Элементарная алгебра

Основные понятия алгебры

${\displaystyle {\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}}$

Квадратичная формула , которая является решением квадратного уравнения , где . Здесь символы a , b и c представляют собой произвольные числа, а x — переменная, которая представляет собой решение уравнения. ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ ${\displaystyle a\neq 0}$

Двумерный график (красная кривая) алгебраического уравнения . ${\displaystyle y=x^{2}-x-2}$

Элементарная алгебра , также известная как колледжная алгебра , ^[1] охватывает основные понятия алгебры . Ее часто противопоставляют арифметике : арифметика имеет дело с определенными числами , ^[2] тогда как алгебра вводит переменные (величины без фиксированных значений). ^[3]

Такое использование переменных влечет за собой использование алгебраической нотации и понимание общих правил операций , введенных в арифметику: сложение, вычитание, умножение, деление и т. д. В отличие от абстрактной алгебры , элементарная алгебра не имеет дела с алгебраическими структурами за пределами области действительных и комплексных чисел .

Обычно его преподают ученикам средних школ и на начальном уровне колледжа в Соединенных Штатах ^[4] и он строится на их понимании арифметики . Использование переменных для обозначения величин позволяет формально и кратко выражать общие отношения между величинами и, таким образом, позволяет решать более широкий круг задач. Многие количественные отношения в науке и математике выражаются в виде алгебраических уравнений .

Алгебраические операции

Алгебраические операции в решении квадратного уравнения . Знак радикала √, обозначающий квадратный корень , эквивалентен возведению в степень ⁠1/2⁠ . Знак ± означает, что уравнение можно записать как со знаком +, так и со знаком –.

В математике основная алгебраическая операция — это любая из общих операций элементарной алгебры, которая включает сложение , вычитание , умножение , деление , возведение в целую степень и извлечение корней ( дробная степень). ^[5] Эти операции могут выполняться над числами , в этом случае их часто называют арифметическими операциями . Они также могут выполняться, аналогичным образом, над переменными , алгебраическими выражениями , ^[6] и, в более общем смысле, над элементами алгебраических структур , такими как группы и поля . ^[7] Алгебраическая операция может быть также определена более обще как функция от декартовой степени из заданного множества в то же множество. ^[8]

Термин алгебраическая операция может также использоваться для операций, которые могут быть определены путем соединения основных алгебраических операций, таких как скалярное произведение . В исчислении и математическом анализе алгебраическая операция также используется для операций, которые могут быть определены чисто алгебраическими методами . Например, возведение в степень с целым или рациональным показателем является алгебраической операцией, но не общее возведение в степень с действительным или комплексным показателем. Кроме того, производная является операцией, которая не является алгебраической.

Алгебраическая нотация

Алгебраическая нотация описывает правила и соглашения для записи математических выражений , а также терминологию, используемую для описания частей выражений. Например, выражение имеет следующие компоненты: ${\displaystyle 3x^{2}-2xy+c}$

1. показатель степени (степень)
2. коэффициент
3. срок
4. операция
5. константа ,
   x, y . переменные

Коэффициент — это числовое значение или буква, представляющая числовую константу, которая умножается на переменную (оператор опускается). Член — это слагаемое или слагаемое , группа коэффициентов, переменных, констант и показателей степеней, которые могут быть отделены от других членов операторами плюс и минус. ^[9] Буквы представляют переменные и константы. По соглашению, буквы в начале алфавита (например, ) обычно используются для представления констант , а те, что ближе к концу алфавита (например, и z ), используются для представления переменных . ^[10] Обычно они печатаются курсивом. ^[11] ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle x,y}$

Алгебраические операции работают так же, как арифметические операции , ^[12] такие как сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень , ^[13] и применяются к алгебраическим переменным и термам. Символы умножения обычно опускаются и подразумеваются, когда между двумя переменными или термами нет пробела или когда используется коэффициент . Например, записывается как , и может быть записано . ^[14] ${\displaystyle 3\times x^{2}}$ ${\displaystyle 3x^{2}}$ ${\displaystyle 2\times x\times y}$ ${\displaystyle 2xy}$

Обычно члены с наивысшей степенью ( экспонентой ) пишутся слева, например, пишется слева от x . Когда коэффициент равен единице, он обычно опускается (например, пишется ). ^[15] Аналогично, когда показатель степени равен единице (например, пишется ). ^[16] Когда показатель степени равен нулю, результат всегда равен 1 (например, всегда переписывается в 1 ). ^[17] Однако , будучи неопределенным, не должен появляться в выражении, и следует проявлять осторожность при упрощении выражений, в которых переменные могут появляться в экспонентах. ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 1x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 3x^{1}}$ ${\displaystyle 3x}$ ${\displaystyle x^{0}}$ ${\displaystyle 0^{0}}$

