Собственные значения и собственные векторы

Концепции линейной алгебры

В линейной алгебре собственный вектор ( / ˈ aɪ ɡ ən -/ EYE -gən- ) или характеристический вектор — это вектор , направление которого не изменяется при заданном линейном преобразовании . Точнее, собственный вектор , линейного преобразования , масштабируется постоянным множителем , , когда к нему применяется линейное преобразование: . Часто важно знать эти векторы в линейной алгебре. Соответствующее собственное значение , характеристическое значение или характеристический корень — это множитель . ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \lambda }$

Геометрически векторы — это многомерные величины с величиной и направлением, часто изображаемые в виде стрелок. Линейное преобразование вращает , растягивает или сдвигает векторы, на которые оно действует. Его собственные векторы — это те векторы, которые только растягиваются, без вращения или сдвига. Соответствующее собственное значение — это коэффициент, на который собственный вектор растягивается или сжимается. Если собственное значение отрицательно, направление собственного вектора меняется на противоположное. ^[1]

Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования служат для его характеристики, и поэтому они играют важную роль во всех областях, где применяется линейная алгебра, от геологии до квантовой механики . В частности, часто бывает так, что система представлена ​​линейным преобразованием, выходные данные которого подаются в качестве входных данных для того же преобразования ( обратная связь ). В таком приложении наибольшее собственное значение имеет особое значение, поскольку оно управляет долгосрочным поведением системы после многих применений линейного преобразования, а связанный с ним собственный вектор является устойчивым состоянием системы.

Определение

Рассмотрим матрицу A и ненулевой вектор длины Если умножение A на (обозначается как ) просто масштабируется на коэффициент λ , где λ — скаляр , то называется собственным вектором A , а λ — соответствующим собственным значением. Это соотношение можно выразить как: . ^[2] ${\displaystyle n{\times }n}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle A\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$

Существует прямое соответствие между квадратными матрицами n -на- n и линейными преобразованиями из n -мерного векторного пространства в себя, учитывая любой базис векторного пространства. Следовательно, в конечномерном векторном пространстве эквивалентно определять собственные значения и собственные векторы, используя либо язык матриц , либо язык линейных преобразований. ^{[3] [4]}

В следующем разделе представлена ​​более общая точка зрения, которая охватывает также бесконечномерные векторные пространства .

Обзор

Собственные значения и собственные векторы играют важную роль в анализе линейных преобразований. Префикс eigen- заимствован из немецкого слова eigen ( родственного английскому слову own ) для «собственный», «характеристический», «собственный». ^{[5] [6]} Первоначально используемые для изучения главных осей вращательного движения твердых тел , собственные значения и собственные векторы имеют широкий спектр приложений, например, в анализе устойчивости , анализе вибрации , атомных орбиталях , распознавании лиц и диагонализации матриц .

По сути, собственный вектор v линейного преобразования T — это ненулевой вектор, который при применении к нему T не меняет направления. Применение T к собственному вектору только масштабирует собственный вектор на скалярное значение λ , называемое собственным значением. Это условие можно записать в виде уравнения, называемого уравнением собственного значения или собственным уравнением . В общем случае λ может быть любым скаляром . Например, λ может быть отрицательным, и в этом случае собственный вектор меняет направление как часть масштабирования, или он может быть нулевым или комплексным . $${\displaystyle T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,}$$

В этом отображении сдвига красная стрелка меняет направление, а синяя стрелка — нет. Синяя стрелка — собственный вектор этого отображения сдвига, поскольку она не меняет направления, а поскольку ее длина неизменна, ее собственное значение равно 1.

Действительная и симметричная матрица 2×2, представляющая растяжение и сдвиг плоскости. Собственные векторы матрицы (красные линии) — это два специальных направления, так что каждая точка на них будет просто скользить по ним.

Пример здесь, основанный на Моне Лизе , дает простую иллюстрацию. Каждая точка на картине может быть представлена ​​как вектор, указывающий из центра картины в эту точку. Линейное преобразование в этом примере называется сдвиговым отображением . Точки в верхней половине перемещаются вправо, а точки в нижней половине перемещаются влево, пропорционально тому, насколько далеко они находятся от горизонтальной оси, проходящей через середину картины. Векторы, указывающие на каждую точку на исходном изображении, поэтому наклоняются вправо или влево и становятся длиннее или короче в результате преобразования. Точки вдоль горизонтальной оси вообще не перемещаются, когда применяется это преобразование. Следовательно, любой вектор, который указывает прямо вправо или влево без вертикальной компоненты, является собственным вектором этого преобразования, потому что отображение не меняет его направления. Более того, все эти собственные векторы имеют собственное значение, равное единице, потому что отображение также не меняет их длину.

Линейные преобразования могут принимать множество различных форм, отображая векторы в различных векторных пространствах, поэтому собственные векторы также могут принимать множество форм. Например, линейное преобразование может быть дифференциальным оператором , например , в этом случае собственные векторы являются функциями, называемыми собственными функциями , которые масштабируются этим дифференциальным оператором, например Альтернативно, линейное преобразование может принимать форму матрицы n на n , в этом случае собственные векторы являются матрицами n на 1. Если линейное преобразование выражено в виде матрицы n на n A , то уравнение собственных значений для линейного преобразования выше можно переписать как умножение матриц , где собственный вектор v является матрицей n на 1. Для матрицы собственные значения и собственные векторы можно использовать для разложения матрицы — например, путем ее диагонализации . ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}.}$$ $${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}$$

Собственные значения и собственные векторы порождают множество тесно связанных математических понятий, и при их наименовании обычно используется префикс «собственный» :

• Набор всех собственных векторов линейного преобразования, каждый из которых связан с соответствующим собственным значением, называется собственной системой этого преобразования. ^{[7] [8]}
• Множество всех собственных векторов T , соответствующих одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором называется собственным пространством или характеристическим пространством T , связанным с этим собственным значением. ^[9]
• Если набор собственных векторов T образует базис области определения T , то этот базис называется собственным базисом .

История

Собственные значения часто вводятся в контексте линейной алгебры или теории матриц . Однако исторически они возникли при изучении квадратичных форм и дифференциальных уравнений .

В XVIII веке Леонард Эйлер изучал вращательное движение твердого тела и открыл важность главных осей . ^[a] Жозеф-Луи Лагранж понял, что главные оси являются собственными векторами матрицы инерции. ^[10]

В начале 19 века Огюстен-Луи Коши увидел, как их работа может быть использована для классификации квадратных поверхностей , и обобщил ее на произвольные измерения. ^[11] Коши также ввел термин racine caractéristique (характеристический корень) для того, что теперь называется собственным значением ; его термин сохранился в характеристическом уравнении . ^[b]

Позже Жозеф Фурье использовал работу Лагранжа и Пьера-Симона Лапласа для решения уравнения теплопроводности методом разделения переменных в своей знаменитой книге 1822 года «Аналитическая теория тепла» . ^[12] Шарль-Франсуа Штурм развил идеи Фурье дальше и привлек к ним внимание Коши, который объединил их со своими собственными идеями и пришел к тому факту, что действительные симметричные матрицы имеют действительные собственные значения. ^[11] Это было распространено Шарлем Эрмитом в 1855 году на то, что сейчас называется эрмитовыми матрицами . ^[13]

Примерно в то же время Франческо Бриоски доказал, что собственные значения ортогональных матриц лежат на единичной окружности , ^[11] а Альфред Клебш нашел соответствующий результат для кососимметричных матриц . ^[13] Наконец, Карл Вейерштрасс прояснил важный аспект в теории устойчивости, начатой ​​Лапласом, поняв, что дефектные матрицы могут вызывать нестабильность. ^[11]

В то же время Жозеф Лиувилль изучал проблемы собственных значений, подобные проблемам Штурма; дисциплина, которая выросла из их работы, теперь называется теорией Штурма–Лиувилля . ^[14] Шварц изучал первое собственное значение уравнения Лапласа в общих областях к концу 19-го века, в то время как Пуанкаре изучал уравнение Пуассона несколько лет спустя. ^[15]

В начале 20-го века Давид Гильберт изучал собственные значения интегральных операторов , рассматривая операторы как бесконечные матрицы. ^[16] Он был первым, кто использовал немецкое слово eigen , что означает «собственный», ^[6] для обозначения собственных значений и собственных векторов в 1904 году, ^[c] хотя он, возможно, следовал связанному использованию Германа фон Гельмгольца . Некоторое время стандартным термином в английском языке было «собственное значение», но более характерный термин «собственное значение» является стандартным сегодня. ^[17]

Первый численный алгоритм для вычисления собственных значений и собственных векторов появился в 1929 году, когда Рихард фон Мизес опубликовал степенной метод . Один из самых популярных методов сегодня, алгоритм QR , был предложен независимо Джоном ГФ Фрэнсисом ^[18] и Верой Кублановской ^[19] в 1961 году. ^{[20] [21]}

Собственные значения и собственные векторы матриц

Собственные значения и собственные векторы часто представляются студентам в контексте курсов линейной алгебры, посвященных матрицам. ^{[22] [23]} Кроме того, линейные преобразования в конечномерном векторном пространстве могут быть представлены с помощью матриц, ^{[3] [4],} что особенно распространено в числовых и вычислительных приложениях. ^[24]

Матрица A действует , растягивая вектор x , не меняя его направления, поэтому x является собственным вектором A.

