Собственная функция

Математическая функция линейного оператора

Это решение задачи о вибрационном барабане в любой момент времени является собственной функцией оператора Лапласа на диске.

В математике собственная функция линейного оператора D , определенного в некотором функциональном пространстве , — это любая ненулевая функция в этом пространстве, которая при воздействии на нее D умножается только на некоторый масштабный коэффициент, называемый собственным значением . В виде уравнения это условие можно записать как для некоторого скалярного собственного значения ^{[1] [2] [3]} Решения этого уравнения также могут подчиняться граничным условиям , которые ограничивают допустимые собственные значения и собственные функции. ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle Df=\lambda f}$$ ${\displaystyle \lambda .}$

Собственная функция — это тип собственного вектора .

Собственные функции

В общем случае собственный вектор линейного оператора D, определенного в некотором векторном пространстве, является ненулевым вектором в области D , который, когда D действует на него, просто масштабируется некоторой скалярной величиной, называемой собственным значением. В особом случае, когда D определен в функциональном пространстве, собственные векторы называются собственными функциями . То есть функция f является собственной функцией D, если она удовлетворяет уравнению

где λ — скаляр. ^{[1] [2] [3]} Решения уравнения ( 1 ) также могут подчиняться граничным условиям. Из-за граничных условий возможные значения λ обычно ограничены, например, дискретным набором λ ₁ , λ ₂ , … или непрерывным набором в некотором диапазоне. Набор всех возможных собственных значений D иногда называют его спектром , который может быть дискретным, непрерывным или комбинацией обоих. ^[1]

Каждое значение λ соответствует одной или нескольким собственным функциям. Если несколько линейно независимых собственных функций имеют одно и то же собственное значение, то собственное значение называется вырожденным , а максимальное количество линейно независимых собственных функций, связанных с одним и тем же собственным значением, является степенью вырождения или геометрической кратностью собственного значения . ^{[4] [5]}

Пример производной

Широко используемый класс линейных операторов, действующих в бесконечномерных пространствах, — это дифференциальные операторы в пространстве C ^∞ бесконечно дифференцируемых действительных или комплексных функций действительного или комплексного аргумента t . Например, рассмотрим оператор производной с уравнением на собственные значения ${\textstyle {\frac {d}{dt}}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).}$$

Это дифференциальное уравнение можно решить, умножив обе части на и проинтегрировав. Его решение, экспоненциальная функция, является собственной функцией оператора производной, где f ₀ — параметр, зависящий от граничных условий. Обратите внимание, что в этом случае собственная функция сама является функцией своего соответствующего собственного значения λ, которое может принимать любое действительное или комплексное значение. В частности, обратите внимание, что при λ = 0 собственная функция f ( t ) является константой. ${\textstyle {\frac {dt}{f(t)}}}$ $${\displaystyle f(t)=f_{0}e^{\lambda t},}$$

Предположим в примере, что f ( t ) подчиняется граничным условиям f (0) = 1 и . Тогда мы находим, что где λ = 2 — единственное собственное значение дифференциального уравнения, которое также удовлетворяет граничному условию. ${\textstyle \left.{\frac {df}{dt}}\right|_{t=0}=2}$ $${\displaystyle f(t)=e^{2t},}$$

Ссылка на собственные значения и собственные векторы матриц

Собственные функции могут быть выражены как векторы-столбцы, а линейные операторы могут быть выражены как матрицы, хотя они могут иметь бесконечные размеры. В результате многие концепции, связанные с собственными векторами матриц, переносятся на изучение собственных функций.

Определим скалярное произведение в функциональном пространстве, на котором D определяется как интегрированное в некотором диапазоне интереса для t, называемом Ω. * обозначает комплексно сопряженное . $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Omega }\ f^{*}(t)g(t)dt,}$$

Предположим, что функциональное пространство имеет ортонормированный базис , заданный набором функций { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), …, u _n ( t )}, где n может быть бесконечным. Для ортонормированного базиса, где δ _ij — символ Кронекера , и его можно рассматривать как элементы единичной матрицы . $${\displaystyle \langle u_{i},u_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt=\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}},}$$

Функции могут быть записаны как линейная комбинация базисных функций, например, через разложение Фурье функции f ( t ). Коэффициенты b _j могут быть сложены в вектор-столбец размером n на 1 b = [ b ₁ b ₂ … b _n ] ^T . В некоторых особых случаях, таких как коэффициенты ряда Фурье синусоидальной функции, этот вектор-столбец имеет конечную размерность. $${\displaystyle f(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}(t),}$$

