Парадокс Эйнштейна–Подольского–Розена

Историческая критика квантовой механики

Альберт Эйнштейн

Парадокс Эйнштейна -Подольского-Розена ( ЭПР ) — мысленный эксперимент, предложенный физиками Альбертом Эйнштейном , Борисом Подольским и Натаном Розеном , в котором утверждается, что описание физической реальности, предоставляемое квантовой механикой, является неполным. ^[1] В статье 1935 года под названием «Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным?» они утверждали о существовании «элементов реальности», которые не являются частью квантовой теории, и предполагали, что должно быть возможно построить теорию, содержащую эти скрытые переменные . Разрешение парадокса имеет важные последствия для интерпретации квантовой механики .

Мысленный эксперимент включает пару частиц, подготовленных в том, что позже стало известно как запутанное состояние . Эйнштейн, Подольский и Розен указали, что в этом состоянии, если измерить положение первой частицы, можно было бы предсказать результат измерения положения второй частицы. Если вместо этого измерить импульс первой частицы, то можно было бы предсказать результат измерения импульса второй частицы. Они утверждали, что никакое действие, предпринятое в отношении первой частицы, не может мгновенно повлиять на другую, поскольку это включало бы передачу информации быстрее света, что невозможно согласно теории относительности . Они сослались на принцип, позже известный как «критерий реальности ЭПР», утверждающий, что: «Если, никоим образом не возмущением системы, мы можем предсказать с уверенностью (т. е. с вероятностью , равной единице) значение физической величины, то существует элемент реальности, соответствующий этой величине». Из этого они сделали вывод, что вторая частица должна иметь определенное значение как положения, так и импульса до того, как будет измерена любая из величин. Но квантовая механика считает эти две наблюдаемые величины несовместимыми и, таким образом, не связывает одновременные значения для обеих величин с какой-либо системой. Поэтому Эйнштейн, Подольский и Розен пришли к выводу, что квантовая теория не дает полного описания реальности. ^[2]

Статья «Парадокс»

Термин «парадокс Эйнштейна–Подольского–Розена» или «ЭПР» возник из статьи, написанной в 1934 году после того, как Эйнштейн присоединился к Институту перспективных исследований , спасаясь от подъема нацистской Германии . ^{[3] [4]} Оригинальная статья ^[5] претендует на описание того, что должно произойти с «двумя системами I и II, которым мы позволяем взаимодействовать», и через некоторое время «мы предполагаем, что больше нет никакого взаимодействия между двумя частями». Описание ЭПР включает «две частицы, A и B, [которые] взаимодействуют недолго, а затем разбегаются в противоположных направлениях». ^[6] Согласно принципу неопределенности Гейзенберга , невозможно точно измерить как импульс, так и положение частицы B; однако можно измерить точное положение частицы A. Таким образом, вычислением, зная точное положение частицы A, можно узнать точное положение частицы B. С другой стороны, можно измерить точный импульс частицы A, поэтому можно вычислить точный импульс частицы B. Как пишет Манджит Кумар , «ЭПР утверждал, что они доказали, что... [частица] B может иметь одновременно точные значения положения и импульса. ... Частица B имеет положение, которое является реальным, и импульс, который является реальным. ЭПР, по-видимому, изобрел способ установить точные значения либо импульса , либо положения B с помощью измерений, проведенных над частицей A, без малейшей возможности физического возмущения частицы B». ^[6]

EPR попытался создать парадокс, чтобы поставить под сомнение область истинного применения квантовой механики: квантовая теория предсказывает, что оба значения не могут быть известны для частицы, и все же мысленный эксперимент EPR претендует на то, чтобы показать, что все они должны иметь определенные значения. В статье EPR говорится: «Таким образом, мы вынуждены заключить, что квантово-механическое описание физической реальности, заданное волновыми функциями, не является полным». ^[6] Статья EPR заканчивается словами: «Хотя мы таким образом показали, что волновая функция не дает полного описания физической реальности, мы оставили открытым вопрос о том, существует ли такое описание. Однако мы считаем, что такая теория возможна». Статья EPR 1935 года сжала философское обсуждение до физического аргумента. Авторы утверждают, что при наличии конкретного эксперимента, в котором результат измерения известен до того, как измерение произошло, в реальном мире должно существовать что-то, «элемент реальности», который определяет результат измерения. Они постулируют, что эти элементы реальности являются, в современной терминологии, локальными , в том смысле, что каждый принадлежит определенной точке пространства-времени . Каждый элемент может, опять же в современной терминологии, быть подвержен влиянию только событий, которые расположены в обратном световом конусе его точки в пространстве-времени (т.е. в прошлом). Эти утверждения основаны на предположениях о природе, которые составляют то, что сейчас известно как локальный реализм . ^[7]

Заголовок статьи о парадоксе ЭПР в выпуске The New York Times от 4 мая 1935 года .