Альтернативная нотация

Другие типы обозначений используются в алгебраических выражениях, когда требуемое форматирование недоступно или не может подразумеваться, например, когда доступны только буквы и символы. В качестве иллюстрации этого, в то время как показатели степени обычно форматируются с помощью верхних индексов, например, , в обычном тексте и в языке разметки TeX символ каретки ^ представляет возведение в степень, поэтому записывается как "x^2". ^{[18] [19]} Это также применимо к некоторым языкам программирования, таким как Lua. В таких языках программирования, как Ada , ^[20] Fortran , ^[21] Perl , ^[22] Python ^[23] и Ruby , ^[24] используется двойная звездочка, поэтому записывается как "x**2". Многие языки программирования и калькуляторы используют одну звездочку для представления символа умножения, ^[25] и он должен использоваться явно, например, записывается как "3*x". ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 3x}$

Концепции

Переменные

Пример переменных , показывающих связь между диаметром круга и его окружностью. Для любого круга его окружность c , деленная на его диаметр d , равна константе pi (приблизительно 3,14). ${\displaystyle \pi }$

Элементарная алгебра строится на арифметике и расширяет ее ^[26], вводя буквы, называемые переменными, для представления общих (неопределенных) чисел. Это полезно по нескольким причинам.

1. Переменные могут представлять числа, значения которых пока неизвестны . Например, если температура текущего дня, C, на 20 градусов выше температуры предыдущего дня, P, то задачу можно описать алгебраически как . ^[27] ${\displaystyle C=P+20}$
2. Переменные позволяют описывать общие проблемы, ^[4] не указывая значения вовлеченных величин. Например, можно конкретно указать, что 5 минут эквивалентны секундам. Более общее (алгебраическое) описание может указывать, что количество секунд, , где m — количество минут. ${\displaystyle 60\times 5=300}$ ${\displaystyle s=60\times m}$
3. Переменные позволяют описывать математические соотношения между величинами, которые могут изменяться. ^[28] Например, соотношение между длиной окружности c и диаметром d круга описывается следующим образом . ${\displaystyle \pi =c/d}$
4. Переменные позволяют описывать некоторые математические свойства. Например, основным свойством сложения является коммутативность , которая гласит, что порядок складываемых чисел не имеет значения. Коммутативность алгебраически выражается как . ^[29] ${\displaystyle (a+b)=(b+a)}$

Упрощение выражений

Алгебраические выражения могут быть оценены и упрощены на основе основных свойств арифметических операций ( сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень ). Например,

• Добавленные члены упрощаются с помощью коэффициентов. Например, можно упростить как (где 3 — числовой коэффициент). ${\displaystyle x+x+x}$ ${\displaystyle 3x}$
• Умноженные члены упрощаются с помощью экспонент. Например, представляется как ${\displaystyle x\times x\times x}$ ${\displaystyle x^{3}}$
• Подобные термины складываются, ^[30] например, записывается как , поскольку термины, содержащие , складываются, а термины, содержащие , складываются. ${\displaystyle 2x^{2}+3ab-x^{2}+ab}$ ${\displaystyle x^{2}+4ab}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle ab}$
• Скобки можно "размножить", используя распределительное свойство . Например, можно записать как что можно записать как ${\displaystyle x(2x+3)}$ ${\displaystyle (x\times 2x)+(x\times 3)}$ ${\displaystyle 2x^{2}+3x}$
• Выражения можно разложить на множители . Например, , разделив оба члена на общий множитель , можно записать как ${\displaystyle 6x^{5}+3x^{2}}$ ${\displaystyle 3x^{2}}$ ${\displaystyle 3x^{2}(2x^{3}+1)}$

Уравнения

Анимация, иллюстрирующая правило Пифагора для прямоугольного треугольника, которая показывает алгебраическую связь между гипотенузой треугольника и двумя другими сторонами.