Дополнительно определим матричное представление линейного оператора D с элементами $${\displaystyle A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt.}$$

Мы можем записать функцию Df ( t ) либо как линейную комбинацию базисных функций, либо как D, действующую на расширение f ( t ), $${\displaystyle Df(t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}u_{j}(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}Du_{j}(t).}$$

Взяв внутреннее произведение каждой части этого уравнения с произвольной базисной функцией u _i ( t ), $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}c_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt,\\c_{i}&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}A_{ij}.\end{aligned}}}$$

Это матричное умножение Ab = c, записанное в записи суммирования, и является матричным эквивалентом оператора D, действующего на функцию f ( t ), выраженную в ортонормированном базисе. Если f ( t ) является собственной функцией D с собственным значением λ, то Ab = λb .

Собственные значения и собственные функции эрмитовых операторов

Многие из операторов, встречающихся в физике, являются эрмитовыми . Предположим, что линейный оператор D действует на функциональное пространство, которое является гильбертовым пространством с ортонормированным базисом, заданным набором функций { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), …, u _n ( t )}, где n может быть бесконечным. В этом базисе оператор D имеет матричное представление A с элементами, интегрированными в некотором диапазоне для t, обозначенном Ω. $${\displaystyle A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t).}$$

По аналогии с эрмитовыми матрицами , D является эрмитовым оператором, если A _ij = A _ji *, или: ^[6] $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle u_{i},Du_{j}\rangle &=\langle Du_{i},u_{j}\rangle ,\\[-1pt]\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)&=\int _{\Omega }dt\ u_{j}(t)[Du_{i}(t)]^{*}.\end{aligned}}}$$

Рассмотрим эрмитов оператор D с собственными значениями λ ₁ , λ ₂ , … и соответствующими собственными функциями f ₁ ( t ), f ₂ ( t ), …. Этот эрмитов оператор обладает следующими свойствами:

• Его собственные значения действительны, λ _i = λ _i * ^{[4] [6]}
• Его собственные функции подчиняются условию ортогональности, если i ≠ j ^{[6] [7] [8]} ${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =0}$

Второе условие всегда выполняется для λ _i ≠ λ _j . Для вырожденных собственных функций с одинаковым собственным значением λ _i , всегда можно выбрать ортогональные собственные функции, охватывающие собственное пространство, связанное с λ _i , например, с помощью процесса Грама-Шмидта . ^[5] В зависимости от того, является ли спектр дискретным или непрерывным, собственные функции можно нормализовать, установив внутреннее произведение собственных функций равным либо дельта-функции Кронекера, либо дельта-функции Дирака соответственно. ^{[8] [9]}

Для многих эрмитовых операторов, в частности операторов Штурма–Лиувилля , есть третье свойство:

• Его собственные функции образуют базис функционального пространства, на котором определен оператор ^[5]

Вследствие этого во многих важных случаях собственные функции эрмитова оператора образуют ортонормированный базис. В этих случаях произвольная функция может быть выражена в виде линейной комбинации собственных функций эрмитова оператора.

Приложения

Вибрирующие струны

Форма стоячей волны в струне, закрепленной на ее границах, является примером собственной функции дифференциального оператора. Допустимые собственные значения определяются длиной струны и определяют частоту колебаний.

Пусть h ( x , t ) обозначает поперечное смещение напряженной упругой хорды, такой как вибрирующие струны струнного инструмента , как функцию положения x вдоль струны и времени t . Применяя законы механики к бесконечно малым частям струны, функция h удовлетворяет частному дифференциальному уравнению , которое называется (одномерным) волновым уравнением . Здесь c — постоянная скорость, которая зависит от натяжения и массы струны. $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}h}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}},}$$

Эта задача поддается методу разделения переменных . Если предположить, что h ( x , t ) можно записать как произведение вида X ( x ) T ( t ) , то можно составить пару обыкновенных дифференциальных уравнений: $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}X=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}X,\qquad {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}T=-\omega ^{2}T.}$$

Каждое из них является уравнением собственных значений с собственными значениями и − ω ² соответственно. Для любых значений ω и c уравнения удовлетворяются функциями, где фазовые углы φ и ψ являются произвольными действительными константами. ${\textstyle -{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$ $${\displaystyle X(x)=\sin \left({\frac {\omega x}{c}}+\varphi \right),\qquad T(t)=\sin(\omega t+\psi ),}$$