Хотя статья ЭПР часто воспринималась как точное выражение взглядов Эйнштейна, ее основным автором был Подольский, на основе обсуждений в Институте перспективных исследований с Эйнштейном и Розеном. Позже Эйнштейн сказал Эрвину Шредингеру , что «вышло не так хорошо, как я изначально хотел; скорее, самое главное было, так сказать, задушено формализмом». ^[8] Позже Эйнштейн представил индивидуальный отчет о своих местных реалистических идеях. ^[9] Незадолго до того, как статья ЭПР появилась в Physical Review , The New York Times опубликовала о ней новостную статью под заголовком «Эйнштейн атакует квантовую теорию». ^[10] История, в которой цитировался Подольский, вызвала раздражение у Эйнштейна, который написал в Times: «Любая информация, на которой основана статья «Эйнштейн атакует квантовую теорию» в вашем выпуске от 4 мая, была предоставлена ​​вам без разрешения. Я всегда придерживаюсь практики обсуждать научные вопросы только на соответствующем форуме, и я выступаю против предварительной публикации любых объявлений относительно таких вопросов в светской прессе». ^{[11] : 189}

Статья в Times также обратилась за комментарием к физику Эдварду Кондону , который сказал: «Конечно, большая часть аргументации зависит от того, какое значение следует придавать слову «реальность» в физике». ^{[11] : 189} Физик и историк Макс Джаммер позже заметил: «[О]стается историческим фактом, что самая ранняя критика статьи ЭПР — более того, критика, которая правильно увидела в концепции физической реальности Эйнштейна ключевую проблему всего вопроса — появилась в ежедневной газете до публикации самой критикуемой статьи». ^{[11] : 190}

Ответ Бора

Публикация статьи побудила Нильса Бора написать ответ , который он опубликовал в том же журнале ( Physical Review ) в том же году под тем же названием. ^[12] (Этот обмен мнениями был лишь одной главой в продолжительном споре между Бором и Эйнштейном о природе квантовой реальности.) Он утверждал, что ЭПР рассуждал ошибочно. Бор сказал, что измерения положения и импульса являются дополнительными , то есть выбор измерения одного исключает возможность измерения другого. Следовательно, факт, выведенный относительно одного расположения лабораторных приборов, не может быть объединен с фактом, выведенным с помощью другого, и поэтому вывод о предопределенных значениях положения и импульса для второй частицы недействителен. Бор пришел к выводу, что «аргументы ЭПР не оправдывают их вывода о том, что квантовое описание оказывается по существу неполным».

Собственный аргумент Эйнштейна

В своих собственных публикациях и переписке Эйнштейн указал, что он не был удовлетворен работой ЭПР и что Розен был автором большей ее части. Позже он использовал другой аргумент, чтобы настоять на том, что квантовая механика является неполной теорией. ^{[13] [14] [15] [16] : 83ff} Он явно не акцентировал внимание на приписывании ЭПР «элементов реальности» положению и импульсу частицы B, заявив, что «меня не волнует», позволяют ли полученные состояния частицы B с уверенностью предсказать положение и импульс. ^[a]

Для Эйнштейна важнейшей частью аргумента была демонстрация нелокальности , то есть того, что выбор измерения, выполненного в частице A, будь то положение или импульс, приведет к двум различным квантовым состояниям частицы B. Он утверждал, что из-за локальности реальное состояние частицы B не может зависеть от того, какой вид измерения был выполнен в A, и что квантовые состояния, следовательно, не могут находиться во взаимно-однозначном соответствии с реальными состояниями. ^[13] Эйнштейн безуспешно боролся до конца своей жизни, чтобы найти теорию, которая могла бы лучше соответствовать его идее локальности .

