Древнеегипетская математика — это математика , которая была разработана и использовалась в Древнем Египте ок. От 3000 до ок. 300 г. до н. э. , от Древнего Египта до начала эллинистического Египта . Древние египтяне использовали систему счисления для счета и решения письменных математических задач, часто связанных с умножением и дробями . Доказательства египетской математики ограничены скудным количеством сохранившихся источников, написанных на папирусе . Из этих текстов известно, что древние египтяне понимали концепции геометрии , такие как определение площади поверхности и объема трехмерных фигур, полезных для архитектурного проектирования , и алгебры , такие как метод ложного положения и квадратные уравнения .
Письменные свидетельства использования математики датируются по крайней мере 3200 годом до нашей эры: этикетки из слоновой кости были найдены в гробнице Удж в Абидосе . Эти этикетки, судя по всему, использовались в качестве бирок для погребального инвентаря, а на некоторых из них были написаны номера. [1] Дополнительные доказательства использования системы счисления по основанию 10 можно найти на Нармерской булаве , на которой изображены приношения в виде 400 000 волов, 1 422 000 коз и 120 000 заключенных. [2] Археологические данные свидетельствуют о том, что древнеегипетская система счета возникла в Африке к югу от Сахары. [3] Кроме того, конструкции фрактальной геометрии, которые широко распространены среди культур Африки к югу от Сахары, также встречаются в египетской архитектуре и космологических знаках. [4]
Свидетельств использования математики в Старом царстве (ок. 2690–2180 до н.э.) мало, но их можно вывести из надписей на стене возле мастабы в Медуме , в которых даны указания по наклону мастабы. [5] Линии на диаграмме расположены на расстоянии одного локтя и показывают использование этой единицы измерения . [1]
Самые ранние настоящие математические документы относятся к XII династии (около 1990–1800 гг. До н.э.). К этому периоду относятся Московский математический папирус , Египетский математический кожаный свиток , Математические папирусы Лахуна , являющиеся частью гораздо большей коллекции папирусов Кахуна , и Берлинский папирус 6619 . Говорят, что математический папирус Ринда , датируемый вторым промежуточным периодом (ок. 1650 г. до н.э.), основан на более древнем математическом тексте 12-й династии. [6]
Московский математический папирус и Математический папирус Ринда представляют собой так называемые тексты математических задач. Они состоят из набора задач с решениями. Эти тексты могли быть написаны учителем или учеником, решающим типичные математические задачи. [1]
Интересной особенностью древнеегипетской математики является использование дробных единиц. [7] Египтяне использовали специальные обозначения для дробей, такие как1/2,1/3и2/3и в некоторых текстах для3/4, но все остальные дроби были записаны как единичные дроби вида1/нили суммы таких долей единицы. Писцы использовали таблицы, которые помогали им работать с этими дробями. Например, «Египетский математический кожаный свиток» представляет собой таблицу долей единиц, которые выражаются как суммы других долей единиц. Математический папирус Ринда и некоторые другие тексты содержат2/нстолы. Эти таблицы позволяли писцам переписывать любую часть формы.1/нкак сумма долей единиц. [1]
Во времена Нового царства (ок. 1550–1070 до н. э.) математические проблемы упоминаются в литературном Папирусе Анастази I , а в Папирусе Уилбура времен Рамсеса III записаны измерения земли. В рабочей деревне Дейр-эль-Медина было обнаружено несколько остраков , с которых при разработке гробниц было удалено рекордное количество земли. [1] [6]
Современному пониманию древнеегипетской математики препятствует нехватка доступных источников. Существующие источники включают следующие тексты (которые обычно датируются Средним царством и вторым промежуточным периодом):
Из Нового Королевства сохранилось несколько математических текстов и надписей, связанных с вычислениями:
Древние египетские тексты могли быть написаны как иероглифами , так и иератическим письмом . В обоих представлениях система счисления всегда давалась по основанию 10. Число 1 изображалось простой чертой, число 2 — двумя штрихами и т. д. Числа 10, 100, 1000, 10 000 и 100 000 имели свои иероглифы. Число 10 — это ковыль для крупного рогатого скота, число 100 — скрученная веревка, число 1000 — цветок лотоса, число 10 000 — палец, число 100 000 — лягушка, число 100 000 — лягушка, число миллион — лягушка. богом с поднятыми в поклонении руками. [8]
Египетские цифры относятся к додинастическому периоду . Этикетки из слоновой кости из Абидоса фиксируют использование этой системы счисления. В сценах подношений также часто можно увидеть цифры, обозначающие количество предлагаемых предметов. Дочь царя Неферетиабет изображена с приношением в 1000 быков, хлебом, пивом и т. д.
Египетская система счисления была аддитивной. Большие числа представлялись наборами символов, а значение получалось простым сложением отдельных чисел.