Уравнение утверждает, что два выражения равны, используя символ равенства = ( знак равенства ). ^[31] Одно из самых известных уравнений описывает закон Пифагора, связывающий длины сторон прямоугольного треугольника : ^[32]

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Это уравнение утверждает, что , представляя собой квадрат длины стороны, являющейся гипотенузой, стороны, противолежащей прямому углу, равна сумме (сложению) квадратов двух других сторон, длины которых представлены как a и b . ${\displaystyle c^{2}}$

Уравнение — это утверждение, что два выражения имеют одинаковое значение и равны. Некоторые уравнения верны для всех значений вовлечённых переменных (например, ); такие уравнения называются тождествами . Условные уравнения верны только для некоторых значений вовлечённых переменных, например, верно только для и . Значения переменных, которые делают уравнение верным, являются решениями уравнения и могут быть найдены путём решения уравнения . ${\displaystyle a+b=b+a}$ ${\displaystyle x^{2}-1=8}$ ${\displaystyle x=3}$ ${\displaystyle x=-3}$

Другой тип уравнения — неравенство. Неравенства используются, чтобы показать, что одна часть уравнения больше или меньше другой. Для этого используются следующие символы: где представляет «больше», а где представляет «меньше». Как и в стандартных уравнениях равенства, числа можно складывать, вычитать, умножать или делить. Единственное исключение — при умножении или делении на отрицательное число символ неравенства необходимо перевернуть. ${\displaystyle a>b}$ ${\displaystyle >}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle <}$

Свойства равенства

По определению, равенство является отношением эквивалентности , то есть оно рефлексивно (т.е. ), симметрично (т.е. если то ) и транзитивно (т.е. если и то ). ^[33] Оно также удовлетворяет важному свойству, что если два символа используются для одинаковых вещей, то один символ может быть заменен другим в любом истинном утверждении о первом, и утверждение останется истинным. Это подразумевает следующие свойства: ${\displaystyle b=b}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle b=a}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle b=c}$ ${\displaystyle a=c}$

• если и то и ; ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle c=d}$ ${\displaystyle a+c=b+d}$ ${\displaystyle ac=bd}$
• если то и ; ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle a+c=b+c}$ ${\displaystyle ac=bc}$
• в более общем смысле, для любой функции f , если , то . ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$

Свойства неравенства

Отношения меньше и больше обладают свойством транзитивности: ^[34] ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle >}$

• Если     и     тогда   ; ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle b<c}$ ${\displaystyle a<c}$
• Если     и     тогда   ; ^[35] ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle c<d}$ ${\displaystyle a+c<b+d}$
• Если     и     тогда   ; ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle ac<bc}$
• Если     и     тогда   . ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle c<0}$ ${\displaystyle bc<ac}$

Перевернув неравенство, можно поменять местами и , ^[36] например: ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle >}$

• ${\displaystyle a<b}$эквивалентно ${\displaystyle b>a}$

Замена

Подстановка — это замена терминов в выражении для создания нового выражения. Подстановка 3 вместо a в выражении a *5 создает новое выражение 3*5 со значением 15 . Подстановка терминов утверждения создает новое утверждение. Когда исходное утверждение истинно независимо от значений терминов, утверждение, созданное подстановками, также истинно. Следовательно, определения могут быть сделаны в символических терминах и интерпретированы посредством подстановки: если подразумевается определение как произведение a на себя, подстановка 3 вместо a информирует читателя об этом утверждении, которое означает 3 × 3 = 9 . Часто неизвестно, является ли утверждение истинным независимо от значений терминов. И подстановка позволяет вывести ограничения на возможные значения или показать, при каких условиях выполняется утверждение. Например, если взять утверждение x + 1 = 0 , то если x заменить на 1 , это будет означать 1 + 1 = 2 = 0 , что является ложным, а это значит, что если x + 1 = 0 , то x не может быть 1 . ${\displaystyle a^{2}:=a\times a}$ ${\displaystyle a^{2},}$ ${\displaystyle 3^{2}}$

Если x и y — целые , рациональные или действительные числа , то xy = 0 подразумевает x = 0 или y = 0. Рассмотрим abc = 0. Затем, подставляя a вместо x и bc вместо y , мы узнаем, что a = 0 или bc = 0. Затем мы можем снова подставить, положив x = b и y = c , чтобы показать, что если bc = 0 , то b = 0 или c = 0. Следовательно, если abc = 0 , то a = 0 или ( b = 0 или c = 0 ), поэтому abc = 0 подразумевает a = 0 или b = 0 или c = 0 .