Дальнейшие события

вариант Бома

В 1951 году Дэвид Бом предложил вариант мысленного эксперимента ЭПР, в котором измерения имеют дискретные диапазоны возможных результатов, в отличие от измерений положения и импульса, рассматриваемых ЭПР. ^{[17] [18] [19]} Мысленный эксперимент ЭПР–Бома можно объяснить с помощью пар электрон – позитрон . Предположим, у нас есть источник, который испускает пары электрон–позитрон, причем электрон отправляется в пункт назначения A , где находится наблюдатель по имени Алиса , а позитрон отправляется в пункт назначения B , где находится наблюдатель по имени Боб . Согласно квантовой механике, мы можем расположить наш источник так, чтобы каждая испускаемая пара занимала квантовое состояние, называемое спиновым синглетом . Таким образом, частицы называются запутанными . Это можно рассматривать как квантовую суперпозицию двух состояний, которые мы называем состоянием I и состоянием II. В состоянии I электрон имеет спин , направленный вверх вдоль оси z ( +z ), а позитрон имеет спин, направленный вниз вдоль оси z (− z ). В состоянии II электрон имеет спин − z , а позитрон имеет спин + z . Поскольку он находится в суперпозиции состояний, невозможно без измерения узнать определенное состояние спина любой частицы в спиновом синглете. ^{[20] : 421–422}

Мысленный эксперимент ЭПР, выполненный с парами электрон-позитрон. Источник (в центре) посылает частицы к двум наблюдателям, электроны к Алисе (слева) и позитроны к Бобу (справа), которые могут выполнять измерения спина.

Теперь Алиса измеряет спин вдоль оси z . Она может получить один из двух возможных результатов: + z или − z . Предположим, она получает + z . Неформально говоря, квантовое состояние системы коллапсирует в состояние I. Квантовое состояние определяет вероятные результаты любого измерения, выполняемого в системе. В этом случае, если Боб впоследствии измеряет спин вдоль оси z , существует 100% вероятность того, что он получит − z . Аналогично, если Алиса получает − z , Боб получит + z . Нет ничего особенного в выборе оси z : согласно квантовой механике состояние спинового синглета может быть с равным успехом выражено как суперпозиция состояний спина, указывающих в направлении x . ^{[21] : 318}

По какой бы оси ни измерялись их спины, они всегда оказываются противоположными. В квантовой механике x -спин и z -спин являются «несовместимыми наблюдаемыми», что означает, что принцип неопределенности Гейзенберга применяется к их чередующимся измерениям: квантовое состояние не может обладать определенным значением для обеих этих переменных. Предположим, что Алиса измеряет z -спин и получает +z , так что квантовое состояние коллапсирует в состояние I. Теперь, вместо того чтобы измерять также z -спин, Боб измеряет x -спин. Согласно квантовой механике, когда система находится в состоянии I, измерение x -спина Боба будет иметь 50%-ную вероятность получения + x и 50%-ную вероятность - x . Невозможно предсказать, какой результат появится, пока Боб фактически не выполнит измерение. Следовательно, позитрон Боба будет иметь определенный спин при измерении вдоль той же оси, что и электрон Алисы, но при измерении по перпендикулярной оси его спин будет равномерно случайным. Похоже, что информация распространилась (быстрее света) от аппарата Алисы, заставив позитрон Боба принять определенное вращение вокруг соответствующей оси.

Теорема Белла

В 1964 году Джон Стюарт Белл опубликовал статью ^[22], исследующую загадочную ситуацию того времени: с одной стороны, парадокс ЭПР якобы показал, что квантовая механика нелокальна, и предположил, что теория скрытых переменных может исцелить эту нелокальность. С другой стороны, Дэвид Бом недавно разработал первую успешную теорию скрытых переменных, но она имела грубо нелокальный характер. ^{[23] [24]} Белл решил исследовать, действительно ли возможно решить проблему нелокальности со скрытыми переменными, и обнаружил, что, во-первых, корреляции, показанные как в версиях парадокса ЭПР, так и Бома, действительно можно объяснить локальным способом со скрытыми переменными, и, во-вторых, корреляции, показанные в его собственном варианте парадокса, не могут быть объяснены никакой локальной теорией скрытых переменных. Этот второй результат стал известен как теорема Белла.