Рассмотрим n -мерные векторы, сформированные как список из n скаляров, например, трехмерные векторы $${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}}\quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}}.}$$

Говорят, что эти векторы являются скалярными кратными друг другу, параллельными или коллинеарными , если существует скаляр λ такой, что $${\displaystyle \mathbf {x} =\lambda \mathbf {y} .}$$

В этом случае, . ${\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{20}}}$

Теперь рассмотрим линейное преобразование n -мерных векторов, определяемое матрицей A размером n на n , или где для каждой строки $${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {w} ,}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle w_{i}=A_{i1}v_{1}+A_{i2}v_{2}+\cdots +A_{in}v_{n}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}v_{j}.}$$

Если окажется, что v и w являются скалярными множителями, то есть если

тогда v — собственный вектор линейного преобразования A , а масштабный коэффициент λ — собственное значение, соответствующее этому собственному вектору. Уравнение ( 1 ) — это уравнение собственных значений для матрицы A.

Уравнение ( 1 ) можно эквивалентно записать как

где I — единичная матрица размером n на n , а 0 — нулевой вектор.

Собственные значения и характеристический многочлен

Уравнение ( 2 ) имеет ненулевое решение v тогда и только тогда, когда определитель матрицы ( A − λI ) равен нулю. Поэтому собственные значения A являются значениями λ , которые удовлетворяют уравнению

Используя формулу Лейбница для определителей , левая часть уравнения ( 3 ) является полиномиальной функцией переменной λ , а степень этого полинома равна n , порядку матрицы A. Ее коэффициенты зависят от элементов матрицы A , за исключением того, что ее член степени n всегда равен (−1) ⁿ λ ⁿ . Этот полином называется характеристическим полиномом матрицы A. Уравнение ( 3 ) называется характеристическим уравнением или секулярным уравнением матрицы A.

Основная теорема алгебры подразумевает, что характеристический многочлен матрицы A размером n на n , будучи многочленом степени n , может быть разложен на множители n линейных членов:

где каждое λ _i может быть действительным, но в общем случае является комплексным числом. Числа λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n , которые могут не все иметь различные значения, являются корнями многочлена и являются собственными значениями A .

В качестве краткого примера, который более подробно описан в разделе примеров далее, рассмотрим матрицу $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}$$

Взяв определитель ( A − λI ) , характеристический многочлен A равен $${\displaystyle \det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}.}$$

Приравнивая характеристический многочлен к нулю, он имеет корни при λ=1 и λ=3 , которые являются двумя собственными значениями A. Собственные векторы, соответствующие каждому собственному значению, можно найти, решив для компонентов v в уравнении . В этом примере собственные векторы — это любые ненулевые скалярные кратные ${\displaystyle \left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} }$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.}$$

Если все элементы матрицы A являются действительными числами, то коэффициенты характеристического многочлена также будут действительными числами, но собственные значения могут по-прежнему иметь ненулевые мнимые части. Элементы соответствующих собственных векторов, следовательно, также могут иметь ненулевые мнимые части. Аналогично, собственные значения могут быть иррациональными числами, даже если все элементы матрицы A являются рациональными числами или даже если они все целые числа. Однако, если все элементы матрицы A являются алгебраическими числами , которые включают рациональные числа, собственные значения также должны быть алгебраическими числами.

Недействительные корни действительного многочлена с действительными коэффициентами можно сгруппировать в пары комплексно сопряженных чисел , а именно, с двумя членами каждой пары, имеющими мнимые части, которые отличаются только знаком, и одинаковую действительную часть. Если степень нечетная, то по теореме о промежуточном значении по крайней мере один из корней является действительным. Следовательно, любая действительная матрица с нечетным порядком имеет по крайней мере одно действительное собственное значение, тогда как действительная матрица с четным порядком может не иметь никаких действительных собственных значений. Собственные векторы, связанные с этими комплексными собственными значениями, также являются комплексными и также появляются в комплексно сопряженных парах.

Спектр матрицы

Спектр матрицы — это список собственных значений, повторяющихся в соответствии с кратностью; в альтернативной записи — множество собственных значений с их кратностями.

Важной величиной, связанной со спектром, является максимальное абсолютное значение любого собственного значения. Это известно как спектральный радиус матрицы.

Алгебраическая кратность

Пусть λ _{i —} собственное значение матрицы A размером n на n . Алгебраическая кратность μ _A ( λ _i ) собственного значения — это его кратность как корня характеристического многочлена, то есть наибольшее целое число k, такое, что ( λ − λ _i ) ^k делит этот многочлен нацело . ^{[9] [25] [26]}

Предположим, что матрица A имеет размерность n и d ≤ n различных собственных значений. В то время как уравнение ( 4 ) разлагает характеристический многочлен матрицы A на произведение n линейных членов с некоторыми потенциально повторяющимися членами, характеристический многочлен также может быть записан как произведение d членов, каждый из которых соответствует отдельному собственному значению и возведен в степень алгебраической кратности, $${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.}$$

Если d = n, то правая часть является произведением n линейных членов, и это то же самое, что и уравнение ( 4 ). Величина алгебраической кратности каждого собственного значения связана с размерностью n как $${\displaystyle {\begin{aligned}1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{aligned}}}$$

Если μ _A ( λ _i ) = 1, то λ _i называется простым собственным значением . ^[26] Если μ _A ( λ _i ) равно геометрической кратности λ _i , γ _A ( λ _i ), определенной в следующем разделе, то λ _i называется полупростым собственным значением .

Собственные пространства, геометрическая кратность и собственный базис для матриц

Дано конкретное собственное значение λ матрицы A размером n на n , определим множество E как все векторы v, которые удовлетворяют уравнению ( 2 ), $${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v} :\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} \right\}.}$$

С одной стороны, это множество является в точности ядром или нулевым пространством матрицы ( A − λI ). С другой стороны, по определению любой ненулевой вектор, удовлетворяющий этому условию, является собственным вектором A, связанным с λ . Таким образом, множество E является объединением нулевого вектора с множеством всех собственных векторов A , связанных с λ , и E равно нулевому пространству ( A − λI ). E называется собственным пространством или характеристическим пространством A, связанным с λ . ^{[27] [9]} В общем случае λ является комплексным числом, а собственные векторы являются комплексными матрицами размера n на 1. Свойство нулевого пространства состоит в том, что оно является линейным подпространством , поэтому E является линейным подпространством . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Поскольку собственное пространство E является линейным подпространством, оно замкнуто относительно сложения. То есть, если два вектора u и v принадлежат множеству E , записанному как u , v ∈ E , то ( u + v ) ∈ E или, что эквивалентно, A ( u + v ) = λ ( u + v ) . Это можно проверить, используя дистрибутивное свойство умножения матриц. Аналогично, поскольку E является линейным подпространством, оно замкнуто относительно скалярного умножения. То есть, если v ∈ E и α является комплексным числом, ( α v ) ∈ E или, что эквивалентно, A ( α v ) = λ ( α v ) . Это можно проверить, заметив, что умножение комплексных матриц на комплексные числа коммутативно . Пока u + v и α v не равны нулю, они также являются собственными векторами A , связанными с λ .

Размерность собственного пространства E, связанного с λ , или, что эквивалентно, максимальное число линейно независимых собственных векторов, связанных с λ , называется геометрической кратностью собственного значения . Поскольку E также является нулевым пространством ( A − λI ), геометрическая кратность λ является размерностью нулевого пространства ( A − λI ), также называемой нулевым значением ( A − λI ), которое относится к размерности и рангу ( A − λI ) как ${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )}$ $${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )=n-\operatorname {rank} (A-\lambda I).}$$

Из-за определения собственных значений и собственных векторов геометрическая кратность собственного значения должна быть не менее единицы, то есть каждое собственное значение имеет не менее одного связанного с ним собственного вектора. Более того, геометрическая кратность собственного значения не может превышать его алгебраическую кратность. Кроме того, напомним, что алгебраическая кратность собственного значения не может превышать n . $${\displaystyle 1\leq \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )\leq n}$$

Чтобы доказать неравенство , рассмотрим, как определение геометрической кратности подразумевает существование ортонормированных собственных векторов , таких, что . Поэтому мы можем найти (унитарную) матрицу, первые столбцы которой являются этими собственными векторами, а остальные столбцы могут быть любым ортонормированным набором векторов, ортогональных этим собственным векторам . Тогда имеет полный ранг и, следовательно, обратим. Оценивая , мы получаем матрицу, верхний левый блок которой является диагональной матрицей . Это можно увидеть, оценив то, что левая часть делает с базисными векторами первого столбца. Реорганизуя и добавляя с обеих сторон, мы получаем , поскольку коммутирует с . Другими словами, аналогично , и . Но из определения мы знаем, что содержит множитель , что означает, что алгебраическая кратность должна удовлетворять . ${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )}$ ${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1},\,\ldots ,\,{\boldsymbol {v}}_{\gamma _{A}(\lambda )}}$ ${\displaystyle A{\boldsymbol {v}}_{k}=\lambda {\boldsymbol {v}}_{k}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )}$ ${\displaystyle n-\gamma _{A}(\lambda )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle D:=V^{T}AV}$ ${\displaystyle \lambda I_{\gamma _{A}(\lambda )}}$ ${\displaystyle -\xi V}$ ${\displaystyle (A-\xi I)V=V(D-\xi I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A-\xi I}$ ${\displaystyle D-\xi I}$ ${\displaystyle \det(A-\xi I)=\det(D-\xi I)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \det(D-\xi I)}$ ${\displaystyle (\xi -\lambda )^{\gamma _{A}(\lambda )}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu _{A}(\lambda )\geq \gamma _{A}(\lambda )}$

Предположим, что имеет различные собственные значения , где геометрическая кратность равна . Общая геометрическая кратность , является размерностью суммы всех собственных пространств собственных значений , или, что эквивалентно, максимальным числом линейно независимых собственных векторов . Если , то ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d\leq n}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{d}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda _{i})}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\gamma _{A}(\lambda _{i}),\\d&\leq \gamma _{A}\leq n,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \gamma _{A}=n}$

