Пространство Эйленберга–Маклейна

Топологическое пространство с единственной нетривиальной гомотопической группой

В математике , в частности в алгебраической топологии , пространство Эйленберга–Маклейна ^{[примечание 1]} — это топологическое пространство с одной нетривиальной гомотопической группой .

Пусть G — группа, а n — положительное целое число . Связное топологическое пространство X называется пространством Эйленберга–Маклейна типа , если оно имеет n -ю гомотопическую группу, изоморфную G, и все остальные гомотопические группы тривиальны . Предполагая, что G абелева в случае , когда , пространства Эйленберга – Маклейна типа всегда существуют, и все они слабо гомотопически эквивалентны. Таким образом, можно рассматривать как относящееся к классу пространств слабой гомотопической эквивалентности. Обычно принято называть любого представителя «a » или «a model of ». Более того, обычно предполагается, что это пространство является CW-комплексом (что всегда возможно с помощью CW-аппроксимации ). ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle K(G,n)}$

Название происходит от имен Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Маклейна , которые ввели такие пространства в конце 1940-х годов.

Таким образом, пространство Эйленберга–Маклейна является особым видом топологического пространства , которое в теории гомотопий может рассматриваться как строительный блок для CW-комплексов через расслоения в системе Постникова . Эти пространства важны во многих контекстах алгебраической топологии , включая вычисления гомотопических групп сфер, определение операций когомологии и наличие прочной связи с сингулярными когомологиями .

Обобщенное пространство Эйленберга–Маклена — это пространство, имеющее гомотопический тип произведения пространств Эйленберга–Маклена . ${\displaystyle \prod _{m}K(G_{m},m)}$

Примеры

• Единичная окружность — это а . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$
• Бесконечномерное комплексное проективное пространство является моделью . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$
• Бесконечномерное действительное проективное пространство — это . ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /2,1)}$
• Сумма клиньев k единичных окружностей равна a , где — свободная группа с k образующими. ${\displaystyle \textstyle \bigvee _{i=1}^{k}S^{1}}$ ${\displaystyle K(F_{k},1)}$ ${\displaystyle F_{k}}$
• Дополнение к любому связному узлу или графу в трехмерной сфере имеет тип ; это называется « асферичностью узлов» и является теоремой Христоса Папакириакопулоса 1957 года . ^[1] ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle K(G,1)}$
• Любое компактное , связное, неположительно искривленное многообразие M является , где — фундаментальная группа M. Это следствие теоремы Картана–Адамара . ${\displaystyle K(\Gamma ,1)}$ ${\displaystyle \Gamma =\pi _{1}(M)}$
• Бесконечное линзовое пространство, заданное фактором свободного действия для , является . Это можно показать с помощью теории покрывающего пространства и того факта, что бесконечномерная сфера стягиваема . ^[2] Обратите внимание, что это включает в себя , как . ${\displaystyle L(\infty ,q)}$ ${\displaystyle S^{\infty }}$ ${\displaystyle (z\mapsto e^{2\pi im/q}z)}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} /q}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /q,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /2,1)}$
• Конфигурационным пространством точек на плоскости является a , где — группа чистых кос на нитях. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K(P_{n},1)}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n}$
• Соответственно, n- е неупорядоченное конфигурационное пространство есть a , где обозначает группу кос из n нитей . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle K(B_{n},1)}$ ${\displaystyle B_{n}}$
• Бесконечное симметричное произведение n -сферы равно a . В более общем случае равно a для всех пространств Мура . ${\displaystyle SP(S^{n})}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)}$ ${\displaystyle SP(M(G,n))}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle M(G,n)}$

Некоторые дополнительные элементарные примеры могут быть построены из них, используя тот факт, что произведение равно . Например, n -мерный тор равен . ${\displaystyle K(G,n)\times K(H,n)}$ ${\displaystyle K(G\times H,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ^{n},1)}$

Построение пространств Эйленберга–Маклейна

Для и произвольной группы конструкция идентична конструкции классифицирующего пространства группы . Заметим, что если G имеет элемент кручения, то каждый CW-комплекс типа K(G,1) должен быть бесконечномерным. ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K(G,1)}$ ${\displaystyle G}$

Существует несколько методов построения высших пространств Эйленберга-Маклена. Один из них заключается в построении пространства Мура для абелевой группы : берем клин из n - сфер , по одному для каждого генератора группы A , и реализуем отношения между этими генераторами, присоединяя (n+1) -клеток через соответствующие отображения в указанной сумме клина. Обратите внимание, что нижние гомотопические группы уже тривиальны по построению. Теперь итеративно уничтожим все высшие гомотопические группы , последовательно присоединяя клетки размерности больше , и определим как прямой предел при включении этой итерации. ${\displaystyle M(A,n)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \pi _{n}(\bigvee S^{n})}$ ${\displaystyle \pi _{i<n}(M(A,n))}$ ${\displaystyle \pi _{i>n}(M(A,n))}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle K(A,n)}$

Другой полезный метод — использовать геометрическую реализацию симплициальных абелевых групп . ^[4] Это дает явное представление симплициальных абелевых групп, которые представляют пространства Эйленберга-Маклейна.