Чтобы понять первый результат, рассмотрим следующую игрушечную теорию скрытых переменных, представленную позже Дж. Дж. Сакураи: ^{[25] : 239–240} в ней квантовые спин-синглетные состояния, испускаемые источником, на самом деле являются приближенными описаниями для «истинных» физических состояний, обладающих определенными значениями для z -спина и x -спина. В этих «истинных» состояниях позитрон, идущий к Бобу, всегда имеет значения спина, противоположные значениям электрона, идущего к Алисе, но в остальном эти значения полностью случайны. Например, первая пара, испускаемая источником, может быть «(+ z , − x ) для Алисы и (− z , + x ) для Боба», следующая пара «(− z , − x ) для Алисы и (+ z , + x ) для Боба» и так далее. Следовательно, если ось измерения Боба совмещена с осью измерения Алисы, он обязательно получит противоположное тому, что получает Алиса; в противном случае он получит «+» и «−» с равной вероятностью.

Белл, однако, показал, что такие модели могут воспроизводить синглетные корреляции только тогда, когда Алиса и Боб проводят измерения на одной и той же оси или на перпендикулярных осях. Как только допускаются другие углы между их осями, локальные теории скрытых переменных становятся неспособными воспроизводить квантово-механические корреляции. Это различие, выраженное с помощью неравенств, известных как « неравенства Белла », в принципе экспериментально проверяемо. После публикации статьи Белла было проведено множество экспериментов по проверке неравенств Белла , в частности группой Алена Аспекта в 1980-х годах; ^[26] все эксперименты, проведенные до настоящего времени, обнаружили поведение, соответствующее предсказаниям квантовой механики. Текущий взгляд на ситуацию заключается в том, что квантовая механика категорически противоречит философскому постулату Эйнштейна о том, что любая приемлемая физическая теория должна соответствовать «локальному реализму». Тот факт, что квантовая механика нарушает неравенства Белла, указывает на то, что любая теория скрытых переменных, лежащая в основе квантовой механики, должна быть нелокальной; Следует ли это понимать как то, что сама квантовая механика нелокальна, является предметом продолжающихся споров. ^{[27] [28]}

Рулевое управление

Вдохновленные трактовкой парадокса ЭПР Шредингером в 1935 году, ^{[29] [30]} Говард М. Уайзман и др. формализовали его в 2007 году как явление квантового управления. ^[31] Они определили управление как ситуацию, когда измерения Алисы на части запутанного состояния управляют частью состояния Боба. То есть наблюдения Боба не могут быть объяснены локальной моделью скрытого состояния , где у Боба было бы фиксированное квантовое состояние на его стороне, которое классически коррелировано, но в остальном независимо от состояния Алисы.

Местность

Локальность имеет несколько различных значений в физике. EPR описывает принцип локальности как утверждение, что физические процессы, происходящие в одном месте, не должны оказывать немедленного влияния на элементы реальности в другом месте. На первый взгляд, это кажется разумным предположением, поскольку оно, по-видимому, является следствием специальной теории относительности , которая гласит, что энергия никогда не может передаваться быстрее скорости света , не нарушая причинности ; ^{[20] : 427–428  [32]} однако оказывается, что обычные правила объединения квантово-механических и классических описаний нарушают принцип локальности EPR, не нарушая специальной теории относительности или причинности. ^{[20] : 427–428  [32]} Причинность сохраняется, поскольку у Алисы нет возможности передавать сообщения (т. е. информацию) Бобу, манипулируя своей осью измерения. Какую бы ось она ни использовала, у нее есть 50% вероятность получить «+» и 50% вероятность получить «−», совершенно случайно ; Согласно квантовой механике, она принципиально не может повлиять на результат, который она получит. Более того, Боб может выполнить свое измерение только один раз : существует фундаментальное свойство квантовой механики, теорема о запрете клонирования , которая делает невозможным для него сделать произвольное количество копий электрона, который он получает, выполнить измерение спина для каждой и посмотреть на статистическое распределение результатов. Таким образом, в одном измерении, которое ему разрешено сделать, есть 50% вероятности получить "+" и 50% вероятности получить "−", независимо от того, совпадает ли его ось с осью Алисы или нет.