• Прямая сумма собственных подпространств всех собственных значений представляет собой все векторное пространство . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Базис может быть образован из линейно независимых собственных векторов ; такой базис называется собственным базисом ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$
• Любой вектор в можно записать в виде линейной комбинации собственных векторов . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$

Дополнительные свойства

Пусть будет произвольной матрицей комплексных чисел с собственными значениями . Каждое собственное значение появляется в этом списке раз, где — алгебраическая кратность собственного значения. Ниже приведены свойства этой матрицы и ее собственных значений: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle \mu _{A}(\lambda _{i})}$ ${\displaystyle \mu _{A}(\lambda _{i})}$

• След , определяемый как сумма его диагональных элементов, также является суммой всех собственных значений, ^{[28] [29] [30} ] ${\displaystyle A}$

  ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}.}$

• Определитель представляет собой произведение всех его собственных значений, ^{[28] [31] [32]} ${\displaystyle A}$

  ${\displaystyle \det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}$

• Собственные значения -й степени , т.е. собственные значения , для любого положительного целого числа , равны . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda _{1}^{k},\ldots ,\lambda _{n}^{k}}$
• Матрица обратима тогда и только тогда , когда каждое собственное значение не равно нулю. ${\displaystyle A}$
• Если обратим, то собственные значения являются и геометрическая кратность каждого собственного значения совпадает. Более того, поскольку характеристический многочлен обратного является обратным многочленом исходного, собственные значения имеют одинаковую алгебраическую кратность. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\lambda _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\lambda _{n}}}}$
• Если равно своему сопряженному транспонированному , или, что эквивалентно, если является эрмитовым , то каждое собственное значение является действительным. То же самое верно для любой симметричной действительной матрицы. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$
• Если является не только эрмитовым, но и положительно-определенным , положительно-полуопределенным, отрицательно-определенным или отрицательно-полуопределенным, то каждое собственное значение является положительным, неотрицательным, отрицательным или неположительным соответственно. ${\displaystyle A}$
• Если унитарно , то каждое собственное значение имеет абсолютное значение . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |\lambda _{i}|=1}$
• Если — матрица и — ее собственные значения, то собственные значения матрицы (где — единичная матрица) равны . Более того, если , то собственные значения равны . В более общем случае для полинома собственные значения матрицы равны . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \{\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}\}}$ ${\displaystyle I+A}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{\lambda _{1}+1,\ldots ,\lambda _{k}+1\}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \alpha I+A}$ ${\displaystyle \{\lambda _{1}+\alpha ,\ldots ,\lambda _{k}+\alpha \}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle \{P(\lambda _{1}),\ldots ,P(\lambda _{k})\}}$

Левые и правые собственные векторы

Многие дисциплины традиционно представляют векторы как матрицы с одним столбцом, а не как матрицы с одной строкой. По этой причине слово «собственный вектор» в контексте матриц почти всегда относится к правому собственному вектору , а именно вектору- столбцу , который умножает справа матрицу в определяющем уравнении, уравнении ( 1 ), ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} .}$$

Проблема собственных значений и собственных векторов может быть также определена для векторов- строк , которые оставили матрицу умножения . В этой формулировке определяющее уравнение имеет вид ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \mathbf {u} A=\kappa \mathbf {u} ,}$$

где — скаляр, а — матрица. Любой вектор-строка, удовлетворяющий этому уравнению, называется левым собственным вектором и — его связанным собственным значением. Транспонируем это уравнение, ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \kappa }$ $${\displaystyle A^{\textsf {T}}\mathbf {u} ^{\textsf {T}}=\kappa \mathbf {u} ^{\textsf {T}}.}$$

Сравнивая это уравнение с уравнением ( 1 ), сразу следует, что левый собственный вектор совпадает с транспонированным правым собственным вектором , с тем же собственным значением. Более того, поскольку характеристический многочлен совпадает с характеристическим многочленом , левые и правые собственные векторы связаны с теми же собственными значениями. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle A^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Диагонализация и собственное разложение

Предположим, что собственные векторы матрицы A образуют базис, или, что эквивалентно, A имеет n линейно независимых собственных векторов v ₁ , v ₂ , ..., v _n с соответствующими собственными значениями λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n . Собственные значения не обязательно должны быть различными. Определим квадратную матрицу Q , столбцы которой являются n линейно независимыми собственными векторами матрицы A ,

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.}$

Поскольку каждый столбец Q является собственным вектором A , правое умножение A на Q масштабирует каждый столбец Q на соответствующее ему собственное значение,

${\displaystyle AQ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}&\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}&\cdots &\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.}$

Имея это в виду, определим диагональную матрицу Λ, где каждый диагональный элемент Λ _ii является собственным значением, связанным с i -м столбцом матрицы Q. Тогда

${\displaystyle AQ=Q\Lambda .}$

Поскольку столбцы Q линейно независимы, Q обратим. Умножая обе части уравнения справа на Q ⁻¹ ,

${\displaystyle A=Q\Lambda Q^{-1},}$

или вместо этого умножив обе стороны на Q ⁻¹ ,

${\displaystyle Q^{-1}AQ=\Lambda .}$

Следовательно, A можно разложить на матрицу, составленную из ее собственных векторов, диагональную матрицу с собственными значениями вдоль диагонали и матрицу, обратную матрице собственных векторов. Это называется собственным разложением и является преобразованием подобия . Такая матрица A называется подобной диагональной матрице Λ или диагонализируемой . Матрица Q является матрицей изменения базиса преобразования подобия. По сути, матрицы A и Λ представляют одно и то же линейное преобразование, выраженное в двух разных базисах. Собственные векторы используются в качестве базиса при представлении линейного преобразования как Λ.

Наоборот, предположим, что матрица A диагонализируема. Пусть P — невырожденная квадратная матрица, такая что P ⁻¹ AP — некоторая диагональная матрица D . Умножая обе на P слева , получаем AP = PD . Таким образом, каждый столбец P должен быть собственным вектором A , собственное значение которого является соответствующим диагональным элементом D . Поскольку столбцы P должны быть линейно независимыми для того, чтобы P была обратимой, существует n линейно независимых собственных векторов A . Из этого следует, что собственные векторы A образуют базис тогда и только тогда, когда A диагонализируема.

Матрица, которая не диагонализируется, называется дефектной . Для дефектных матриц понятие собственных векторов обобщается до обобщенных собственных векторов , а диагональная матрица собственных значений обобщается до жордановой нормальной формы . Над алгебраически замкнутым полем любая матрица A имеет жорданову нормальную форму и, следовательно, допускает базис обобщенных собственных векторов и разложение в обобщенные собственные пространства .

Вариационная характеристика

В эрмитовом случае собственным значениям можно дать вариационную характеристику. Наибольшее собственное значение является максимальным значением квадратичной формы . Значение , которое реализует этот максимум, является собственным вектором. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}}H\mathbf {x} /\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Примеры матриц

Пример двумерной матрицы

Матрица преобразования A = сохраняет направление фиолетовых векторов, параллельных v _{λ =1} = [1 −1] ^T , и синих векторов, параллельных v _{λ =3} = [1 1] ^T . Красные векторы не параллельны ни одному из собственных векторов, поэтому их направления изменяются в результате преобразования. Длины фиолетовых векторов не изменяются после преобразования (из-за их собственного значения 1), в то время как синие векторы в три раза длиннее исходных (из-за их собственного значения 3). См. также: Расширенная версия, показывающая все четыре квадранта . ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}}\right]}$

Рассмотрим матрицу $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}$$

Рисунок справа показывает влияние этого преобразования на координаты точек на плоскости. Собственные векторы v этого преобразования удовлетворяют уравнению ( 1 ), а значения λ , для которых определитель матрицы ( A  −  λI ) равен нулю, являются собственными значениями.

Используя определитель, находим характеристический многочлен A , $${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=\left|{\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}\\[6pt]&=3-4\lambda +\lambda ^{2}\\[6pt]&=(\lambda -3)(\lambda -1).\end{aligned}}}$$

Приравняв характеристический многочлен к нулю, получим корни при λ =1 и λ =3 , которые являются двумя собственными значениями A.

При λ =1 уравнение ( 2 ) принимает вид: $${\displaystyle (A-I)\mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle 1v_{1}+1v_{2}=0}$$

Любой ненулевой вектор с v ₁ = − v ₂ решает это уравнение. Следовательно, является собственным вектором A, соответствующим λ = 1, как и любой скалярный кратный этого вектора. $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}v_{1}\\-v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}$$

При λ =3 уравнение ( 2 ) принимает вид $${\displaystyle {\begin{aligned}(A-3I)\mathbf {v} _{\lambda =3}&={\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\-1v_{1}+1v_{2}&=0;\\1v_{1}-1v_{2}&=0\end{aligned}}}$$

Любой ненулевой вектор с v ₁ = v ₂ решает это уравнение. Следовательно, $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$$

является собственным вектором A, соответствующим λ = 3, как и любое скалярное кратное этого вектора.

Таким образом, векторы v _{λ =1} и v _{λ =3} являются собственными векторами матрицы A , связанными с собственными значениями λ =1 и λ =3 соответственно.