Другая симплициальная конструкция, в терминах классификации пространств и универсальных расслоений , дана в книге Дж. Питера Мэя . ^[5]

Поскольку взятие пространства петель понижает гомотопические группы на одну позицию, мы имеем каноническую гомотопическую эквивалентность , следовательно, существует последовательность расслоений ${\displaystyle K(G,n)\simeq \Omega K(G,n+1)}$

${\displaystyle K(G,n)\to *\to K(G,n+1)}$.

Обратите внимание, что это не последовательность кофибрации — пространство не является гомотопическим кофибриллом . ${\displaystyle K(G,n+1)}$ ${\displaystyle K(G,n)\to *}$

Эту последовательность расслоения можно использовать для изучения когомологий с помощью спектральной последовательности Лере . Это использовал Жан-Пьер Серр, когда он изучал гомотопические группы сфер с помощью системы Постникова и спектральных последовательностей. ${\displaystyle K(G,n+1)}$ ${\displaystyle K(G,n)}$

Свойства пространств Эйленберга–Маклейна

Биекция между гомотопическими классами отображений и когомологиями

Важным свойством 's является то, что для любой абелевой группы G и любого базового CW-комплекса X множество базовых гомотопических классов базовых отображений из X в находится в естественной биекции с n -й сингулярной группой когомологий пространства X. Таким образом, говорят, что представляют пространства для сингулярных когомологий с коэффициентами в G. Поскольку ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle [X,K(G,n)]}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle H^{n}(X,G)}$ ${\displaystyle K(G,n)'s}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}H^{n}(K(G,n),G)&=&\operatorname {Hom} (H_{n}(K(G,n);\mathbb {Z} ),G)\\&=&\operatorname {Hom} (\pi _{n}(K(G,n)),G)\\&=&\operatorname {Hom} (G,G),\end{array}}}$

существует выделенный элемент, соответствующий тождеству. Вышеуказанная биекция задается обратным протягиванием этого элемента . Это похоже на лемму Йонеды теории категорий . ${\displaystyle u\in H^{n}(K(G,n),G)}$ ${\displaystyle f\mapsto f^{*}u}$

Конструктивное доказательство этой теоремы можно найти здесь ^[6], другое, использующее связь между омега-спектрами и обобщенными теориями редуцированных когомологий, можно найти здесь ^[7] , а основная идея также изложена ниже.

Пространства петель и спектры Омега

Пространство петель пространства Эйленберга–Маклейна снова является пространством Эйленберга–Маклейна: . Далее, существует сопряженное отношение между пространством петель и редуцированной подвеской: , которое дает структуру абелевой группы, где операция — это конкатенация петель. Это делает упомянутую выше биекцию групповым изоморфизмом. ${\displaystyle \Omega K(G,n)\cong K(G,n-1)}$ ${\displaystyle [\Sigma X,Y]=[X,\Omega Y]}$ ${\displaystyle [X,K(G,n)]\cong [X,\Omega ^{2}K(G,n+2)]}$ ${\displaystyle [X,K(G,n)]\to H^{n}(X,G)}$

Также это свойство подразумевает, что пространства Эйленберга–Маклейна с различными n образуют омега-спектр , называемый «спектром Эйленберга–Маклейна». Этот спектр определяется через редуцированную теорию когомологий на основе CW-комплексов и для любой редуцированной теории когомологий на CW-комплексах с для существует естественный изоморфизм , где обозначает редуцированные сингулярные когомологии. Поэтому эти две теории когомологий совпадают. ${\displaystyle X\mapsto h^{n}(X):=[X,K(G,n)]}$ ${\displaystyle h^{*}}$ ${\displaystyle h^{n}(S^{0})=0}$ ${\displaystyle n\neq 0}$ ${\displaystyle h^{n}(X)\cong {\tilde {H}}^{n}(X,h^{0}(S^{0}))}$ ${\displaystyle {\tilde {H^{*}}}}$

В более общем контексте представимость Брауна говорит о том, что каждая редуцированная теория когомологий на основе CW-комплексов исходит из омега-спектра .