Подводя итог, можно сказать, что результаты мысленного эксперимента ЭПР не противоречат предсказаниям специальной теории относительности. Ни парадокс ЭПР, ни какой-либо квантовый эксперимент не демонстрируют возможности сверхсветовой передачи сигналов ; однако принцип локальности мощно апеллирует к физической интуиции, и Эйнштейн, Подольский и Розен не хотели отказываться от него. Эйнштейн высмеял предсказания квантовой механики как « жуткое действие на расстоянии ». ^[b] Вывод, к которому они пришли, состоял в том, что квантовая механика не является полной теорией. ^[34]

Математическая формулировка

Вариант парадокса ЭПР Бома может быть выражен математически с использованием квантово-механической формулировки спина . Спиновая степень свободы электрона связана с двумерным комплексным векторным пространством V , причем каждое квантовое состояние соответствует вектору в этом пространстве. Операторы, соответствующие спину вдоль направлений x , y и z , обозначенные S _x , S _y и S _z соответственно, могут быть представлены с использованием матриц Паули : ^{[25] : 9} где — приведенная постоянная Планка (или постоянная Планка, деленная на 2π). $${\displaystyle S_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle \hbar }$

Собственные состояния S _z представлены как , а собственные состояния S _x представлены как $${\displaystyle \left|+z\right\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad \left|-z\right\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \left|+x\right\rangle \leftrightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},\quad \left|-x\right\rangle \leftrightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}.}$$

Векторным пространством пары электрон-позитрон является , тензорное произведение векторных пространств электрона и позитрона. Состояние спинового синглета — это состояние, в котором два члена в правой части — это то, что мы назвали выше состоянием I и состоянием II. ${\displaystyle V\otimes V}$ $${\displaystyle \left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\biggl (}\left|+z\right\rangle \otimes \left|-z\right\rangle -\left|-z\right\rangle \otimes \left|+z\right\rangle {\biggr )},}$$

Из приведенных выше уравнений можно показать, что спиновый синглет также можно записать в виде, где члены в правой части — это то, что мы назвали состоянием Ia и состоянием IIa. $${\displaystyle \left|\psi \right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\biggl (}\left|+x\right\rangle \otimes \left|-x\right\rangle -\left|-x\right\rangle \otimes \left|+x\right\rangle {\biggr )},}$$

Чтобы проиллюстрировать парадокс, нам нужно показать, что после измерения Алисой S _z (или S _x ) значение Боба S _z (или S _x ) однозначно определено, а значение Боба S _x (или S _z ) равномерно случайно. Это следует из принципов измерения в квантовой механике . Когда измеряется S _z , состояние системы коллапсирует в собственный вектор S _z . Если результат измерения равен +z , это означает, что сразу после измерения состояние системы коллапсирует в ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle \left|+z\right\rangle \otimes \left|-z\right\rangle =\left|+z\right\rangle \otimes {\frac {\left|+x\right\rangle -\left|-x\right\rangle }{\sqrt {2}}}.}$$

Аналогично, если результат измерения Алисы равен − z , состояние коллапсирует до Левая часть обоих уравнений показывает, что измерение S _z на позитроне Боба теперь определено, оно будет равно − z в первом случае или + z во втором случае. Правая часть уравнений показывает, что измерение S _x на позитроне Боба вернет, в обоих случаях, + x или - x с вероятностью 1/2 каждый. $${\displaystyle \left|-z\right\rangle \otimes \left|+z\right\rangle =\left|-z\right\rangle \otimes {\frac {\left|+x\right\rangle +\left|-x\right\rangle }{\sqrt {2}}}.}$$

Смотрите также

• Эксперимент Аспекта
• Дебаты Бора-Эйнштейна: аргумент ЭПР
• Согласованность
• Корреляция не подразумевает причинно-следственную связь
• неравенство CHSH
• ЭР = ЭПР
• эксперимент ГГЦ
• Проблема измерения
• Философия информации
• Философия физики
• Эксперимент Поппера
• Супердетерминизм
• Квантовая запутанность
• Квантовая информация
• Квантовая псевдотелепатия
• Квантовая телепортация
• Квантовый эффект Зенона
• Синхронность
• Амплитуда вероятности Уорда

Примечания

1. "Ob die und als Eigenfunktionen von Observabeln aufgefasst werden können ist mir wurst >." Акцент из оригинала. «Ist mir wurst» — немецкое выражение, которое буквально переводится как «Для меня это колбаса», но означает «Мне все равно». Письмо Эйнштейна Шредингеру от 19 июня 1935 г. ^[14] ${\displaystyle \psi _{B}}$ ${\displaystyle \psi _{\underline {B}}}$ ${\displaystyle B,{\underline {B}}}$
2. "Spukhaften Fernwirkung", в немецком оригинале. Использовано в письме Максу Борну от 3 марта 1947 г. ^[33]