Пример трехмерной матрицы

Рассмотрим матрицу $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}.}$$

Характеристический многочлен A равен $${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=\left|{\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0\\0&3-\lambda &4\\0&4&9-\lambda \end{vmatrix}},\\[6pt]&=(2-\lambda ){\bigl [}(3-\lambda )(9-\lambda )-16{\bigr ]}=-\lambda ^{3}+14\lambda ^{2}-35\lambda +22.\end{aligned}}}$$

Корни характеристического многочлена — 2, 1 и 11, которые являются единственными тремя собственными значениями A. Эти собственные значения соответствуют собственным векторам , , и , или любым их ненулевым кратным. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-2&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&2\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

Пример трехмерной матрицы с комплексными собственными значениями

Рассмотрим матрицу циклической перестановки $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}.}$$

Эта матрица сдвигает координаты вектора на одну позицию вверх и перемещает первую координату вниз. Ее характеристический полином равен 1 −  λ ³ , корни которого равны , где — мнимая единица с . $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=1\\\lambda _{2}&=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\lambda _{3}&=\lambda _{2}^{*}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$

Для действительного собственного значения λ ₁ = 1 любой вектор с тремя равными ненулевыми элементами является собственным вектором. Например, $${\displaystyle A{\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}.}$$

Для комплексно-сопряженной пары мнимых собственных значений, $${\displaystyle \lambda _{2}\lambda _{3}=1,\quad \lambda _{2}^{2}=\lambda _{3},\quad \lambda _{3}^{2}=\lambda _{2}.}$$

Тогда и $${\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{2}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{3}\\\lambda _{2}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{3}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$$

Следовательно, два других собственных вектора A являются комплексными и имеют собственные значения λ ₂ и λ ₃ соответственно. Два комплексных собственных вектора также появляются в комплексно-сопряженной паре, ${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{2}&\lambda _{3}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{3}&\lambda _{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{2}}=\mathbf {v} _{\lambda _{3}}^{*}.}$$

Пример диагональной матрицы

Матрицы с элементами только по главной диагонали называются диагональными матрицами . Собственные значения диагональной матрицы — это сами диагональные элементы. Рассмотрим матрицу $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}.}$$

Характеристический многочлен A равен $${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),}$$

который имеет корни λ ₁ = 1 , λ ₂ = 2 и λ ₃ = 3. Эти корни являются диагональными элементами , а также собственными значениями  A.

Каждый диагональный элемент соответствует собственному вектору, единственный ненулевой компонент которого находится в той же строке, что и этот диагональный элемент. В примере собственные значения соответствуют собственным векторам, $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},}$$

соответственно, а также скалярные кратные этих векторов.

Пример треугольной матрицы

Матрица, элементы которой выше главной диагонали все равны нулю, называется нижней треугольной матрицей , а матрица, элементы которой ниже главной диагонали все равны нулю, называется верхней треугольной матрицей . Как и в случае с диагональными матрицами, собственные значения треугольных матриц являются элементами главной диагонали.

Рассмотрим нижнюю треугольную матрицу, $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\1&2&0\\2&3&3\end{bmatrix}}.}$$

Характеристический многочлен A равен $${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),}$$

который имеет корни λ ₁ = 1 , λ ₂ = 2 и λ ₃ = 3. Эти корни являются диагональными элементами , а также собственными значениями  A.

Эти собственные значения соответствуют собственным векторам, $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\-1\\{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\-3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},}$$

соответственно, а также скалярные кратные этих векторов.

Пример матрицы с повторяющимися собственными значениями

Как и в предыдущем примере, нижняя треугольная матрица имеет характеристический многочлен, являющийся произведением ее диагональных элементов, $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&2&0&0\\0&1&3&0\\0&0&1&3\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle \det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0&0\\1&2-\lambda &0&0\\0&1&3-\lambda &0\\0&0&1&3-\lambda \end{vmatrix}}=(2-\lambda )^{2}(3-\lambda )^{2}.}$$

Корни этого многочлена, а значит и собственные значения, равны 2 и 3. Алгебраическая кратность каждого собственного значения равна 2; другими словами, они оба являются двойными корнями. Сумма алгебраических кратностей всех различных собственных значений равна μ _A = 4 = n , порядок характеристического многочлена и размерность A .

С другой стороны, геометрическая кратность собственного значения 2 равна только 1, поскольку его собственное пространство охватывается всего одним вектором и, следовательно, является одномерным. Аналогично, геометрическая кратность собственного значения 3 равна 1, поскольку его собственное пространство охватывается всего одним вектором . Общая геометрическая кратность γ _A равна 2, что является наименьшим возможным значением для матрицы с двумя различными собственными значениями. Геометрические кратности определяются в следующем разделе. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&-1&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

Тождество собственного вектора и собственного значения

Для эрмитовой матрицы квадрат нормы j -го компонента нормализованного собственного вектора можно вычислить, используя только собственные значения матрицы и собственные значения соответствующей младшей матрицы , где — подматрица, образованная путем удаления j -й строки и столбца из исходной матрицы. ^{[33] [34] [35]} Это тождество также распространяется на диагонализуемые матрицы и многократно переоткрывалось в литературе. ^{[34] [36]} $${\displaystyle |v_{i,j}|^{2}={\frac {\prod _{k}{(\lambda _{i}-\lambda _{k}(M_{j}))}}{\prod _{k\neq i}{(\lambda _{i}-\lambda _{k})}}},}$$ ${\textstyle M_{j}}$

Собственные значения и собственные функции дифференциальных операторов

Определения собственных значений и собственных векторов линейного преобразования T остаются в силе, даже если базовое векторное пространство является бесконечномерным гильбертовым или банаховым пространством . Широко используемый класс линейных преобразований, действующих на бесконечномерных пространствах, — это дифференциальные операторы на функциональных пространствах . Пусть D — линейный дифференциальный оператор на пространстве C ^∞ бесконечно дифференцируемых действительных функций действительного аргумента t . Уравнение собственных значений для D — это дифференциальное уравнение $${\displaystyle Df(t)=\lambda f(t)}$$

Функции, удовлетворяющие этому уравнению, являются собственными векторами D и обычно называются собственными функциями .

Пример оператора производной

Рассмотрим оператор производной с уравнением собственных значений ${\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).}$$

Это дифференциальное уравнение можно решить, умножив обе части на dt / f ( t ) и проинтегрировав . Его решение, экспоненциальная функция, является собственной функцией оператора производной. В этом случае собственная функция сама является функцией своего соответствующего собственного значения. В частности, при λ = 0 собственная функция f ( t ) является константой. $${\displaystyle f(t)=f(0)e^{\lambda t},}$$

В основной статье о собственных функциях приведены и другие примеры.

Общее определение

Понятие собственных значений и собственных векторов естественным образом распространяется на произвольные линейные преобразования в произвольных векторных пространствах. Пусть V — любое векторное пространство над некоторым полем K скаляров , а T — линейное преобразование, отображающее V в V , $${\displaystyle T:V\to V.}$$

Мы говорим, что ненулевой вектор v ∈ V является собственным вектором T тогда и только тогда, когда существует скаляр λ ∈ K такой, что

Это уравнение называется уравнением собственных значений для T , а скаляр λ является собственным значением T, соответствующим собственному вектору v . T ( v ) является результатом применения преобразования T к вектору v , тогда как λ v является произведением скаляра λ на v . ^{[37] [38]}

Собственные пространства, геометрическая множественность и собственный базис

При заданном собственном значении λ рассмотрим множество $${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v} :T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} \right\},}$$

который является объединением нулевого вектора с множеством всех собственных векторов, связанных с  λ . E называется собственным пространством или характеристическим пространством T, связанным с  λ . ^[39]

По определению линейного преобразования, $${\displaystyle {\begin{aligned}T(\mathbf {x} +\mathbf {y} )&=T(\mathbf {x} )+T(\mathbf {y} ),\\T(\alpha \mathbf {x} )&=\alpha T(\mathbf {x} ),\end{aligned}}}$$

для x ,  y  ∈ V и α  ∈ K. Следовательно, если u и v являются собственными векторами T , связанными с собственным значением λ , а именно u ,  v  ∈ E , то $${\displaystyle {\begin{aligned}T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )&=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} ),\\T(\alpha \mathbf {v} )&=\lambda (\alpha \mathbf {v} ).\end{aligned}}}$$

Итак, и u + v, и α v являются либо нулями, либо собственными векторами T , связанными с λ , а именно u + v , α v ∈ E , и E замкнуто относительно сложения и скалярного умножения. Собственное пространство E, связанное с λ, является, таким образом, линейным подпространством V. ^[40] Если это подпространство имеет размерность 1, его иногда называют собственной линией . ^[41]

Геометрическая кратность γ _T ( λ ) собственного значения λ — это размерность собственного пространства, связанного с λ , т. е. максимальное число линейно независимых собственных векторов, связанных с этим собственным значением. ^{[9] [26] [42]} По определению собственных значений и собственных векторов, γ _T ( λ ) ≥ 1, поскольку каждое собственное значение имеет по крайней мере один собственный вектор.

Собственные пространства T всегда образуют прямую сумму . Как следствие, собственные векторы различных собственных значений всегда линейно независимы. Следовательно, сумма размерностей собственных пространств не может превышать размерность n векторного пространства, на котором действует T , и не может быть более n различных собственных значений. ^[d]

Любое подпространство, охватываемое собственными векторами T, является инвариантным подпространством T , и ограничение T на такое подпространство диагонализуемо. Более того, если все векторное пространство V может быть охватываемо собственными векторами T , или, что эквивалентно, если прямая сумма собственных пространств, связанных со всеми собственными значениями T, является всем векторным пространством V , то базис V , называемый собственным базисом, может быть образован из линейно независимых собственных векторов T. Когда T допускает собственный базис, T диагонализуемо.

Спектральная теория

Если λ является собственным значением T , то оператор ( T − λI ) не является взаимно-однозначным , и, следовательно, его обратный оператор ( T − λI ) ⁻¹ не существует. Обратное верно для конечномерных векторных пространств, но не для бесконечномерных векторных пространств. В общем случае оператор ( T − λI ) может не иметь обратного оператора, даже если λ не является собственным значением.