Если исходный факт был сформулирован как « ab = 0 подразумевает a = 0 или b = 0 », то, говоря «рассмотреть abc = 0 », мы бы получили конфликт терминов при подстановке. Тем не менее, приведенная выше логика по-прежнему верна, чтобы показать, что если abc = 0 , то a = 0 или b = 0 или c = 0 , если вместо того, чтобы позволить a = a и b = bc , подставить a вместо a и b вместо bc (и при bc = 0 подставить b вместо a и c вместо b ). Это показывает, что подстановка терминов в утверждение не всегда то же самое, что позволить терминам из утверждения равняться подставленным терминам. В этой ситуации ясно, что если мы подставим выражение a в термин a исходного уравнения, подставленный a не будет ссылаться на a в утверждении « ab = 0 подразумевает a = 0 или b = 0 ».

Решение алгебраических уравнений

Типичная алгебраическая задача.

В следующих разделах приведены примеры некоторых типов алгебраических уравнений, которые могут встретиться.

Линейные уравнения с одной переменной

Линейные уравнения так называются, потому что при построении они описывают прямую линию. Простейшими для решения уравнениями являются линейные уравнения, которые имеют только одну переменную. Они содержат только постоянные числа и одну переменную без показателя степени. В качестве примера рассмотрим:

Задача словами: Если удвоить возраст ребенка и прибавить 4, то ответ будет 12. Сколько лет ребенку?

Эквивалентное уравнение: где x представляет возраст ребенка ${\displaystyle 2x+4=12}$

Чтобы решить этот тип уравнения, техника заключается в сложении, вычитании, умножении или делении обеих сторон уравнения на одно и то же число, чтобы изолировать переменную на одной стороне уравнения. После того, как переменная изолирована, другая сторона уравнения является значением переменной. ^[37] Эта проблема и ее решение следующие:

Решение для x

Проще говоря: ребенку 4 года.

Общую форму линейного уравнения с одной переменной можно записать как: ${\displaystyle ax+b=c}$

Следуя той же процедуре (т.е. вычтя b из обеих сторон, а затем разделив на a ), общее решение дается как ${\displaystyle x={\frac {c-b}{a}}}$

Линейные уравнения с двумя переменными

Решение двух линейных уравнений с единственным решением в точке их пересечения.

Линейное уравнение с двумя переменными имеет множество (т.е. бесконечное число) решений. ^[38] Например:

Задача в словах: Отец старше сына на 22 года. Сколько им лет?

Эквивалентное уравнение: где y — возраст отца, x — возраст сына. ${\displaystyle y=x+22}$

Это не может быть решено само по себе. Если бы возраст сына был известен, то больше не было бы двух неизвестных (переменных). Тогда задача становится линейным уравнением с одной переменной, которое можно решить, как описано выше.

Чтобы решить линейное уравнение с двумя переменными (неизвестными), требуются два связанных уравнения. Например, если также было выявлено, что:

Проблема в словах

Через 10 лет отец будет вдвое старше сына.

Эквивалентное уравнение

${\displaystyle {\begin{aligned}y+10&=2\times (x+10)\\y&=2\times (x+10)-10&&{\text{Subtract 10 from both sides}}\\y&=2x+20-10&&{\text{Multiple out brackets}}\\y&=2x+10&&{\text{Simplify}}\end{aligned}}}$

Теперь есть два связанных линейных уравнения, каждое с двумя неизвестными, что позволяет составить линейное уравнение всего с одной переменной, вычитая одно из другого (это называется методом исключения): ^[39]

${\displaystyle {\begin{cases}y=x+22&{\text{First equation}}\\y=2x+10&{\text{Second equation}}\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&&{\text{Subtract the first equation from}}\\(y-y)&=(2x-x)+10-22&&{\text{the second in order to remove }}y\\0&=x-12&&{\text{Simplify}}\\12&=x&&{\text{Add 12 to both sides}}\\x&=12&&{\text{Rearrange}}\end{aligned}}}$

Другими словами, сыну 12 лет, а поскольку отец на 22 года старше, ему должно быть 34 года. Через 10 лет сыну будет 22 года, а отцу будет вдвое больше, 44 года. Эта проблема проиллюстрирована на соответствующем графике уравнений.

Другие способы решения такого рода уравнений см. ниже, Система линейных уравнений .

