Аргумент Экмана–Хилтона

В математике аргумент Экмана –Хилтона (или принцип Экмана–Хилтона или теорема Экмана–Хилтона ) — это аргумент о двух унитальных структурах магмы на множестве , где одна является гомоморфизмом для другой. Учитывая это, структуры одинаковы, и результирующая магма является коммутативным моноидом . Затем это можно использовать для доказательства коммутативности высших гомотопических групп . Принцип назван в честь Бено Экмана и Питера Хилтона , которые использовали его в статье 1962 года.

Результат Экмана–Хилтона

Пусть будет набор, снабженный двумя бинарными операциями , которые мы будем записывать и , и предположим: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \otimes }$

1. ${\displaystyle \circ }$и оба являются единичными , что означает, что существуют элементы тождественности и такие , что и , для всех . ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle 1_{\circ }}$ ${\displaystyle 1_{\otimes }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1_{\circ }\circ a=a=a\circ 1_{\circ }}$ ${\displaystyle 1_{\otimes }\otimes a=a=a\otimes 1_{\otimes }}$ ${\displaystyle a\in X}$
   
2. ${\displaystyle (a\otimes b)\circ (c\otimes d)=(a\circ c)\otimes (b\circ d)}$для всех . ${\displaystyle a,b,c,d\in X}$

Тогда и являются одним и тем же и фактически коммутативны и ассоциативны. ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \otimes }$

Замечания

Операции и часто называют моноидными структурами или умножениями, но это предполагает, что они предполагаются ассоциативными, свойство, которое не требуется для доказательства. Фактически, ассоциативность следует. Аналогично, нам не нужно требовать, чтобы две операции имели один и тот же нейтральный элемент; это следствие. ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \circ }$

Доказательство

Во-первых, обратите внимание, что единицы измерения двух операций совпадают: . ${\displaystyle 1_{\circ }=1_{\circ }\circ 1_{\circ }=(1_{\otimes }\otimes 1_{\circ })\circ (1_{\circ }\otimes 1_{\otimes })=(1_{\otimes }\circ 1_{\circ })\otimes (1_{\circ }\circ 1_{\otimes })=1_{\otimes }\otimes 1_{\otimes }=1_{\otimes }}$

Теперь пусть . Тогда . Это устанавливает, что две операции совпадают и являются коммутативными. ${\displaystyle a,b\in X}$ ${\displaystyle a\circ b=(1\otimes a)\circ (b\otimes 1)=(1\circ b)\otimes (a\circ 1)=b\otimes a=(b\circ 1)\otimes (1\circ a)=(b\otimes 1)\circ (1\otimes a)=b\circ a}$

Для ассоциативности, . ${\displaystyle (a\otimes b)\otimes c=(a\otimes b)\otimes (1\otimes c)=(a\otimes 1)\otimes (b\otimes c)=a\otimes (b\otimes c)}$

Двумерное доказательство

Приведенное выше доказательство также имеет "двумерное" представление, которое лучше иллюстрирует применение к высшим гомотопическим группам . Для этой версии доказательства мы записываем две операции как вертикальное и горизонтальное сопоставление, т.е. и . Свойство взаимозаменяемости тогда можно выразить следующим образом: ${\displaystyle {\begin{matrix}a\\[-60pt]b\end{matrix}}}$ ${\displaystyle a\ b}$

Для всех , , поэтому мы можем записать без двусмысленности. ${\displaystyle a,b,c,d\in X}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}(a\ b)\\[-60pt](c\ d)\end{matrix}}={\begin{pmatrix}a\\[-60pt]c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b\\[-60pt]d\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}a\ b\\[-60pt]c\ d\end{matrix}}}$

Пусть и будут единицами для вертикальной и горизонтальной композиции соответственно. Тогда , так что обе единицы равны. ${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \bullet ={\begin{matrix}\bullet \\[-60pt]\bullet \end{matrix}}={\begin{matrix}\bullet \ \ \circ \\[-60pt]\circ \ \ \bullet \end{matrix}}=\circ \ \circ =\circ }$

Теперь для всех , , поэтому горизонтальная композиция совпадает с вертикальной композицией, и обе операции коммутативны. ${\displaystyle a,b\in X}$ ${\displaystyle a\ b={\begin{matrix}a\ \ \bullet \\[-60pt]\bullet \ \ b\end{matrix}}={\begin{matrix}a\\[-60pt]b\end{matrix}}={\begin{matrix}\bullet \ \ a\\[-60pt]b\ \ \bullet \end{matrix}}=b\ a={\begin{matrix}b\ \ \bullet \\[-60pt]\bullet \ \ a\end{matrix}}={\begin{matrix}b\\[-60pt]a\end{matrix}}}$