По этой причине в функциональном анализе собственные значения могут быть обобщены на спектр линейного оператора T как множество всех скаляров λ, для которых оператор ( T − λI ) не имеет ограниченного обратного. Спектр оператора всегда содержит все его собственные значения, но не ограничивается ими.

Ассоциативные алгебры и теория представлений

Можно обобщить алгебраический объект, действующий на векторное пространство, заменив один оператор, действующий на векторное пространство, представлением алгебры – ассоциативной алгеброй, действующей на модуль . Изучение таких действий является областью теории представлений .

Представление в теории весов является аналогом собственных значений, тогда как весовые векторы и весовые пространства являются аналогами собственных векторов и собственных пространств соответственно.

Собственный пучок Гекке является тензорным кратным самого себя и рассматривается в соответствии Ленглендса .

Динамические уравнения

Простейшие разностные уравнения имеют вид

${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{t-k}.}$

Решение этого уравнения относительно x относительно t находится с помощью его характеристического уравнения

${\displaystyle \lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0,}$

которые можно найти, сложив в матричную форму набор уравнений, состоящий из вышеприведенного дифференциального уравнения и k  – 1 уравнений, дающих k -мерную систему первого порядка в сложенном векторе переменных в терминах его однократно запаздывающего значения, и взяв характеристическое уравнение матрицы этой системы. Это уравнение дает k характеристических корней для использования в уравнении решения ${\displaystyle x_{t-1}=x_{t-1},\ \dots ,\ x_{t-k+1}=x_{t-k+1},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{t}&\cdots &x_{t-k+1}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\,\ldots ,\,\lambda _{k},}$

${\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.}$

Аналогичная процедура используется для решения дифференциального уравнения вида

${\displaystyle {\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.}$

Расчет

Вычисление собственных значений и собственных векторов — это тема, где теория, представленная в учебниках элементарной линейной алгебры, часто очень далека от практики.

Классический метод

Классический метод заключается в том, чтобы сначала найти собственные значения, а затем вычислить собственные векторы для каждого собственного значения. Он в нескольких отношениях плохо подходит для неточной арифметики, такой как числа с плавающей точкой .

Собственные значения

Собственные значения матрицы можно определить, найдя корни характеристического полинома. Это легко для матриц, но сложность быстро возрастает с размером матрицы. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

Теоретически коэффициенты характеристического многочлена могут быть вычислены точно, поскольку они являются суммами произведений элементов матрицы; и существуют алгоритмы, которые могут найти все корни многочлена произвольной степени с любой требуемой точностью . ^[43] Однако этот подход нежизнеспособен на практике, поскольку коэффициенты будут загрязнены неизбежными ошибками округления , а корни многочлена могут быть чрезвычайно чувствительной функцией коэффициентов (как показано на примере многочлена Уилкинсона ). ^[43] Даже для матриц, элементы которых являются целыми числами, вычисление становится нетривиальным, поскольку суммы очень длинные; постоянный член является определителем , который для матрицы является суммой различных произведений. ^[e] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n!}$

Явные алгебраические формулы для корней многочлена существуют только если степень равна 4 или меньше. Согласно теореме Абеля–Руффини не существует общей, явной и точной алгебраической формулы для корней многочлена степени 5 или больше. (Общность имеет значение, поскольку любой многочлен степени является характеристическим многочленом некоторой сопутствующей матрицы порядка .) Поэтому для матриц порядка 5 или больше собственные значения и собственные векторы не могут быть получены явной алгебраической формулой и поэтому должны вычисляться приближенными численными методами . Даже точная формула для корней многочлена степени 3 численно непрактична. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Собственные векторы

Как только (точное) значение собственного значения известно, соответствующие собственные векторы могут быть найдены путем нахождения ненулевых решений уравнения собственных значений, которое становится системой линейных уравнений с известными коэффициентами. Например, как только известно, что 6 является собственным значением матрицы $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}}$$

мы можем найти его собственные векторы, решив уравнение , то есть ${\displaystyle Av=6v}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=6\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

Это матричное уравнение эквивалентно двум линейным уравнениям , то есть $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}4x+y&=6x\\6x+3y&=6y\end{aligned}}\right.}$$          ${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}-2x+y&=0\\6x-3y&=0\end{aligned}}\right.}$

Оба уравнения сводятся к одному линейному уравнению . Следовательно, любой вектор вида , для любого ненулевого действительного числа , является собственным вектором с собственным значением . ${\displaystyle y=2x}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&2a\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda =6}$

Матрица выше имеет еще одно собственное значение . Аналогичное вычисление показывает, что соответствующие собственные векторы являются ненулевыми решениями , то есть любым вектором вида , для любого ненулевого действительного числа . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle 3x+y=0}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}b&-3b\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle b}$

Простые итерационные методы

Обратный подход, сначала поиск собственных векторов, а затем определение каждого собственного значения из его собственного вектора, оказывается гораздо более податливым для компьютеров. Самый простой алгоритм здесь состоит в выборе произвольного начального вектора и последующем многократном умножении его на матрицу (опционально нормализуя вектор, чтобы сохранить его элементы разумного размера); это заставляет вектор сходиться к собственному вектору. Вариация заключается в том, чтобы вместо этого умножить вектор на ; это заставляет его сходиться к собственному вектору собственного значения, ближайшего к . ${\displaystyle (A-\mu I)^{-1}}$ ${\displaystyle \mu \in \mathbb {C} }$

Если является (хорошим приближением) собственным вектором , то соответствующее собственное значение можно вычислить как ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} }{\mathbf {v} ^{*}\mathbf {v} }}}$

где обозначает сопряженное транспонирование . ${\displaystyle \mathbf {v} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Современные методы

Эффективные и точные методы вычисления собственных значений и собственных векторов произвольных матриц не были известны до тех пор, пока в 1961 году не был разработан алгоритм QR . ^[43] Объединение преобразования Хаусхолдера с LU-разложением приводит к алгоритму с лучшей сходимостью, чем у алгоритма QR. ^{[ требуется ссылка ]} Для больших эрмитовых разреженных матриц алгоритм Ланцоша является одним из примеров эффективного итеративного метода вычисления собственных значений и собственных векторов, среди нескольких других возможностей. ^[43]

Большинство численных методов, вычисляющих собственные значения матрицы, также определяют набор соответствующих собственных векторов как побочный продукт вычисления, хотя иногда разработчики решают отбросить информацию о собственных векторах, как только она больше не нужна.

Приложения

Геометрические преобразования

Собственные векторы и собственные значения могут быть полезны для понимания линейных преобразований геометрических фигур. В следующей таблице представлены некоторые примеры преобразований на плоскости вместе с их матрицами 2×2, собственными значениями и собственными векторами.

Характеристическое уравнение для поворота — это квадратное уравнение с дискриминантом , которое является отрицательным числом, когда θ не является целым кратным 180°. Поэтому, за исключением этих особых случаев, два собственных значения являются комплексными числами, ; и все собственные векторы имеют недействительные элементы. Действительно, за исключением этих особых случаев, поворот изменяет направление каждого ненулевого вектора в плоскости. ${\displaystyle D=-4(\sin \theta )^{2}}$ ${\displaystyle \cos \theta \pm i\sin \theta }$

Линейное преобразование, переводящее квадрат в прямоугольник той же площади ( отображение сжатия ), имеет обратные собственные значения.

Анализ главных компонент

PCA многомерного гауссовского распределения с центром в точке со стандартным отклонением 3 примерно в направлении и 1 в ортогональном направлении. Показанные векторы являются единичными собственными векторами (симметричной, положительно-полуопределенной) ковариационной матрицы, масштабированной квадратным корнем соответствующего собственного значения. Как и в одномерном случае, квадратный корень берется, поскольку стандартное отклонение легче визуализировать, чем дисперсию . ${\displaystyle (1,3)}$ ${\displaystyle (0.878,0.478)}$

Собственное разложение симметричной положительно полуопределенной (PSD) матрицы дает ортогональный базис собственных векторов , каждый из которых имеет неотрицательное собственное значение. Ортогональное разложение матрицы PSD используется в многомерном анализе , где выборочные ковариационные матрицы являются PSD. Это ортогональное разложение называется анализом главных компонент (PCA) в статистике. PCA изучает линейные связи между переменными. PCA выполняется на ковариационной матрице или корреляционной матрице (в которой каждая переменная масштабируется так, чтобы ее выборочная дисперсия была равна единице). Для ковариационной или корреляционной матрицы собственные векторы соответствуют главным компонентам , а собственные значения - дисперсии , объясняемой главными компонентами. Анализ главных компонент корреляционной матрицы обеспечивает ортогональный базис для пространства наблюдаемых данных: в этом базисе наибольшие собственные значения соответствуют главным компонентам, которые связаны с большей частью ковариации среди ряда наблюдаемых данных.

Анализ главных компонент используется как средство снижения размерности при изучении больших наборов данных , таких как те, которые встречаются в биоинформатике . В методологии Q собственные значения корреляционной матрицы определяют суждение Q-методиста о практической значимости (которая отличается от статистической значимости проверки гипотез ; ср. критерии определения числа факторов ). В более общем плане анализ главных компонент может использоваться как метод факторного анализа в моделировании структурных уравнений .