Квадратные уравнения

График квадратного уравнения, показывающий его корни при и , и что квадратное уравнение можно переписать как ${\displaystyle y=x^{2}+3x-10}$ ${\displaystyle x=-5}$ ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle y=(x+5)(x-2)}$

Квадратное уравнение — это уравнение, которое включает член с показателем степени 2, например, , ^[40] и ни одного члена с более высоким показателем. Название происходит от латинского quadrus , что означает квадрат. ^[41] В общем случае квадратное уравнение можно выразить в виде , ^[42] где a не равно нулю (если бы оно было равно нулю, то уравнение было бы не квадратным, а линейным). Из-за этого квадратное уравнение должно содержать член , который известен как квадратный член. Следовательно , , и поэтому мы можем разделить на a и переписать уравнение в стандартную форму ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ ${\displaystyle ax^{2}}$ ${\displaystyle a\neq 0}$

${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$

где и . Решение этого процесса, известного как завершение квадрата , приводит к квадратной формуле ${\displaystyle p={\frac {b}{a}}}$ ${\displaystyle q={\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

где символ «±» указывает на то, что оба

${\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

являются решениями квадратного уравнения.

Квадратные уравнения также можно решить с помощью факторизации (обратный процесс, которому является расширение , но для двух линейных членов иногда обозначается как разложение ). В качестве примера факторизации:

${\displaystyle x^{2}+3x-10=0,}$

что то же самое, что и

${\displaystyle (x+5)(x-2)=0.}$

Из свойства нулевого произведения следует , что либо либо являются решениями, поскольку ровно один из множителей должен быть равен нулю . Все квадратные уравнения будут иметь два решения в комплексной системе счисления , но не обязательно иметь ни одного в действительной системе счисления . Например, ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle x=-5}$

${\displaystyle x^{2}+1=0}$

не имеет решения в виде вещественного числа, поскольку квадрат вещественного числа не равен −1. Иногда квадратное уравнение имеет корень кратности 2, например:

${\displaystyle (x+1)^{2}=0.}$

Для этого уравнения −1 является корнем кратности 2. Это означает, что −1 появляется дважды, поскольку уравнение можно переписать в факторизованной форме как

${\displaystyle [x-(-1)][x-(-1)]=0.}$

Комплексные числа

Все квадратные уравнения имеют ровно два решения в комплексных числах (но они могут быть равны друг другу), категория, которая включает действительные числа , мнимые числа и суммы действительных и мнимых чисел. Комплексные числа впервые возникают в преподавании квадратных уравнений и квадратной формулы. Например, квадратное уравнение

${\displaystyle x^{2}+x+1=0}$

есть решения

${\displaystyle x={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad x={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}.}$

Поскольку не является действительным числом, оба этих решения для x являются комплексными числами. ${\displaystyle {\sqrt {-3}}}$

Показательные и логарифмические уравнения

График логарифма по основанию 2 пересекает ось x (горизонтальную ось) в точке 1 и проходит через точки с координатами (2, 1) , (4, 2) и (8, 3) . Например, log ₂ (8) = 3 , поскольку 2 ³ = 8. График произвольно приближается к оси y , но не встречается и не пересекает ее .

Экспоненциальное уравнение — это уравнение, которое имеет вид для , ^[43] и имеет решение ${\displaystyle a^{x}=b}$ ${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle x=\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}}$

когда . Элементарные алгебраические методы используются для переписывания данного уравнения указанным выше способом, прежде чем прийти к решению. Например, если ${\displaystyle b>0}$

${\displaystyle 3\cdot 2^{x-1}+1=10}$

затем, вычитая 1 из обеих сторон уравнения, а затем разделив обе стороны на 3, получаем

${\displaystyle 2^{x-1}=3}$

откуда

${\displaystyle x-1=\log _{2}3}$

или

${\displaystyle x=\log _{2}3+1.}$

Логарифмическое уравнение — это уравнение вида для , которое имеет решение ${\displaystyle log_{a}(x)=b}$ ${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle x=a^{b}.}$

Например, если

${\displaystyle 4\log _{5}(x-3)-2=6}$

затем, прибавив 2 к обеим сторонам уравнения, а затем разделив обе стороны на 4, мы получим

${\displaystyle \log _{5}(x-3)=2}$

откуда

${\displaystyle x-3=5^{2}=25}$

из чего получаем

${\displaystyle x=28.}$

Радикальные уравнения

${\displaystyle {\overset {}{\underset {}{{\sqrt[{2}]{x^{3}}}\equiv x^{\frac {3}{2}}}}}}$

Радикальное уравнение, показывающее два способа представления одного и того же выражения. Тройная черта означает, что уравнение верно для всех значений x