Ссылки

1. Эйнштейн, А.; Б. Подольский; Н. Розен (1935-05-15). «Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным?» (PDF) . Physical Review . 47 (10): 777–780. Bibcode :1935PhRv...47..777E. doi : 10.1103/PhysRev.47.777 .
2. Перес, Эшер (2002). Квантовая теория: концепции и методы . Kluwer. стр. 149.
3. Робинсон, Эндрю (2018-04-30). «Эйнштейн действительно это сказал?». Nature . 557 (7703): 30. Bibcode : 2018Natur.557...30R. doi : 10.1038/d41586-018-05004-4. S2CID  14013938.
4. Левенсон, Томас (9 июня 1917 г.). «Ученый и фашист». The Atlantic . Получено 28 июня 2021 г.
5. Эйнштейн, Альберт; Подольский, Борис; Розен, Натан (15 мая 1935 г.). «Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным?». Physical Review . 47 (10). Принстон, Нью-Джерси: Институт перспективных исследований: 777–780. Bibcode : 1935PhRv...47..777E. doi : 10.1103/PhysRev.47.777 .
6. Kumar, Manjit (2011). Квант: Эйнштейн, Бор и великий спор о природе реальности (переиздание). WW Norton & Company. стр. 305–306. ISBN 978-0393339888. Получено 12 сентября 2021 г. – через Интернет-архив.
7. Jaeger, Gregg (2014). Квантовые объекты . Springer Verlag. стр. 9–15. doi :10.1007/978-3-642-37629-0. ISBN 978-3-642-37628-3.
8. Кайзер, Дэвид (1994). «Возвращение человеческих актеров на сцену: личный контекст дебатов Эйнштейна и Бора». British Journal for the History of Science . 27 (2): 129–152. doi :10.1017/S0007087400031861. JSTOR  4027432. S2CID  145143635.
9. Эйнштейн, Альберт (1936). «Физика и реальность». Журнал Института Франклина . 221 (3): 313–347. дои : 10.1016/S0016-0032(36)91045-1.Перевод на английский язык Жана Пиккара, стр. 349–382 в том же выпуске, doi :10.1016/S0016-0032(36)91047-5).
10. "Эйнштейн атакует квантовую теорию". The New York Times . 4 мая 1935 г. стр. 11. Получено 10 января 2021 г.
11. Jammer, Max (1974). Философия квантовой механики: интерпретации квантовой механики в исторической перспективе . John Wiley and Sons. ISBN 0-471-43958-4.
12. Бор, Н. (1935-10-13). «Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным?» (PDF) . Physical Review . 48 (8): 696–702. Bibcode :1935PhRv...48..696B. doi : 10.1103/PhysRev.48.696 .
13. Harrigan, Nicholas; Spekkens, Robert W. (2010). «Эйнштейн, неполнота и эпистемический взгляд на квантовые состояния». Foundations of Physics . 40 (2): 125. arXiv : 0706.2661 . Bibcode :2010FoPh...40..125H. doi :10.1007/s10701-009-9347-0. S2CID  32755624.
14. Howard, D. (1985). «Эйнштейн о локальности и отделимости». Исследования по истории и философии науки Часть A. 16 ( 3): 171–201. Bibcode :1985SHPSA..16..171H. doi :10.1016/0039-3681(85)90001-9.
15. Sauer, Tilman (2007-12-01). "Рукопись Эйнштейна о парадоксе ЭПР для спиновых наблюдаемых". Исследования по истории и философии науки Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 38 (4): 879–887. Bibcode :2007SHPMP..38..879S. CiteSeerX 10.1.1.571.6089 . doi :10.1016/j.shpsb.2007.03.002. ISSN  1355-2198. 
16. Эйнштейн, Альберт (1949). «Автобиографические заметки». В Schilpp, Пол Артур (ред.). Альберт Эйнштейн: философ-ученый . Open Court Publishing Company.
17. Бом, Д. (1951). Квантовая теория , Prentice-Hall, Englewood Cliffs, стр. 29, и Глава 5, раздел 3, и Глава 22, раздел 19.
18. Д. Бом; Ю. Ааронов (1957). «Обсуждение экспериментального доказательства парадокса Эйнштейна, Розена и Подольского». Physical Review . 108 (4): 1070. Bibcode : 1957PhRv..108.1070B. doi : 10.1103/PhysRev.108.1070.