Графики

В спектральной теории графов собственное значение графа определяется как собственное значение матрицы смежности графа или (все чаще) матрицы Лапласа графа из-за его дискретного оператора Лапласа , который является либо (иногда называемым комбинаторным Лапласианом ), либо (иногда называемым нормализованным Лапласианом ), где — диагональная матрица с равной степени вершины , а в , й диагональный элемент равен . й главный собственный вектор графа определяется либо как собственный вектор, соответствующий й наибольшему или й наименьшему собственному значению Лапласа. Первый главный собственный вектор графа также называется просто главным собственным вектором. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D-A}$ ${\displaystyle I-D^{-1/2}AD^{-1/2}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{ii}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle D^{-1/2}}$ ${\displaystyle i}$ ${\textstyle 1/{\sqrt {\deg(v_{i})}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Главный собственный вектор используется для измерения центральности его вершин. Примером является алгоритм PageRank от Google . Главный собственный вектор модифицированной матрицы смежности графа Всемирной паутины дает ранги страниц в качестве своих компонентов. Этот вектор соответствует стационарному распределению цепи Маркова , представленной нормализованной по строкам матрицей смежности; однако матрица смежности должна быть сначала изменена, чтобы обеспечить существование стационарного распределения. Второй наименьший собственный вектор может быть использован для разбиения графа на кластеры с помощью спектральной кластеризации . Для кластеризации также доступны другие методы.

цепи Маркова

Цепь Маркова представлена ​​матрицей, элементы которой являются вероятностями переходов между состояниями системы. В частности, элементы неотрицательны, и каждая строка матрицы в сумме дает единицу, являющуюся суммой вероятностей переходов из одного состояния в некоторое другое состояние системы. Теорема Перрона–Фробениуса дает достаточные условия для того, чтобы цепь Маркова имела единственное доминирующее собственное значение, которое управляет сходимостью системы к устойчивому состоянию.

Анализ вибрации

Форма колебаний камертона на собственной частоте 440,09 Гц

Проблемы собственных значений возникают естественным образом при анализе вибрации механических конструкций со многими степенями свободы . Собственные значения являются собственными частотами (или собственными частотами ) вибрации, а собственные векторы являются формами этих колебательных мод. В частности, незатухающая вибрация регулируется или $${\displaystyle m{\ddot {x}}+kx=0}$$ $${\displaystyle m{\ddot {x}}=-kx}$$

То есть ускорение пропорционально положению (т.е. мы ожидаем, что оно будет синусоидальным во времени). ${\displaystyle x}$

В измерениях становится матрицей масс и матрицей жесткости . Допустимые решения тогда являются линейной комбинацией решений обобщенной задачи собственных значений , где - собственное значение, а - (мнимая) угловая частота . Основные моды колебаний отличаются от основных мод податливости, которые являются собственными векторами только . Кроме того, затухающая вибрация , регулируемая приводит к так называемой квадратичной задаче собственных значений , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle kx=\omega ^{2}mx}$$ ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0}$$ $${\displaystyle \left(\omega ^{2}m+\omega c+k\right)x=0.}$$

Эту задачу можно свести к обобщенной задаче на собственные значения с помощью алгебраических манипуляций, но за счет решения более крупной системы.

Свойства ортогональности собственных векторов позволяют разделить дифференциальные уравнения , так что система может быть представлена ​​в виде линейной суммы собственных векторов. Проблема собственных значений сложных структур часто решается с использованием конечно-элементного анализа , но аккуратно обобщает решение для скалярно-значных задач вибрации.

Тензор момента инерции

В механике собственные векторы тензора момента инерции определяют главные оси твердого тела . Тензор момента инерции является ключевой величиной, необходимой для определения вращения твердого тела вокруг его центра масс .

Тензор напряжений

В механике твердого тела тензор напряжений симметричен и поэтому может быть разложен на диагональный тензор с собственными значениями на диагонали и собственными векторами в качестве базиса. Поскольку он диагональный, в этой ориентации тензор напряжений не имеет компонент сдвига ; компоненты, которые у него есть, являются главными компонентами.

Уравнение Шредингера

Волновые функции, связанные со связанными состояниями электрона в атоме водорода , можно рассматривать как собственные векторы гамильтониана атома водорода , а также оператора углового момента . Они связаны с собственными значениями, интерпретируемыми как их энергии (увеличивающиеся вниз: ) и угловые моменты (увеличивающиеся поперек: s, p, d, ...). На рисунке показан квадрат абсолютного значения волновых функций. Более яркие области соответствуют более высокой плотности вероятности для измерения положения . Центр каждой фигуры — атомное ядро , протон . ${\displaystyle n=1,\,2,\,3,\,\ldots }$

Примером уравнения на собственные значения, в котором преобразование представлено в терминах дифференциального оператора, является не зависящее от времени уравнение Шредингера в квантовой механике : ${\displaystyle T}$

${\displaystyle H\psi _{E}=E\psi _{E}\,}$

где , Гамильтониан , является дифференциальным оператором второго порядка , а , волновая функция , является одной из его собственных функций, соответствующей собственному значению , интерпретируемому как его энергия . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \psi _{E}}$ ${\displaystyle E}$

Однако в случае, когда интерес представляют только решения уравнения Шредингера для связанного состояния , ищут в пространстве квадратично интегрируемых функций. Поскольку это пространство является гильбертовым пространством с хорошо определенным скалярным произведением , можно ввести базисный набор , в котором и могут быть представлены как одномерный массив (т. е. вектор) и матрица соответственно. Это позволяет представить уравнение Шредингера в матричной форме. ${\displaystyle \psi _{E}}$ ${\displaystyle \psi _{E}}$ ${\displaystyle H}$

В этом контексте часто используется обозначение скобок . Вектор, представляющий состояние системы, в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций представлен как . В этой записи уравнение Шредингера имеет вид: ${\displaystyle |\Psi _{E}\rangle }$

${\displaystyle H|\Psi _{E}\rangle =E|\Psi _{E}\rangle }$

где — собственное состояние и представляет собственное значение. — наблюдаемый самосопряженный оператор , бесконечномерный аналог эрмитовых матриц. Как и в случае матрицы, в приведенном выше уравнении подразумевается вектор, полученный путем применения преобразования к . ${\displaystyle |\Psi _{E}\rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H|\Psi _{E}\rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle |\Psi _{E}\rangle }$

Волновой транспорт

Свет , акустические волны и микроволны случайным образом рассеиваются много раз при прохождении через статическую неупорядоченную систему. Несмотря на то, что многократное рассеяние многократно рандомизирует волны, в конечном итоге когерентный перенос волн через систему является детерминированным процессом, который можно описать матрицей передачи поля . ^{[44] [45]} Собственные векторы оператора передачи образуют набор входных волновых фронтов, специфичных для беспорядка, которые позволяют волнам связываться с собственными каналами неупорядоченной системы: независимые пути, по которым волны могут проходить через систему. Собственные значения, , соответствуют коэффициенту пропускания интенсивности, связанному с каждым собственным каналом. Одним из замечательных свойств оператора передачи диффузионных систем является их бимодальное распределение собственных значений с и . ^[45] Кроме того, одним из поразительных свойств открытых собственных каналов, помимо идеального коэффициента пропускания, является статистически надежный пространственный профиль собственных каналов. ^[46] ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \mathbf {t} ^{\dagger }\mathbf {t} }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbf {t} ^{\dagger }\mathbf {t} }$ ${\displaystyle \tau _{\max }=1}$ ${\displaystyle \tau _{\min }=0}$

Молекулярные орбитали

В квантовой механике , и в частности в атомной и молекулярной физике , в рамках теории Хартри-Фока атомные и молекулярные орбитали могут быть определены собственными векторами оператора Фока . Соответствующие собственные значения интерпретируются как потенциалы ионизации с помощью теоремы Купманса . В этом случае термин собственный вектор используется в несколько более общем смысле, поскольку оператор Фока явно зависит от орбиталей и их собственных значений. Таким образом, если кто-то хочет подчеркнуть этот аспект, он говорит о нелинейных задачах на собственные значения. Такие уравнения обычно решаются с помощью итерационной процедуры, называемой в этом случае методом самосогласованного поля . В квантовой химии часто представляют уравнение Хартри-Фока в неортогональном базисном наборе . Это конкретное представление является обобщенной задачей на собственные значения, называемой уравнениями Рутана .

Геология и гляциология

В геологии , особенно при изучении ледникового тилла , собственные векторы и собственные значения используются как метод, с помощью которого масса информации об ориентации и наклоне составляющих обломочной ткани может быть суммирована в трехмерном пространстве шестью числами. В полевых условиях геолог может собирать такие данные для сотен или тысяч обломков в образце почвы, которые можно сравнить только графически, например, на диаграмме Tri-Plot (Sneed and Folk), ^{[47] [48]} или как стереосеть на сети Вульфа. ^[49]

Выходные данные для тензора ориентации находятся в трех ортогональных (перпендикулярных) осях пространства. Три собственных вектора упорядочены по их собственным значениям ; ^[50] тогда — это первичная ориентация/падение обломка, — вторичная и — третичная, с точки зрения прочности. Ориентация обломка определяется как направление собственного вектора на компасе 360 ° . Падение измеряется как собственное значение, модуль тензора: оно оценивается от 0° (нет падения) до 90° (вертикально). Относительные значения , и определяются природой структуры осадка. Если , структура называется изотропной. Если , структура называется плоской. Если , структура называется линейной. ^[51] ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{3}}$ ${\displaystyle E_{1}\geq E_{2}\geq E_{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{3}}$ ${\displaystyle E_{1}=E_{2}=E_{3}}$ ${\displaystyle E_{1}=E_{2}>E_{3}}$ ${\displaystyle E_{1}>E_{2}>E_{3}}$

Базовый номер репродукции

Базовое число воспроизводства ( ) является фундаментальным числом в изучении того, как распространяются инфекционные заболевания. Если один инфекционный человек поместить в популяцию полностью восприимчивых людей, то это среднее число людей, которых заразит один типичный инфекционный человек. Время генерации инфекции - это время, , от момента заражения одного человека до момента заражения следующего человека. В гетерогенной популяции матрица следующего поколения определяет, сколько людей в популяции заразятся по прошествии времени . Тогда это значение является наибольшим собственным значением матрицы следующего поколения. ^{[52] [53]} ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle t_{G}}$ ${\displaystyle t_{G}}$ ${\displaystyle R_{0}}$

Собственные лица

Собственные лица как примеры собственных векторов

При обработке изображений обработанные изображения лиц можно рассматривать как векторы, компонентами которых являются яркости каждого пикселя . ^[54] Размерность этого векторного пространства — это количество пикселей. Собственные векторы ковариационной матрицы , связанной с большим набором нормализованных изображений лиц, называются собственными лицами ; это пример анализа главных компонент . Они очень полезны для выражения любого изображения лица как линейной комбинации некоторых из них. В ветви биометрии распознавания лиц собственные лица предоставляют средство применения сжатия данных к лицам в целях идентификации . Также были проведены исследования, связанные с системами собственного зрения, определяющими жесты рук.