Радикальное уравнение — это уравнение, которое включает в себя знак радикала, который включает в себя квадратные корни , кубические корни , и корни n -й степени , . Напомним, что корень n- й степени можно переписать в экспоненциальном формате, так что это эквивалентно . В сочетании с обычными показателями (степенями) тогда (квадратный корень из x в кубе) можно переписать как . ^[44] Таким образом, общая форма радикального уравнения (эквивалентна ) где m и n — целые числа . Оно имеет вещественное решение(я): ${\displaystyle {\sqrt {x}},}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle x^{\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{2}]{x^{3}}}}$ ${\displaystyle x^{\frac {3}{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x^{m}}}=a}$ ${\displaystyle x^{\frac {m}{n}}=a}$

Например, если:

${\displaystyle (x+5)^{2/3}=4}$

затем

${\displaystyle {\begin{aligned}x+5&=\pm ({\sqrt {4}})^{3},\\x+5&=\pm 8,\\x&=-5\pm 8,\end{aligned}}}$

и таким образом

${\displaystyle x=3\quad {\text{or}}\quad x=-13}$

Система линейных уравнений

Существуют различные методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными.

Метод исключения

Решением уравнений является единственная точка (2, 3). ${\displaystyle x-y=-1}$ ${\displaystyle 3x+y=9}$

Примером решения системы линейных уравнений является метод исключения:

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y&=14\\2x-y&=1.\end{cases}}}$

Умножаем члены второго уравнения на 2:

${\displaystyle 4x+2y=14}$

${\displaystyle 4x-2y=2.}$

Сложим два уравнения, получим:

${\displaystyle 8x=16}$

что упрощается до

${\displaystyle x=2.}$

Поскольку факт известен, то можно вывести, что по любому из исходных двух уравнений (используя 2 вместо x ) полное решение этой задачи тогда будет ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle y=3}$

${\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}}$

Это не единственный способ решения данной конкретной системы; y можно было бы решить раньше, чем x .

Метод замещения

Другой способ решения той же системы линейных уравнений — подстановка.

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y&=14\\2x-y&=1.\end{cases}}}$

Эквивалент для y можно вывести, используя одно из двух уравнений. Используя второе уравнение:

${\displaystyle 2x-y=1}$

Вычитаем из каждой части уравнения: ${\displaystyle 2x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2x-2x-y&=1-2x\\-y&=1-2x\end{aligned}}}$

и умножаем на −1:

${\displaystyle y=2x-1.}$

Используя это значение y в первом уравнении исходной системы:

${\displaystyle {\begin{aligned}4x+2(2x-1)&=14\\4x+4x-2&=14\\8x-2&=14\end{aligned}}}$

Добавляем 2 с каждой стороны уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}8x-2+2&=14+2\\8x&=16\end{aligned}}}$

что упрощается до

${\displaystyle x=2}$

Используя это значение в одном из уравнений, получаем то же решение, что и в предыдущем методе.

${\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}}$

Это не единственный способ решения данной конкретной системы; в этом случае y можно было бы решить раньше, чем x .

Другие типы систем линейных уравнений

Непоследовательные системы

Уравнения и параллельны и не могут пересекаться, поэтому неразрешимы. ${\displaystyle 3x+2y=6}$ ${\displaystyle 3x+2y=12}$

График квадратного уравнения (красный) и линейного уравнения (синий), которые не пересекаются и, следовательно, для которых не существует общего решения.

В приведенном выше примере решение существует. Однако существуют также системы уравнений, не имеющие решения. Такая система называется несовместной . Очевидным примером является

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}x+y&=1\\0x+0y&=2\,.\end{aligned}}\end{cases}}}$

Так как 0≠2, то второе уравнение в системе не имеет решения. Следовательно, система не имеет решения. Однако не все несовместные системы распознаются с первого взгляда. В качестве примера рассмотрим систему

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y&=12\\-2x-y&=-4\,.\end{aligned}}\end{cases}}}$

Умножая на 2 обе части второго уравнения и прибавляя к нему первую, получаем

${\displaystyle 0x+0y=4\,,}$

которая явно не имеет решения.