Египтяне почти исключительно использовали дроби формы1/н. Заметным исключением является дробь2/3, что часто встречается в математических текстах. Очень редко для обозначения использовался специальный глиф.3/4. Фракция1/2был представлен глифом, который, возможно, изображал кусок полотна, сложенный вдвое. Фракция2/3был представлен символом рта с двумя штрихами (разного размера). Остальные дроби всегда обозначались ртом, наложенным на число. [8]
Шаги вычислений были записаны предложениями на египетских языках. (например, «Умножьте 10 на 100, получится 1000».)
В задаче 28 Папируса Ринда иероглифы
( D54 , D55 ), символы ног, использовались для обозначения «сложения» и «вычитания». Вероятно, это были сокращения от
означает «входить» и «выходить». [9] [10]
Египетское умножение осуществлялось путем многократного удвоения числа, подлежащего умножению (множимого), и выбора того, какое из удвоений сложить (по сути, это форма двоичной арифметики), метод, который восходит к Древнему царству. Множимое было написано рядом с цифрой 1; множимое затем добавлялось само к себе, а результат записывался рядом с числом 2. Процесс продолжался до тех пор, пока удвоения не дали число, превышающее половину множителя . Затем удвоенные числа (1, 2 и т. д.) будут неоднократно вычитаться из множителя, чтобы выбрать, какой из результатов существующих вычислений следует сложить для получения ответа. [2]
Для сокращения больших чисел множимое также можно сразу умножить на 10, 100, 1000, 10000 и т. д.
Например, задача 69 на папирусе Ринда (RMP) дает следующую иллюстрацию, как если бы использовались иероглифические символы (а не фактическое иератическое письмо RMP). [8]
Обозначает 
промежуточные результаты, которые суммируются для получения окончательного ответа.
Приведенную выше таблицу также можно использовать для деления 1120 на 80. Мы могли бы решить эту проблему, найдя частное (80) как сумму тех множителей 80, которые в сумме дают 1120. В этом примере это даст частное 10 + 4 = 14. [8] Более сложный пример алгоритма деления дает задача 66. Всего 3200 ro жира необходимо распределить равномерно в течение 365 дней.
Сначала переписчик многократно удваивает число 365, пока не будет достигнуто максимально возможное число, кратное 365, которое меньше 3200. В этом случае 8 раз 365 равно 2920, а дальнейшее сложение чисел, кратных 365, явно даст значение, большее 3200. Далее отметил, что2/3 + 1/10 + 1/2190умножение на 365 дает нам нужное нам значение 280. Следовательно, мы находим, что 3200 разделить на 365 должно равняться 8 + 2/3 + 1/10 + 1/2190. [8]
Задачи египетской алгебры встречаются как в математическом папирусе Ринда , так и в Московском математическом папирусе , а также в ряде других источников. [8]
Задачи Ага включают в себя поиск неизвестных величин (называемых Ага), если заданы сумма количества и его части. Математический папирус Ринда также содержит четыре задачи такого типа. Задачи 1, 19 и 25 Московского папируса — это задачи Ага. Например, задача 19 требует вычислить взятое количество 1+1/2раз и прибавляем к 4, чтобы получить 10. [8] Другими словами, в современной математической записи нас просят решить линейное уравнение :
Решение этих проблем Ага включает в себя технику, называемую методом ложной позиции . Этот метод еще называют методом ложного предположения. Писец подставлял в задачу первоначальное предположение об ответе. Решение, использующее ложное предположение, будет пропорционально фактическому ответу, и писец найдет ответ, используя это соотношение. [8]
Математические труды показывают, что писцы использовали (наименьшие) общие кратные, чтобы превратить задачи с дробями в задачи с целыми числами. В связи с этим рядом с дробями пишутся красные вспомогательные цифры. [8]
Использование фракций глаза Гора демонстрирует некоторые (элементарные) знания о геометрической прогрессии. Знание арифметических прогрессий также очевидно из математических источников. [8]
Древние египтяне были первой цивилизацией, разработавшей и решившей квадратные уравнения второй степени. Эта информация содержится во фрагменте Берлинского папируса . Кроме того, египтяне решают алгебраические уравнения первой степени, найденные в Математическом папирусе Ринда . [11]
Существует лишь ограниченное количество задач Древнего Египта, касающихся геометрии. Геометрические задачи встречаются как в Московском математическом папирусе (ММП), так и в Математическом папирусе Ринда (РМП). На примерах показано, что древние египтяне умели вычислять площади нескольких геометрических фигур, объёмы цилиндров и пирамид.
Задача 56 ПРМ свидетельствует о понимании идеи геометрического подобия. В этой задаче обсуждается соотношение run/rise, также известное как seqed. Такая формула понадобится для построения пирамид. В следующей задаче (задача 57) высота пирамиды вычисляется по длине основания и секеду ( по-египетски обратному наклону), а задача 58 дает длину основания и высоту и использует эти измерения для вычислить секвенцию. В задаче 59 часть 1 вычисляет секвенцию, а вторая часть может представлять собой вычисление для проверки ответа: если вы построите пирамиду со стороной основания 12 [локтей] и секцией из 5 ладоней и 1 пальца; какова его высота? [8]