Если мы накладываем граничные условия, например, что концы струны зафиксированы в x = 0 и x = L , а именно X (0) = X ( L ) = 0 , и что T (0) = 0 , мы ограничиваем собственные значения. Для этих граничных условий sin( φ ) = 0 и sin( ψ ) = 0 , поэтому фазовые углы φ = ψ = 0 , и $${\displaystyle \sin \left({\frac {\omega L}{c}}\right)=0.}$$

Это последнее граничное условие ограничивает ω значением ω _n = ⁠ncπ/Л⁠ , где n — любое целое число. Таким образом, зажатая струна поддерживает семейство стоячих волн вида $${\displaystyle h(x,t)=\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\sin(\omega _{n}t).}$$

В примере со струнным инструментом частота ω _n является частотой n -й гармоники , которая называется ( n − 1) -м обертоном .

Уравнение Шредингера

В квантовой механике уравнение Шредингера с оператором Гамильтона может быть решено путем разделения переменных, если гамильтониан не зависит явно от времени. ^[10] В этом случае волновая функция Ψ( r , t ) = φ ( r ) T ( t ) приводит к двум дифференциальным уравнениям, $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=H\Psi (\mathbf {r} ,t)}$$ $${\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)}$$

Оба эти дифференциальные уравнения являются уравнениями собственных значений с собственным значением E. Как показано в предыдущем примере, решение уравнения ( 3 ) является экспоненциальным $${\displaystyle T(t)=e^{{-iEt}/{\hbar }}.}$$

Уравнение ( 2 ) является независимым от времени уравнением Шредингера. Собственные функции φ _k оператора Гамильтона являются стационарными состояниями квантово-механической системы, каждое из которых имеет соответствующую энергию E _k . Они представляют собой допустимые энергетические состояния системы и могут быть ограничены граничными условиями.

Гамильтонов оператор H является примером эрмитова оператора, собственные функции которого образуют ортонормированный базис. Когда гамильтониан не зависит явно от времени, общие решения уравнения Шредингера являются линейными комбинациями стационарных состояний, умноженных на колебательное T ( t ) , ^[11] или, для системы с непрерывным спектром, ${\textstyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\sum _{k}c_{k}\varphi _{k}(\mathbf {r} )e^{{-iE_{k}t}/{\hbar }}}$ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\int dE\,c_{E}\varphi _{E}(\mathbf {r} )e^{{-iEt}/{\hbar }}.}$$

Успех уравнения Шредингера в объяснении спектральных характеристик водорода считается одним из величайших триумфов физики XX века.

Сигналы и системы

При изучении сигналов и систем собственной функцией системы является сигнал f ( t ) , который при подаче на вход системы вызывает ответ y ( t ) = λf ( t ) , где λ — комплексное скалярное собственное значение. ^[12]

Смотрите также

• Собственные значения и собственные векторы
• Теорема Гильберта–Шмидта
• Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений
• Комбинатор с фиксированной точкой
• Собственные функции преобразования Фурье

Примечания

Цитаты

1. Давыдов 1976, стр. 20.
2. Kusse & Westwig 1998, стр. 435.
3. Вассерман 2016.
4. Давыдов 1976, стр. 21.
5. Kusse & Westwig 1998, с. 437.
6. Kusse & Westwig 1998, с. 436.
7. Давыдов 1976, стр. 24.
8. Давыдов 1976, стр. 29.
9. Давыдов 1976, стр. 25.
10. Давыдов 1976, стр. 51.
11. Давыдов 1976, стр. 52.
12. Жирод, Рабенштейн и Стенгер 2001, с. 49.

Цитируемые работы

• Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид. Методы математической физики . Т. 1. Wiley. ISBN 047150447-5.(Том 2: ISBN 047150439-4 ) 
• Давыдов, А.С. (1976). Квантовая механика . Перевод, редактирование и дополнения Д. тер Хаара (2-е изд.). Оксфорд: Pergamon Press. ISBN 008020438-4.
• Жирод, Бернд ; Рабенштейн, Рудольф; Стенгер, Александр (2001). Сигналы и системы (2-е изд.). Уайли. ISBN 047198800-6.
• Куссе, Брюс; Вествиг, Эрик (1998). Математическая физика . Нью-Йорк: Wiley Interscience. ISBN 047115431-8.
• Вассерман, Эрик В. (2016). "Собственная функция". MathWorld . Wolfram Research . Получено 12 апреля 2016 г. .

Внешние ссылки

• Больше изображений (не GPL) на Atom in a Box