Неопределенные системы

Существуют также системы, которые имеют бесконечно много решений, в отличие от систем с единственным решением (то есть уникальной парой значений для x и y ). Например:

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y&=12\\-2x-y&=-6\end{aligned}}\end{cases}}}$

Выделим y во втором уравнении:

${\displaystyle y=-2x+6}$

И используем это значение в первом уравнении системы:

${\displaystyle {\begin{aligned}4x+2(-2x+6)=12\\4x-4x+12=12\\12=12\end{aligned}}}$

Равенство верно, но оно не дает значения для x . Действительно, можно легко проверить (просто заполнив некоторые значения x ), что для любого x существует решение, пока . Для этой системы существует бесконечное число решений. ${\displaystyle y=-2x+6}$

Пере- и недоопределенные системы

Системы с большим числом переменных, чем число линейных уравнений, называются недоопределенными . Такая система, если и имеет решения, то не единственное, а имеет бесконечное множество решений. Примером такой системы является

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}x+2y&=10\\y-z&=2.\end{aligned}}\end{cases}}}$

При попытке решить эту задачу приходится выражать некоторые переменные как функции других, если существуют какие-либо решения, но невозможно выразить все решения численно, поскольку их существует бесконечное множество, если таковые вообще существуют.

Система с большим числом уравнений, чем переменных, называется переопределенной . Если переопределенная система имеет какие-либо решения, то обязательно некоторые уравнения являются линейными комбинациями других.

Смотрите также

• История алгебры
• Двоичная операция
• Гауссово исключение
• Математическое образование
• Числовая прямая
• Полиномиальный
• Отмена
• Школьная задача Тарского по алгебре

Ссылки

• Леонард Эйлер , Элементы алгебры , 1770. Английский перевод Tarquin Press, 2007, ISBN 978-1-899618-79-8 , а также онлайн-оцифрованные издания ^[45] 2006, ^[46] 1822.  
• Чарльз Смит, «Трактат по алгебре» , в монографиях по исторической математике библиотеки Корнелльского университета.
• Редден, Джон. Элементарная алгебра Архивировано 10 июня 2016 г. на Wayback Machine . Знания о плоском мире, 2011 г.