Связь с гомологией

Для фиксированной абелевой группы существуют отображения на стабильных гомотопических группах ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))\cong \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge \Sigma K(G,n))\to \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge K(G,n+1))}$

индуцированное отображением . Взяв прямой предел по этим отображениям, можно проверить, что это определяет редуцированную теорию гомологии ${\displaystyle \Sigma K(G,n)\to K(G,n+1)}$

${\displaystyle h_{q}(X)=\varinjlim _{n}\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))}$

на комплексах CW. Поскольку обращается в нуль для , согласуется с редуцированными сингулярными гомологиями с коэффициентами в G на комплексах CW. ${\displaystyle h_{q}(S^{0})=\varinjlim \pi _{q+n}^{s}(K(G,n))}$ ${\displaystyle q\neq 0}$ ${\displaystyle h_{*}}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{*}(\cdot ,G)}$

Функториальность

Из теоремы об универсальном коэффициенте для когомологий следует , что пространство Эйленберга-Маклейна является квазифунктором группы; то есть для каждого положительного целого числа, если — любой гомоморфизм абелевых групп, то существует непустое множество ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a\colon G\to G'}$

${\displaystyle K(a,n)=\{[f]:f\colon K(G,n)\to K(G',n),H_{n}(f)=a\},}$

удовлетворяющий где обозначает гомотопический класс непрерывного отображения и ${\displaystyle K(a\circ b,n)\supset K(a,n)\circ K(b,n){\text{ and }}1\in K(1,n),}$ ${\displaystyle [f]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S\circ T:=\{s\circ t:s\in S,t\in T\}.}$

Связь с башнями Постникова/Уайтхеда

Каждый связный CW-комплекс обладает башней Постникова , которая представляет собой обратную систему пространств: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\simeq K(\pi _{1}(X),1)}$

такой, что для каждого : ${\displaystyle n}$

1. существуют коммутирующие отображения , которые индуцируют изоморфизм для , ${\displaystyle X\to X_{n}}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle i\leq n}$
2. ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$для , ${\displaystyle i>n}$
3. карты представляют собой расслоения с волокнами . ${\displaystyle X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

Двойственно существует башня Уайтхеда , которая представляет собой последовательность CW-комплексов:

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}$

такой, что для каждого : ${\displaystyle n}$

1. отображения индуцируют изоморфизм для , ${\displaystyle X_{n}\to X}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle i>n}$
2. ${\displaystyle X_{n}}$является n-связным ,
3. карты представляют собой расслоения с волокнами . ${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}$

С помощью спектральных последовательностей Серра можно производить вычисления высших гомотопических групп сфер. Например, и с использованием башни Уайтхеда можно найти здесь, ^[8] более общие вычисления с использованием систем Постникова можно найти здесь. ^[9] ${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})}$ ${\displaystyle \pi _{5}(S^{3})}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \pi _{n+i}(S^{n})\ i\leq 3}$

Операции когомологии

Для фиксированных натуральных чисел m,n и абелевых групп G,H существует биекция между множеством всех операций когомологии и , определяемая соотношением , где — фундаментальный класс . ${\displaystyle \Theta :H^{m}(\cdot ,G)\to H^{n}(\cdot ,H)}$ ${\displaystyle H^{n}(K(G,m),H)}$ ${\displaystyle \Theta \mapsto \Theta (\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \in H^{m}(K(G,m),G)}$

В результате когомологические операции не могут уменьшить степень групп когомологий, а когомологические операции, сохраняющие степень, соответствуют гомоморфизму коэффициентов . Это следует из теоремы об универсальном коэффициенте для когомологий и (m-1) -связности . ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,H)}$ ${\displaystyle K(G,m)}$

Некоторые интересные примеры для когомологических операций — это квадраты Стинрода и степени , когда — конечные циклические группы . При их изучении важность когомологий с коэффициентами в быстро становится очевидной; ^[10] некоторые обширные таблицы этих групп можно найти здесь. ^[11] ${\displaystyle G=H}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /p,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$

Групповые (ко)гомологии

Можно определить групповые (ко)гомологии группы G с коэффициентами в группе A как сингулярные (ко)гомологии пространства Эйленберга-Маклейна с коэффициентами в A. ${\displaystyle K(G,1)}$

Дальнейшие приложения

Описанная выше конструкция пространства петель используется в теории струн для получения, например, группы струн , группы пятибран и т. д., как башня Уайтхеда, возникающая из короткой точной последовательности

