Компендиум . 20 (1). Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов: 31.
• Гунелла, Алессандро (2013). Сойер, Фред (ред.). «Горизонтальные макеты 9 – Метод Бенедетти». Компендиум . 20 (2). Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов: 37.
• Гунелла, Алессандро (2013). Сойер, Фред (ред.). «Горизонтальные макеты 10 – Метод Сафеи». Компендиум . 20 (3). Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов: 39.
• Гунелла, Алессандро (2013). Сойер, Фред (ред.). «Горизонтальные макеты 11 – все еще метод для горизонтальных солнечных часов». Компендиум . 21 (3). Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов: 13.
• Powers, Patrick (2012). Sawyer, Fred (ред.). "Horizontal Layouts 5 – Leybourns Method". Compendium . 19 (2). Гластонбери, Коннектикут, США: Североамериканское общество солнечных часов: 4.
• Waugh, Albert E. (1973). Солнечные часы: их теория и конструкция . Нью-Йорк: Довер. С. 38–39. ISBN 0486229475.