Динамическая релаксация

Динамическая релаксация — это численный метод, который, помимо прочего, можно использовать для «поиска формы» вантовых и тканевых конструкций . Цель состоит в том, чтобы найти геометрию, в которой все силы находятся в равновесии . В прошлом это делалось путем прямого моделирования, с использованием подвесных цепей и гирь (см. Гауди ) или с помощью мыльных пленок , которые обладают свойством подстраиваться, чтобы найти « минимальную поверхность ».

Метод динамической релаксации основан на дискретизации рассматриваемой континуума путем объединения массы в узлах и определения взаимосвязи между узлами с точки зрения жесткости (см. Также метод конечных элементов ). Система колеблется около положения равновесия под действием нагрузок. За итеративным процессом следует моделирование псевдодинамического процесса во времени, причем каждая итерация основана на обновлении геометрии, ^[1] аналогично интегрированию Leapfrog и связанному с интегрированием Velocity Verlet .

Основные используемые уравнения

Учитывая второй закон движения Ньютона (сила равна массе, умноженной на ускорение) в направлении в ^th узле в момент времени : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle R_{ix}(t)=M_{i}A_{ix}(t){\frac {}{}}}$

Где:

${\displaystyle R}$это остаточная сила

${\displaystyle M}$узловая масса

${\displaystyle A}$это узловое ускорение

Обратите внимание, что для ускорения процесса поиска формы могут быть выбраны фиктивные узловые массы.

Связь между скоростью , геометрией и остатками может быть получена путем двойного численного интегрирования ускорения (здесь в форме центральной конечной разности ^[2] ): ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle V_{ix}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)=V_{ix}\left(t-{\frac {\Delta t}{2}}\right)+{\frac {\Delta t}{M_{i}}}R_{ix}(t)}$

${\displaystyle X_{i}(t+\Delta t)=X_{i}(t)+\Delta t\times V_{ix}\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)}$

Где:

${\displaystyle \Delta t}$— это временной интервал между двумя обновлениями.

По принципу равновесия сил можно получить связь между невязками и геометрией:

${\displaystyle R_{ix}(t+\Delta t)=P_{ix}(t+\Delta t)+\sum {\frac {T_{m}(t+\Delta t)}{l_{m}(t+\Delta t)}}\times (X_{j}(t+\Delta t)-X_{i}(t+\Delta t))}$

где:

${\displaystyle P}$это приложенная составляющая нагрузки

${\displaystyle T}$напряжение в связи между узлами и ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle l}$это длина ссылки.

Сумма должна охватывать силы во всех соединениях между узлом и другими узлами. Повторяя использование связи между остатками и геометрией, а также связи между геометрией и остатком, моделируется псевдодинамический процесс.

Шаги итерации

1. Установите начальную кинетическую энергию и все компоненты узловой скорости равными нулю:

${\displaystyle E_{k}(t=0)=0{\frac {}{}}}$

${\displaystyle V_{i}(t=0)=0{\frac {}{}}}$

2. Рассчитайте набор геометрии и приложенную составляющую нагрузки:

${\displaystyle X_{i}(t=0){\frac {}{}}}$

${\displaystyle P_{i}(t=0){\frac {}{}}}$

3. Вычислите остаток:

${\displaystyle T_{m}(t){\frac {}{}}}$

${\displaystyle R_{i}(t){\frac {}{}}}$

4. Сбросить остатки ограниченных узлов до нуля.

5. Обновить скорость и координаты:

${\displaystyle V_{i}(t+{\frac {\Delta t}{2}}){\frac {}{}}}$

${\displaystyle X_{i}(t+\Delta t){\frac {}{}}}$

6. Возвращайтесь к шагу 3, пока конструкция не придет в статическое равновесие.

Демпфирование

Динамическую релаксацию можно сделать более эффективной в вычислительном отношении (уменьшив количество итераций), используя демпфирование. ^[1] Существует два метода демпфирования:

• Вязкое демпфирование, предполагающее, что связь между узлами имеет вязкостную силовую составляющую.
• Демпфирование кинетической энергии, при котором вычисляются координаты пиковой кинетической энергии (положение равновесия), затем обновляется геометрия до этого положения и сбрасывается скорость до нуля.

Преимущество вязкостного демпфирования заключается в том, что оно соответствует реальности кабеля с вязкими свойствами. Более того, это легко реализовать, поскольку скорость уже рассчитана. Демпфирование кинетической энергии — это искусственное демпфирование, которое не является реальным эффектом, но обеспечивает резкое сокращение количества итераций, необходимых для поиска решения. Однако существует вычислительный недостаток, заключающийся в том, что необходимо рассчитать кинетическую энергию и местоположение пика, после чего геометрию необходимо обновить до этого положения.

Смотрите также

• Натяжные конструкции
• Оптимизация (математика)

дальнейшее чтение

• А.С. Дэй, Введение в динамическую релаксацию. Инженер 1965, 219: 218–221.
• Х.А. БУХХОЛЬДТ, Введение в конструкции вантовых крыш , 2-е изд., Лондон, Телфорд, 1999 г.

Рекомендации

1. WJ Lewis , Напряженные структуры: форма и поведение , Лондон, Телфорд, 2003 г.
2. DS WAKEFIELD, Инженерный анализ натяжных конструкций: теория и практика , Бат, Tensys Limited, 1999.