Подобно этой концепции, собственные голоса представляют собой общее направление изменчивости в человеческом произношении конкретного высказывания, например, слова в языке. На основе линейной комбинации таких собственных голосов может быть построено новое голосовое произношение слова. Эти концепции оказались полезными в системах автоматического распознавания речи для адаптации говорящего.

Смотрите также

• Теория антисобственных значений
• Собственный оператор
• Собственная плоскость
• Собственные моменты
• Алгоритм собственных значений
• Квантовые состояния
• Нормальная форма Жордана
• Список программного обеспечения для численного анализа
• Нелинейная собственная задача
• Нормальное собственное значение
• Квадратичная задача на собственные значения
• Единственное значение
• Спектр матрицы

Примечания

1. Примечание:
   • В 1751 году Леонард Эйлер доказал, что любое тело имеет главную ось вращения: Леонард Эйлер (представлено: октябрь 1751 года; опубликовано: 1760 год) «Du mouvement d'un Corps Solide Quelconque lorsqu'il Tourne Autour d'un Ax Mobile» (На движение любого твердого тела при его вращении вокруг движущейся оси), Histoire de l'Académie royale des Sciences et des belles lettres de Berlin , стр. 176–227. На стр. 212, Эйлер доказывает, что любое тело содержит главную ось вращения: «Теорема. 44. De quelquefigure que soit le corps, on y peut toujours Asseter un tel axe, qui passe par son center de Gravité, autour duquel le corps peut Tourner Свобода и униформа движения». (Теорема 44. Какова бы ни была форма тела, ему всегда можно приписать такую ​​ось, проходящую через его центр тяжести, вокруг которой оно может свободно и равномерно вращаться.)
   • В 1755 году Иоганн Андреас Зегнер доказал, что любое тело имеет три главные оси вращения: Иоганн Андреас Зегнер, Specimen theoriae turbinum [Очерк теории волчков (т. е. вращающихся тел)] (Halle («Halae»), (Германия): Гебауэр, 1755). (https://books.google.com/books?id=29 стр. xxviiii [29]) Сегнер выводит уравнение третьей степени относительно t , которое доказывает, что тело имеет три главные оси вращения. Затем он заявляет (на той же странице): «Non autem repugnat tres esse eiusmodipositiones plani HM, quia in aequatione Cubaca radices tres esse possunt, et tres tangentis t valores». (Однако не является несовместимым, что [существует] три таких положения плоскости HM, поскольку в кубических уравнениях [существует] три корня и три значения тангенса t.)
   • Соответствующий отрывок из работы Сегнера был кратко рассмотрен Артуром Кейли . См.: A. Cayley (1862) «Отчет о ходе решения некоторых специальных проблем динамики», Отчет о тридцать втором заседании Британской ассоциации содействия развитию науки; состоявшемся в Кембридже в октябре 1862 г. , 32 : 184–252; см. особенно стр. 225–226.
2. Клайн 1972, стр. 807–808 Огюстен Коши (1839) «Mémoire sur l'intégration des équations linéaires» (Мемуары об интегрировании линейных уравнений), Comptes rendus , 8 : 827–830, 845–865, 889–907 , 931–937. Из стр. 827: «On sait d'ailleurs qu'en suivant la méthode de Lagrange, on obtient pour valeur générale de la prinicipale une fonction dans laquelle entrent avec lavariuminneles racines d'une somee équation que j'appellerai l' équation caractéristique le degré de l'equation différentielle qu'il s'agit d'intégrer." (Известно, кроме того, что, следуя методу Лагранжа, для общего значения главной переменной получается функция, в которой вместе с главной переменной появляются корни некоторого уравнения, которое я буду называть «характеристическим уравнением»). (При этом степень этого уравнения в точности соответствует порядку дифференциального уравнения, которое необходимо проинтегрировать.)
3. См.:
   • Давид Гильберт (1904) «Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen. (Erste Mitteilung)» (Основы общей теории линейных интегральных уравнений. (Первый отчет)), Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse ( Известия Философского общества в Геттингене, математико-физический отдел), стр. 49–91. Из стр. 51: «Insbesondere in dieser ersten Mitteilung gelange ich zu Formeln, die die Entwickelung einer willkürlichen Funktion nach gewissen ausgezeichneten Funktionen, die ich 'Eigenfunktionen' nenne, Liefern: ...» (В частности, в этом первом отчете я прихожу к формулам, которые обеспечить [серийное] развитие произвольной функции через некоторые отличительные функции, которые я называю собственными функциями : ...) Далее на той же странице: «Dieser Erfolg ist wesentlich durch den Umstand Bedingt, daß ich nicht, wie es bisher geschah , in erster Linie auf den Beweis für die Existenz der Eigenwerte ausgehe,...» (Этот успех объясняется главным образом тем, что я делаю не стремиться, как это случалось до сих пор, прежде всего к доказательству существования собственных значений, ... )
   • О происхождении и развитии терминов «собственное значение», «характеристическое значение» и т. д. см.: Самые ранние известные случаи использования некоторых слов из области математики (E)
4. Доказательство этой леммы см. в Roman 2008, Theorem 8.2 на стр. 186; Shilov 1977, стр. 109; Hefferon 2001, стр. 364; Beezer 2006, Theorem EDELI на стр. 469; и Lemma for linear independent of eigenvectors
5. Выполняя гауссово исключение над формальными степенными рядами, усеченными до членов, можно обойтись без операций, но это не учитывает комбинаторный взрыв . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle O(n^{4})}$

Цитаты

1. Burden & Faires 1993, с. 401.
2. Гилберт Стрэнг. "6: Собственные значения и собственные векторы". Введение в линейную алгебру (PDF) (5-е изд.). Wellesley-Cambridge Press.
3. Херштейн 1964, стр. 228, 229.
4. Nering 1970, стр. 38.
5. Беттеридж 1965.
6. "Собственный вектор и собственное значение". www.mathsisfun.com . Получено 19 августа 2020 г. .
7. Пресс и др. 2007, стр. 536.
8. Wolfram.com: Собственный вектор.
9. Неринг 1970, стр. 107.
10. Хокинс 1975, §2.
11. Хокинс 1975, §3.
12. Клайн 1972, стр. 673.
13. Kline 1972, стр. 807–808.
14. Клайн 1972, стр. 715–716.
15. Клайн 1972, стр. 706–707.
16. Клайн 1972, стр. 1063, стр..
17. Олдрич 2006.
18. Фрэнсис 1961, стр. 265–271.
19. Кублановская 1962.
20. Голуб и Ван Лоан 1996, §7.3.
21. Мейер 2000, §7.3.
22. Кафедра математики Корнеллского университета (2016) Курсы начального уровня для первокурсников и второкурсников. Дата обращения 27.03.2016.
23. Математический каталог курсов Мичиганского университета (2016) Архивировано 01.11.2015 на Wayback Machine . Доступ 27.03.2016.
24. Пресс и др. 2007, стр. 38.
25. Фрейли 1976, стр. 358.
26. Голуб и Ван Лоан 1996, стр. 316.
27. Антон 1987, стр. 305, 307.
28. Beauregard & Fraleigh 1973, стр. 307.
29. Херштейн 1964, стр. 272.
30. Неринг 1970, стр. 115–116.
31. Херштейн 1964, стр. 290.
32. Неринг 1970, стр. 116.
33. Вулховер 2019.
34. Дентон и др. 2022.
35. Ван Мигем 2014.
36. Ван Мигем 2024.
37. Корн и Корн 2000, раздел 14.3.5a.
38. Фридберг, Инсел и Спенс 1989, стр. 217.
39. Роман 2008, стр. 186 §8
40. Неринг 1970, стр. 107; Шилов 1977, стр. 109 Лемма для собственного пространства
41. Липшуц и Липсон 2002, с. 111.
42. Роман 2008, стр. 189 §8.
43. Трефетен и Бау 1997.
44. Веллекуп и Моск 2007, стр. 2309–2311.
45. Rotter & Gigan 2017, стр. 15005.
46. Бендер и др. 2020, с. 165901.
47. Грэм и Мидгли 2000, стр. 1473–1477.
48. Снид и Фолк 1958, стр. 114–150.
49. Нокс-Робинсон и Гардолл 1998, стр. 243.
50. Буше, Кристиан; Шиллер, Беате. «Эндогенная геология - Рурский университет Бохума». www.ruhr-uni-bochum.de .
51. Бенн и Эванс 2004, стр. 103–107.
52. Дикманн, Хестербек и Мец 1990, стр. 365–382.
53. Хестербек и Дикманн 2000.
54. Ксирухакис, Вотсис и Делопулус 2004.