19. Reid, MD; Drummond, PD; Bowen, WP; Cavalcanti, EG; Lam, PK; Bachor, HA; Andersen, UL; Leuchs, G. (10.12.2009). «Colloquium: The Einstein-Podolsky-Rosen paradox: From concepts to applications». Reviews of Modern Physics . 81 (4): 1727–1751. arXiv : 0806.0270 . Bibcode : 2009RvMP...81.1727R. doi : 10.1103/RevModPhys.81.1727. S2CID  53407634.
20. Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-111892-8.
21. Laloe, Franck (2012). «Действительно ли мы понимаем квантовую механику». American Journal of Physics . 69 (6): 655–701. arXiv : quant-ph/0209123 . Bibcode : 2001AmJPh..69..655L. doi : 10.1119/1.1356698. S2CID  123349369. (Ошибка:  doi : 10.1119/1.1466818)
22. Белл, Дж. С. (1964). «О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена» (PDF) . Physics Physique Физика . 1 (3): 195–200. doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195 .
23. Бом, Д. (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах «скрытых» переменных. I». Physical Review . 85 (2): 166. Bibcode : 1952PhRv...85..166B. doi : 10.1103/PhysRev.85.166.
24. Бом, Д. (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах «скрытых» переменных. II». Physical Review . 85 (2): 180. Bibcode : 1952PhRv...85..180B. doi : 10.1103/PhysRev.85.180.
25. Сакураи, Джей Джей; Наполитано, Джим (2010). Современная квантовая механика (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0805382914.
26. Аспект A (1999-03-18). "Тест неравенства Белла: более идеален, чем когда-либо" (PDF) . Nature . 398 (6724): 189–90. Bibcode :1999Natur.398..189A. doi : 10.1038/18296 . S2CID  44925917.
27. Вернер, РФ (2014). «Комментарий к «Что сделал Белл»". Журнал физики A. 47 ( 42): 424011. Библиографический код : 2014JPhA...47P4011W. doi : 10.1088/1751-8113/47/42/424011. S2CID  122180759.
28. Жуковский, М.; Брукнер, Ч. (2014). «Квантовая нелокальность — это не обязательно так...». Journal of Physics A . 47 (42): 424009. arXiv : 1501.04618 . Bibcode :2014JPhA...47P4009Z. doi :10.1088/1751-8113/47/42/424009. S2CID  119220867.
29. Шредингер, Э. (октябрь 1936 г.). «Вероятностные отношения между разделенными системами». Математические труды Кембриджского философского общества . 32 (3): 446–452. Bibcode :1936PCPS...32..446S. doi :10.1017/s0305004100019137. ISSN  0305-0041. S2CID  122822435.
30. Шредингер, Э. (октябрь 1935 г.). «Обсуждение вероятностных отношений между разделенными системами». Математические труды Кембриджского философского общества . 31 (4): 555–563. Bibcode :1935PCPS...31..555S. doi :10.1017/s0305004100013554. ISSN  0305-0041. S2CID  121278681.
31. Wiseman, HM; Jones, SJ; Doherty, AC (2007). «Управление, запутанность, нелокальность и парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена». Physical Review Letters . 98 (14): 140402. arXiv : quant-ph/0612147 . Bibcode : 2007PhRvL..98n0402W. doi : 10.1103/PhysRevLett.98.140402. ISSN  0031-9007. PMID  17501251. S2CID  30078867.
32. Blaylock, Guy (январь 2010 г.). «Парадокс ЭПР, неравенство Белла и вопрос локальности». American Journal of Physics . 78 (1): 111–120. arXiv : 0902.3827 . Bibcode : 2010AmJPh..78..111B. doi : 10.1119/1.3243279. S2CID  118520639.
33. Альберт Эйнштейн Макс Борн, Briefwechsel 1916-1955 (на немецком языке) (3-е изд.). Мюнхен: Ланген Мюллер. 2005. с. 254.
34. Белл, Джон (1981). «Носки Бертлманна и природа реальности». J. Physique Colloques . C22 : 41–62. Bibcode : 1988nbpw.conf..245B.