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,2)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to 0}$

с группой струн и группой спинов . Актуальность заключается в том, что существуют гомотопические эквивалентности ${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$

${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z} }$

для классифицирующего пространства , и факт . Обратите внимание, что поскольку комплексная спиновая группа является расширением группы ${\displaystyle B\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)}$

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)\to \operatorname {Spin} (n)\to 0}$,

Группа струн может рассматриваться как "высшее" комплексное расширение спиновой группы в смысле теории высших групп , поскольку пространство является примером высшей группы. Его можно рассматривать как топологическую реализацию группоида , объектом которого является одна точка, а морфизмами — группа . Благодаря этим гомотопическим свойствам конструкция обобщается: любое заданное пространство может быть использовано для начала короткой точной последовательности, которая убивает гомотопическую группу в топологической группе . ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)}$ ${\displaystyle \pi _{n+1}}$

Смотрите также

• Классифицирующее пространство , для случая ${\displaystyle n=1}$
• Теорема Брауна о представимости , касающаяся пространств представлений
• Пространство Мура , аналог гомологии.

Примечания

1. Сондерс Маклейн первоначально писал свою фамилию «Маклейн» (без пробела) и был соавтором статей, устанавливающих понятие пространств Эйленберга–Маклейна, под этим именем. (См., например, MR 13312) Поэтому в этом контексте принято писать фамилию без пробела.

1. Papakyriakopoulos, CD (15 января 1957 г.). «О лемме Дена и асферичности узлов». Труды Национальной академии наук . 43 (1): 169–172. Bibcode :1957PNAS...43..169P. doi : 10.1073 /pnas.43.1.169 . PMC 528404. PMID  16589993. 
2. "общая топология - Единичная сфера в $\mathbb{R}^\infty$ стягиваема?". Mathematics Stack Exchange . Получено 2020-09-01 .
3. Лукас Уильямс «Конфигурационные пространства для работающих студентов», arXiv , 5 ноября 2019 г. Получено 14 июня 2021 г.
4. "gt.geometric topology - Явные конструкции K(G,2)?". MathOverflow . Получено 28.10.2020 .
5. Мэй, Дж. Питер . Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Глава 16, раздел 5: Издательство Чикагского университета .{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
6. Си Инь «О пространствах Эйленберга-Маклейнса» Архивировано 29.09.2021 на Wayback Machine , получено 14.06.2021
7. Аллен Хэтчер «Алгебраическая топология», Cambridge University Press , 2001. Получено 14 июня 2021 г.
8. Си Инь «О пространствах Эйленберга-Маклейнса» Архивировано 29.09.2021 на Wayback Machine , получено 14.06.2021
9. Спектральные последовательности Аллена Хэтчера, получено 25 апреля 2021 г.
10. Кэри Малкевич «Алгебра Стинрода», Получено 14 июня 2021 г.
11. Интегральные когомологии конечных башен Постникова

Ссылки

Основополагающие статьи

• Эйленберг, Сэмюэл ; Маклейн, Сондерс (1945), «Связи между гомологиями и гомотопическими группами пространств», Annals of Mathematics , (Вторая серия), 46 (3): 480–509, doi :10.2307/1969165, JSTOR  1969165, MR  0013312
• Эйленберг, Сэмюэл ; Маклейн, Сондерс (1950). «Связи между гомологиями и гомотопическими группами пространств. II». Annals of Mathematics . (Вторая серия). 51 (3): 514–533. doi :10.2307/1969365. JSTOR  1969365. MR  0035435.
• Эйленберг, Сэмюэл ; Маклейн, Сондерс (1954). «О группах H ( Π , n ) {\displaystyle H(\Pi ,n)} . III. Операции и препятствия». Annals of Mathematics . 60 (3): 513–557. doi :10.2307/1969849. JSTOR  1969849. MR  0065163.

Семинар и заявки Картана

Семинар Картана содержит много фундаментальных результатов о пространствах Эйленберга-Маклейна, включая их гомологии и когомологии, а также приложения для вычисления гомотопических групп сфер.

• http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/ Архивировано 25.04.2022 на Wayback Machine

Вычисление целочисленных когомологических колец

• Производные функторы разделенных степенных функторов
• Интегральные когомологии конечных башен Постникова
• (Ко)гомологии пространств Эйленберга-Маклейна K(G,n)

Другие энциклопедические ссылки

• Энциклопедия математики
• Пространство Эйленберга-Мак-Лейн в n Lab