Теорема Даффина–Шеффера

Математическая теорема

Теорема Кукулопулоса –Мейнарда , также известная как гипотеза Даффина–Шеффера, — теорема в математике , в частности, диофантово приближение, предложенная в качестве гипотезы Р. Дж. Даффином и А. К. Шеффером в 1941 году ^[1] и доказанная в 2019 году Димитрисом Кукулопулосом и Джеймсом Мейнардом . ^[2] Она утверждает, что если — действительная функция, принимающая положительные значения, то для почти всех (относительно меры Лебега ) неравенство ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {f(q)}{q}}}$

имеет бесконечно много решений во взаимно простых целых числах , если и только если ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle q>0}$

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }\varphi (q){\frac {f(q)}{q}}=\infty ,}$

где — функция Эйлера . ${\displaystyle \varphi (q)}$

Аналог этой гипотезы для более высоких измерений был решен Воганом и Поллингтоном в 1990 году. ^{[3] [4] [5]}

Введение

Существование рациональных приближений подразумевает расходимость ряда , что следует из леммы Бореля–Кантелли . ^[6] Обратное следствие является сутью гипотезы. ^[3] На сегодняшний день установлено много частных результатов гипотезы Даффина–Шеффера. Пол Эрдёш установил в 1970 году, что гипотеза верна, если существует константа такая, что для каждого целого числа мы имеем либо , либо . ^{[3] [7]} Это было усилено Джеффри Ваалером в 1978 году до случая . ^{[8] [9]} Совсем недавно это было усилено до гипотезы, которая верна всякий раз, когда существует некоторая такая, что ряд ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(n)=c/n}$ ${\displaystyle f(n)=0}$ ${\displaystyle f(n)=O(n^{-1})}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {f(n)}{n}}\right)^{1+\varepsilon }\varphi (n)=\infty .}$

Это сделали Хейнс, Поллингтон и Велани. ^[10]

В 2006 году Бересневич и Велани доказали, что аналог меры Хаусдорфа гипотезы Даффина–Шеффера эквивалентен исходной гипотезе Даффина–Шеффера, которая априори слабее. Этот результат был опубликован в Annals of Mathematics . ^[11]

Смотрите также

• Теорема Хинчина

Примечания

1. Даффин, Р. Дж.; Шеффер, А. К. (1941). «Проблема Хинчина в метрических диофантовых приближениях». Duke Math. J . 8 (2): 243–255. doi :10.1215/S0012-7094-41-00818-9. JFM  67.0145.03. Zbl  0025.11002.
2. Кукулопулос, Димитрис; Мейнард, Джеймс (2020). «О гипотезе Даффина-Шеффера». Annals of Mathematics . 192 (1): 251. arXiv : 1907.04593 . doi : 10.4007/annals.2020.192.1.5. JSTOR  10.4007/annals.2020.192.1.5. S2CID  195874052.
3. Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о взаимодействии аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. Т. 84. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 204. ISBN 978-0-8218-0737-8. Збл  0814.11001.
4. Поллингтон, AD; Воган, RC (1990). «К-мерная гипотеза Даффина–Шеффера». Mathematika . 37 (2): 190–200. doi :10.1112/s0025579300012900. ISSN  0025-5793. S2CID  122789762. Zbl  0715.11036.
5. Харман (2002) стр. 69
6. Харман (2002) стр. 68
7. Харман (1998) стр. 27
8. "Гипотеза Даффина-Шеффера" (PDF) . Университет штата Огайо, математический факультет . 2010-08-09 . Получено 2019-09-19 .
9. Харман (1998) стр. 28
10. А. Хейнс, А. Поллингтон и С. Велани, Гипотеза Даффина-Шеффера с дополнительной дивергенцией , arXiv, (2009), https://arxiv.org/abs/0811.1234
11. Бересневич, Виктор; Велани, Санджу (2006). «Принцип переноса масс и гипотеза Даффина-Шеффера для мер Хаусдорфа». Анналы математики . Вторая серия. 164 (3): 971–992. arXiv : math/0412141 . doi :10.4007/annals.2006.164.971. ISSN  0003-486X. S2CID  14475449. Zbl  1148.11033.

Ссылки

• Харман, Глин (1998). Метрическая теория чисел . Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. Том 18. Оксфорд: Clarendon Press . ISBN 978-0-19-850083-4. Збл  1081.11057.
• Harman, Glyn (2002). «Сто лет нормальных чисел». В Bennett, MA; Berndt, BC ; Boston, N .; Diamond, HG; Hildebrand, AJ; Philipp, W. (ред.). Обзоры по теории чисел: доклады с конференции тысячелетия по теории чисел . Natick, MA: AK Peters. стр. 57–74. ISBN 978-1-56881-162-8. Збл  1062.11052.

Внешние ссылки

• Статья в журнале Quanta о гипотезе Даффина-Шеффера.
• Интервью Numberphile с Джеймсом Мейнардом о доказательстве.