Избранные статьи

• Эберхард, PH (1977). «Теорема Белла без скрытых переменных». Il Nuovo Cimento B . Серия 11. 38 (1): 75–80. arXiv : quant-ph/0010047 . Bibcode :1977NCimB..38...75E. doi :10.1007/bf02726212. ISSN  1826-9877. S2CID  51759163.
• Эберхард, PH (1978). «Теорема Белла и различные концепции локальности». Il Nuovo Cimento B. Серия 11. 46 (2): 392–419. Bibcode : 1978NCimB..46..392E. doi : 10.1007/bf02728628. ISSN  1826-9877. S2CID  118836806.
• Эйнштейн, А.; Подольский, Б.; Розен, Н. (1935-05-15). «Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным?» (PDF) . Physical Review . 47 (10): 777–780. Bibcode :1935PhRv...47..777E. doi : 10.1103/physrev.47.777 . ISSN  0031-899X.
• Файн, Артур (1 февраля 1982 г.). «Скрытые переменные, совместная вероятность и неравенства Белла». Physical Review Letters . 48 (5): 291–295. Bibcode : 1982PhRvL..48..291F. doi : 10.1103/physrevlett.48.291. ISSN  0031-9007.
• А. Файн, Нужно ли объяснять корреляции?, в книге «Философские следствия квантовой теории: размышления о теореме Белла» , под редакцией Кушинга и Макмаллина (Издательство Университета Нотр-Дам, 1986).
• Харди, Люсьен (1993-09-13). «Нелокальность для двух частиц без неравенств для почти всех запутанных состояний». Physical Review Letters . 71 (11): 1665–1668. Bibcode :1993PhRvL..71.1665H. doi :10.1103/physrevlett.71.1665. ISSN  0031-9007. PMID  10054467.
• М. Мизуки, Классическая интерпретация неравенства Белла . Анналы фонда Луи де Бройля 26 683 (2001)
• Перес, Эшер (2005). «Эйнштейн, Подольский, Розен и Шеннон». Основы физики . 35 (3): 511–514. arXiv : quant-ph/0310010 . Bibcode :2005FoPh...35..511P. doi :10.1007/s10701-004-1986-6. ISSN  0015-9018. S2CID  119556878.
• П. Плух, «Теория квантовой вероятности», докторская диссертация, Университет Клагенфурта (2006)
• Rowe, MA; Kielpinski, D.; Meyer, V.; Sackett, CA; Itano, WM; Monroe, C.; Wineland, DJ (2001). «Экспериментальное нарушение неравенства Белла с эффективным обнаружением». Nature . 409 (6822): 791–794. Bibcode :2001Natur.409..791R. doi :10.1038/35057215. hdl : 2027.42/62731 . ISSN  0028-0836. PMID  11236986. S2CID  205014115.
• Smerlak, Matteo; Rovelli, Carlo (2007-02-03). "Relational EPR". Foundations of Physics . 37 (3): 427–445. arXiv : quant-ph/0604064 . Bibcode :2007FoPh...37..427S. doi :10.1007/s10701-007-9105-0. ISSN  0015-9018. S2CID  11816650.

Книги

• Белл, Джон С. (1987). Выразимое и невыразимое в квантовой механике . Cambridge University Press. ISBN 0-521-36869-3 . 
• Файн, Артур (1996). Шаткие игры: Эйнштейн, реализм и квантовая теория . 2-е изд. Издательство Чикагского университета.
• Гриббин, Джон (1984). В поисках кота Шредингера . Черный лебедь. ISBN 978-0-552-12555-0 
• Лидерман, Леон; Терези, Дик (1993). Частица Бога: если Вселенная — это ответ, то в чем вопрос? Houghton Mifflin Company, стр. 21, 187–189.
• Селлери, Франко (1988). Квантовая механика против локального реализма: парадокс Эйнштейна–Подольского–Розена . Нью-Йорк: Plenum Press. ISBN 0-306-42739-7 . 

Внешние ссылки

• Стэнфордская энциклопедия философии: Аргумент Эйнштейна–Подольского–Розена в квантовой теории; 1.2 Аргумент в тексте
• Интернет-энциклопедия философии : «Аргумент Эйнштейна-Подольского-Розена и неравенства Белла»
• Стэнфордская энциклопедия философии : Эбнер Шимони (2019) «Теорема Белла»
• ЭПР, Белл и Аспект: Оригинальные ссылки
• Исключает ли принцип неравенства Белла локальные теории квантовой механики? из раздела Usenet Physics FAQ
• Теоретическое использование ЭПР в телепортации
• Эффективное использование EPR в криптографии
• Эксперимент ЭПР с одиночными фотонами интерактивный
• Жуткие действия на расстоянии?: лекция Оппенгеймера профессора Мермина
• Оригинальная статья