Источники

• Олдрич, Джон (2006), «Собственное значение, собственная функция, собственный вектор и связанные с ними термины», в книге Миллера, Джеффа (ред.), Самые ранние известные примеры использования некоторых слов из области математики
• Антон, Говард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Борегард, Рэймонд А.; Фрейли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Бизер, Роберт А. (2006), Первый курс линейной алгебры, Бесплатная онлайн-книга по лицензии GNU, Университет Пьюджет-Саунд
• Бендер, Николас; Ямилов, Алексей; Йылмаз, Хасан; Цао, Хуэй (14 октября 2020 г.). «Флуктуации и корреляции собственных каналов передачи в диффузных средах». Physical Review Letters . 125 (16): 165901. arXiv : 2004.12167 . Bibcode : 2020PhRvL.125p5901B. doi : 10.1103/physrevlett.125.165901. ISSN  0031-9007. PMID  33124845. S2CID  216553547.
• Бенн, Д.; Эванс, Д. (2004), Практическое руководство по изучению ледниковых отложений , Лондон: Arnold, стр. 103–107
• Беттеридж, Гарольд Т. (1965), Новый немецкий словарь Касселла , Нью-Йорк: Funk & Wagnall , LCCN  58-7924
• Берден, Ричард Л.; Фейрес, Дж. Дуглас (1993), Численный анализ (5-е изд.), Бостон: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3
• Denton, Peter B.; Parke, Stephen J.; Tao, Terence; Zhang, Xining (январь 2022 г.). «Собственные векторы из собственных значений: обзор базового тождества в линейной алгебре» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 59 (1): 31–58. arXiv : 1908.03795 . doi :10.1090/bull/1722. S2CID  213918682. Архивировано (PDF) из оригинала 19 января 2022 г.
• Diekmann, O; Heesterbeek, JA; Metz, JA (1990), «Об определении и вычислении основного коэффициента воспроизводства R0 в моделях инфекционных заболеваний в гетерогенных популяциях», Журнал математической биологии , 28 (4): 365–382, doi :10.1007/BF00178324, hdl : 1874/8051 , PMID  2117040, S2CID  22275430
• Фрейли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Фрэнсис, Дж. Г. Ф. (1961), «Преобразование QR, I (часть 1)», The Computer Journal , 4 (3): 265–271, doi : 10.1093/comjnl/4.3.265
• Фрэнсис, Дж. Г. Ф. (1962), «Преобразование QR, II (часть 2)», The Computer Journal , 4 (4): 332–345, doi : 10.1093/comjnl/4.4.332
• Фридберг, Стивен Х.; Инсел, Арнольд Дж.; Спенс, Лоуренс Э. (1989), Линейная алгебра (2-е изд.), Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall, ISBN 0-13-537102-3
• Голуб, Джин Х.; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления (3-е изд.), Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джонса Хопкинса, ISBN 978-0-8018-5414-9
• Грэм, Д.; Мидгли, Н. (2000), «Графическое представление формы частиц с использованием треугольных диаграмм: метод электронных таблиц Excel», Earth Surface Processes and Landforms , 25 (13): 1473–1477, Bibcode : 2000ESPL...25.1473G, doi : 10.1002/1096-9837(200012)25:13<1473::AID-ESP158>3.0.CO;2-C, S2CID  128825838
• Хокинс, Т. (1975), «Коши и спектральная теория матриц», Historia Mathematica , 2 : 1–29, doi : 10.1016/0315-0860(75)90032-4
• Хестербек, Дж. А. П.; Дикманн, Одо (2000), Математическая эпидемиология инфекционных заболеваний, серия Wiley по математической и вычислительной биологии, Западный Суссекс, Англия: John Wiley & Sons^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
• Хефферон, Джим (2001), Линейная алгебра, Колчестер, Вермонт: Электронная книга, Колледж Святого Михаила
• Херштейн, IN (1964), Топики по алгебре , Уолтем: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древности до современности , Oxford University Press, ISBN 0-19-501496-0
• Нокс-Робинсон, К.; Гардолл, Стивен Дж. (1998), "ГИС-стереоплот: интерактивный модуль построения стереосетей для географической информационной системы ArcView 3.0", Компьютеры и науки о Земле , 24 (3): 243, Bibcode : 1998CG.....24..243K, doi : 10.1016/S0098-3004(97)00122-2
• Корн, Гранино А.; Корн, Тереза ​​М. (2000), «Справочник по математике для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справок и обзора», Нью-Йорк: McGraw-Hill (2-е пересмотренное издание), Bibcode : 1968mhse.book.....K, ISBN 0-486-41147-8
• Кублановская, Вера Н. (1962), «О некоторых алгоритмах решения полной проблемы собственных значений», Журнал вычислительной математики и математической физики СССР , 1 (3): 637–657, doi :10.1016/0041-5553(63)90168-X
• Липшуц, Сеймур; Липсон, Марк (12 августа 2002 г.). Простой план линейной алгебры Шаума. McGraw Hill Professional. стр. 111. ISBN 978-007139880-0.
• Мейер, Карл Д. (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN  76091646
• Press, William H.; Teukolsky, Saul A .; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0521880688
• Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer Science + Business Media, ISBN 978-0-387-72828-5
• Rotter, Stefan; Gigan, Sylvain (2 марта 2017 г.). «Световые поля в сложных средах: мезоскопическое рассеяние встречается с волновым контролем». Reviews of Modern Physics . 89 (1): 015005. arXiv : 1702.05395 . Bibcode :2017RvMP...89a5005R. doi :10.1103/RevModPhys.89.015005. S2CID  119330480.
• Шилов, Георгий Э. (1977), Линейная алгебра , Перевод и редактирование Ричарда А. Сильвермана, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-63518-X
• Снид, Э.Д.; Фолк, Р.Л. (1958), «Галька в нижнем течении реки Колорадо, Техас, исследование морфогенеза частиц», Журнал геологии , 66 (2): 114–150, Bibcode : 1958JG.....66..114S, doi : 10.1086/626490, S2CID  129658242
• Трефетен, Ллойд Н.; Бау, Дэвид (1997), Численная линейная алгебра , SIAM
• Ван Мигем, Пит (18 января 2014 г.). «Собственные векторы графа, фундаментальные веса и метрики центральности для узлов в сетях». arXiv : 1401.4580 [math.SP].
• Vellekoop, IM; Mosk, AP (15 августа 2007 г.). «Фокусировка когерентного света через непрозрачные сильно рассеивающие среды». Optics Letters . 32 (16): 2309–2311. Bibcode :2007OptL...32.2309V. doi :10.1364/OL.32.002309. ISSN  1539-4794. PMID  17700768. S2CID  45359403.
• Weisstein, Eric W. "Eigenvector". mathworld.wolfram.com . Получено 4 августа 2019 г. .
• Weisstein, Eric W. (nd). "Eigenvalue". mathworld.wolfram.com . Получено 19 августа 2020 г. .
• Вулховер, Натали (13 ноября 2019 г.). «Нейтрино приводят к неожиданному открытию в базовой математике». Журнал Quanta . Получено 27 ноября 2019 г.
• Ксироухакис, А.; Вотсис, Г.; Делопулус, А. (2004), Оценка трехмерного движения и структуры человеческих лиц (PDF) , Национальный технический университет Афин
• Van Mieghem, P. (2024). «Компоненты собственных векторов симметричных матриц, связанных с графами». Линейная алгебра и ее приложения . 692 : 91–134. doi : 10.1016/j.laa.2024.03.035 .

Дальнейшее чтение

• Голуб, Джин Ф.; ван дер Ворст, Хенк А. (2000), «Вычисление собственных значений в 20 веке» (PDF) , Журнал вычислительной и прикладной математики , 123 (1–2): 35–65, Bibcode : 2000JCoAM.123...35G, doi : 10.1016/S0377-0427(00)00413-1 , hdl : 1874/2663
• Хилл, Роджер (2009). «λ – Собственные значения». Шестьдесят символов . Брэди Харан для Ноттингемского университета .
• Каттлер, Кеннет (2017), Введение в линейную алгебру (PDF) , Университет имени Бригама Янга
• Стрэнг, Гилберт (1993), Введение в линейную алгебру , Уэллсли, Массачусетс: Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-5-5
• Стрэнг, Гилберт (2006), Линейная алгебра и ее приложения , Белмонт, Калифорния: Thomson, Brooks/Cole, ISBN 0-03-010567-6

Внешние ссылки

• Что такое собственные значения? – нетехническое введение из раздела «Спросите экспертов» PhysLink.com
• Числовые примеры собственных значений и собственных векторов – учебное пособие и интерактивная программа от Revoledu.
• Введение в собственные векторы и собственные значения – лекция от Khan Academy
• Собственные векторы и собственные значения | Сущность линейной алгебры, глава 10 – Наглядное объяснение с 3Blue1Brown
• Калькулятор собственных векторов матрицы от Symbolab (Нажмите на нижнюю правую кнопку сетки 2×12, чтобы выбрать размер матрицы. Выберите размер (для квадратной матрицы), затем заполните поля численно и нажмите кнопку «Перейти». Он также может принимать комплексные числа.) ${\displaystyle n\times n}$

Викиверситет использует вводную физику для введения в собственные значения и собственные векторы

Теория

• Вычисление собственных значений
• Численное решение задач на собственные значения. Под редакцией Чжаоцзюня Бай, Джеймса Деммеля , Джека Донгарры, Акселя Руэ и Хенка ван дер Ворста.