E-плотная полугруппа

В абстрактной алгебре E -плотная полугруппа (также называемая E -инверсной полугруппой ) — это полугруппа , в которой каждый элемент a имеет по крайней мере один слабый обратный x , что означает, что xax = x . ^[1] Понятие слабого обратного элемента (как следует из названия) слабее понятия обратного элемента, используемого в регулярной полугруппе (которое требует, чтобы axa = a ).

Приведенное выше определение E -инверсной полугруппы S эквивалентно любому из следующих: ^[1]

• для каждого элемента a ∈ S существует другой элемент b ∈ S такой, что ab является идемпотентом .
• для каждого элемента a ∈ S существует другой элемент c ∈ S такой, что ca является идемпотентом.

Это объясняет название понятия, поскольку множество идемпотентов полугруппы S обычно обозначается как E ( S ). ^[1]

Понятие E -инверсной полугруппы было введено Габриэлем Тьерреном в 1955 году. ^{[2] [3] [4]} Некоторые авторы используют термин E -плотный для обозначения только E -инверсных полугрупп, в которых идемпотенты коммутируют. ^[5]

В более общем случае подполугруппа T группы S называется плотной в S , если для всех x ∈ S существует y ∈ S , такой что и xy ∈ T , и yx ∈ T.

Полугруппа с нулем называется E *-плотной полугруппой , если каждый элемент, отличный от нуля, имеет хотя бы один ненулевой слабый обратный. Полугруппы в этом классе также называются 0-инверсными полугруппами. ^[6]

Примеры

• Любая регулярная полугруппа является E -плотной (но не наоборот). ^[1]
• Любая в конечном счете регулярная полугруппа является E -плотной. ^[1]
• Любая периодическая полугруппа (и в частности любая конечная полугруппа ) является E -плотной. ^[1]

Смотрите также

• Плотный набор
• E -полугруппа

Ссылки

1. Джон Фонтейн (2002). "Введение в покрытия для полугрупп". В Gracinda MS Gomes (ред.). Полугруппы, алгоритмы, автоматы и языки. World Scientific. стр. 167–168. ISBN 978-981-277-688-4.препринт
2. Митч, Х. (2009). «Подпрямые произведения E–инверсных полугрупп». Журнал Австралийского математического общества . 48 : 66. doi : 10.1017/S1446788700035199 .
3. Манодж Сирипитукдет и Супавини Саттаяпорн Конгруэнции полурешеток на E-инверсных полугруппах Архивировано 03.09.2014 в Wayback Machine , NU Science Journal 2007; 4(S1): 40 - 44
4. Г. Тьеррен (1955), «Инвертированные и прямоугольные полугруппы», Bull. кл. наук. акад. Рой. Бельжик 41, 83-92.
5. Weipoltshammer, B. (2002). «Определенные конгруэнтности на E-инверсных E-полугруппах». Semigroup Forum . 65 (2): 233. doi :10.1007/s002330010131.
6. Fountain, J.; Hayes, A. (2014). "E ∗-плотные E-полугруппы". Semigroup Forum . 89 : 105. doi :10.1007/s00233-013-9562-z.препринт

Дальнейшее чтение

• Митч, Х. «Введение в E-инверсные полугруппы». Полугруппы (Брага, 1999) , 114–135. World Scientific Publishing Co., Inc., Ривер-Эдж, Нью-Джерси, 2000. ISBN 9810243928