Наконец, для всех , , поэтому композиция ассоциативна. ${\displaystyle a,b,c\in X}$ ${\displaystyle a\ (b\ c)=a\ {\begin{pmatrix}b\\[-60pt]c\end{pmatrix}}={\begin{matrix}a\ \ b\\[-60pt]\bullet \ \ c\end{matrix}}={\begin{matrix}(a\ b)\\[-60pt]c\end{matrix}}=(a\ b)\ c}$

Замечания

Если операции ассоциативны, каждая из них определяет структуру моноида на , а условия выше эквивалентны более абстрактному условию, которое является гомоморфизмом моноида (или наоборот). Еще более абстрактный способ сформулировать теорему таков: если является моноидным объектом в категории моноидов , то фактически является коммутативным моноидом. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle (X,\circ )\times (X,\circ )\to (X,\circ )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Важно, что подобное рассуждение НЕ даёт столь тривиального результата в случае моноидных объектов в категориях малых категорий или группоидов. Вместо этого понятие группового объекта в категории группоидов оказывается эквивалентным понятию скрещённого модуля . Это приводит к идее использования множественных группоидных объектов в теории гомотопии.

В более общем смысле аргумент Экмана–Хилтона является частным случаем использования закона взаимозамены в теории (строгих) двойных и множественных категорий. (Строгая) двойная категория — это множество или класс, снабженный двумя структурами категорий, каждая из которых является морфизмом для другой структуры. Если композиции в двух структурах категорий записаны, то закон взаимозамены читается как ${\displaystyle \circ ,\otimes }$

${\displaystyle (a\circ b)\otimes (c\circ d)=(a\otimes c)\circ (b\otimes d)}$

всякий раз, когда обе стороны определены. Пример его использования и некоторые обсуждения см. в статье Хиггинса, ссылка на которую приведена ниже. Закон взаимозаменяемости подразумевает, что двойная категория содержит семейство абелевых моноидов.

История в отношении гомотопических групп интересна. Специалисты по топологии начала 20-го века знали, что неабелева фундаментальная группа полезна в геометрии и анализе; что абелевы гомологические группы могут быть определены во всех измерениях; и что для связного пространства первая гомологическая группа является фундаментальной группой, сделанной абелевой . Поэтому возникло желание обобщить неабелеву фундаментальную группу на все измерения.

В 1932 году Эдуард Чех представил статью о высших гомотопических группах на Международный математический конгресс в Цюрихе. Однако Павел Александров и Хайнц Хопф быстро доказали, что эти группы абелевы для , и на этом основании убедили Чеха отозвать свою статью, так что в Трудах появился лишь небольшой абзац . Говорят, что Витольд Гуревич присутствовал на этой конференции, и его первая работа о высших гомотопических группах появилась в 1935 году. ^{[ необходима цитата ]} Таким образом, мечты ранних топологов долгое время считались миражом. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle n>1}$

Кубические высшие гомотопические группоиды строятся для фильтрованных пространств в книге «Неабелева алгебраическая топология», цитируемой ниже, в которой развивается базовая алгебраическая топология, включая высшие аналоги теоремы Зейферта–Ван Кампена , без использования сингулярных гомологий или симплициальной аппроксимации.

Ссылки

• Джон Баез: Принцип Экмана–Хилтона (89-я неделя)
• Джон Баез: Принцип Экмана–Хилтона (неделя 100)
• Экман, Б.; Хилтон, П.Дж. (1962), «Групповые структуры в общих категориях. I. Умножения и коумножения», Mathematische Annalen , 145 (3): 227–255, doi :10.1007/bf01451367, MR  0136642.
• Гуревич , В. (1935), Beitrage zur Topologie der Deformationen , Nederl. Акад. Ветенш. Учеб. Сер. А, том. 38, стр. 112–119, 521–528..
• Браун , Р.; Хиггинс, П. Дж.; Сивера, Р. (2011), Неабелева алгебраическая топология: отфильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды , European Mathematical Society Tracts in Mathematics, т. 15, стр. 703, arXiv : math/0407275 , MR  2841564.
• Хиггинс, П.Дж. (2005), «Тонкие элементы и коммутативные оболочки в кубических $\omega$-категориях», Теория и применение категорий , 14 : 60–74, MR  2122826.
• Джеймс, И.М. (1999), История топологии , Северная Голландия
• Мюррей Бремнер и Сара Мадариага. (2014) Перестановка элементов в двойных полугруппах

Внешние ссылки

• Евгения Ченг из команды создателей видеоролика «The Catsters» объясняет аргумент Экманна–Хилтона.
• Теория многомерных групп