1. Пирс, Р., Колледжская алгебра, Математика — это весело , дата обращения 28 августа 2023 г.
2. HE Slaught и NJ Lennes, Elementary algebra , Publ. Allyn and Bacon, 1915, стр. 1 (переиздано Forgotten Books)
3. Льюис Хирш, Артур Гудман, Понимание элементарной алгебры с помощью геометрии: курс для студентов колледжей , Издательство: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727 , 9780534999728, 654 страницы, страница 2 
4. Lawrence S. Leff, College Algebra: Barron's Ez-101 Study Keys , Издательство: Barron's Educational Series, 2005, ISBN 0764129147 , 9780764129148, 230 страниц, страница 2 
5. "алгебраическая операция | Encyclopedia.com". www.encyclopedia.com . Получено 2020-08-27 .
6. Уильям Смит, Элементарная алгебра: для школ и академий , издательство Бейли и Нойес, 1864, «Алгебраические операции»
7. Горацио Нельсон Робинсон, Новая элементарная алгебра: содержащая основы науки для школ и академий , Айвисон, Финни, Блейкман и Ко., 1866, стр. 7
8. "Алгебраическая операция - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 2020-08-27 .
9. Ричард Н. Ауфманн, Джоан Локвуд, Вводная алгебра: прикладной подход , издательство Cengage Learning, 2010, ISBN 1439046042 , 9781439046043, стр. 78 
10. Уильям Л. Хош (редактор), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry , Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190 , 9781615302192, стр. 71 
11. Джеймс Э. Джентл, Численная линейная алгебра для приложений в статистике , Издательство: Springer, 1998, ISBN 0387985425 , 9780387985428, 221 страница, [Джеймс Э. Джентл, страница 184] 
12. Горацио Нельсон Робинсон, Новая элементарная алгебра: содержащая основы науки для школ и академий , Айвисон, Финни, Блейкман и Ко., 1866, стр. 7
13. Рон Ларсон, Роберт Хостетлер, Брюс Х. Эдвардс, Алгебра и тригонометрия: графический подход , Издатель: Cengage Learning, 2007, ISBN 061885195X , 9780618851959, 1114 страниц, страница 6 
14. Син Квай Мэн, Чип Вай Лунг, Нг Сонг Бэн, «Алгебраическая нотация», в учебнике по математике для средней школы 1 Express , издательство Panpac Education Pte Ltd, ISBN 9812738827 , 9789812738820, стр. 68 
15. Дэвид Алан Херцог, «Самостоятельное визуальное обучение алгебре» , издательство John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597 , 9780470185599, 304 страницы, стр. 72 
16. Джон С. Петерсон, Техническая математика с исчислением , издательство Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899 , 9780766861893, 1613 страниц, страница 31 
17. Джером Э. Кауфманн, Карен Л. Швиттерс, Алгебра для студентов колледжей , издательство Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543 , 9780538733540, 803 страницы, страница 222 
18. Рамеш Бангиа, Словарь информационных технологий , Издательство Laxmi Publications, Ltd., 2010, ISBN 9380298153 , 9789380298153, стр. 212 
19. Джордж Гретцер, Первые шаги в LaTeX , Издательство Springer, 1999, ISBN 0817641327 , 9780817641320, стр. 17 
20. S. Tucker Taft, Robert A. Duff, Randall L. Brukardt, Erhard Ploedereder, Pascal Leroy, Ada 2005 Reference Manual , Volume 4348 of Lecture Notes in Computer Science, Publisher Springer, 2007, ISBN 3540693351 , 9783540693352, страница 13 
21. C. Xavier, Fortran 77 и численные методы , издательство New Age International, 1994, ISBN 812240670X , 9788122406702, стр. 20 
22. Рэндал Шварц, Брайан Фой, Том Феникс, Learning Perl , издательство O'Reilly Media, Inc., 2011, ISBN 1449313140 , 9781449313142, стр. 24 
23. Мэтью А. Теллес, Python Power!: The Comprehensive Guide , Publisher Course Technology PTR, 2008, ISBN 1598631586 , 9781598631586, стр. 46 
24. Кевин С. Бэрд, Ruby на примерах: концепции и код , издательство No Starch Press, 2007, ISBN 1593271484 , 9781593271480, стр. 72 
25. Уильям П. Берлингхофф, Фернандо К. Гувеа, Математика сквозь века: добрая история для учителей и других , издательство MAA, 2004, ISBN 0883857367 , 9780883857366, стр. 75 
26. Томас Соннабенд, Математика для учителей: интерактивный подход для классов K-8 , Издательство: Cengage Learning, 2009, ISBN 0495561665 , 9780495561668, 759 страниц, страница xvii 
27. Льюис Хирш, Артур Гудман, Понимание элементарной алгебры с помощью геометрии: курс для студентов колледжей , Издательство: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727 , 9780534999728, 654 страницы, страница 48 
28. Рон Ларсон, Кимберли Нолтинг, Элементарная алгебра , Издательство: Cengage Learning, 2009, ISBN 0547102275 , 9780547102276, 622 страницы, страница 210 
29. Чарльз П. Маккиг, Элементарная алгебра , Издательство: Cengage Learning, 2011, ISBN 0840064217 , 9780840064219, 571 страница, страница 49 
30. Эндрю Маркс, Shortcut Algebra I: A Quick and Easy Way to Increase Your Algebra I Knowledge and Test Scores , Издательство Kaplan Publishing, 2007, ISBN 1419552880 , 9781419552885, 288 страниц, страница 51 
31. Марк Кларк, Синтия Анфинсон, Начальная алгебра: соединение концепций через приложения , издательство Cengage Learning, 2011, ISBN 0534419380 , 9780534419387, 793 страницы, страница 134 
32. Алан С. Тусси, Р. Дэвид Густафсон, Элементарная и средняя алгебра , издательство Cengage Learning, 2012, ISBN 1111567689 , 9781111567682, 1163 страницы, страница 493 
33. Дуглас Даунинг, «Алгебра — легкий путь» , издательство Barron's Educational Series, 2003, ISBN 0764119729 , 9780764119729, 392 страницы, страница 20 
34. Рон Ларсон, Роберт Хостетлер, Промежуточная алгебра , Издательство Cengage Learning, 2008, ISBN 0618753524 , 9780618753529, 857 страниц, страница 96 
35. «Как называется следующее свойство неравенства?». Stack Exchange . 29 ноября 2014 г. Получено 4 мая 2018 г.
36. Крис Картер, Физика: факты и практика для уровня A , издательство Oxford University Press, 2001, ISBN 019914768X , 9780199147687, 144 страницы, страница 50 
37. Славин, Стив (1989). Вся математика, которая вам когда-либо понадобится. John Wiley & Sons . стр. 72. ISBN 0-471-50636-2.
38. Синха, Руководство Пирсона по количественной пригодности для CAT 2/e Издатель: Pearson Education India, 2010, ISBN 8131723666 , 9788131723661, 599 страниц, страница 195 
39. Синтия И. Янг , Precalculus , издательство John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0471756849 , 9780471756842, 1175 страниц, страница 699 
40. Мэри Джейн Стерлинг, Алгебра II для чайников , Издательство: John Wiley & Sons, 2006, ISBN 0471775819 , 9780471775812, 384 страницы, страница 37 
41. Джон Т. Ирвин, Тайна к решению: По, Борхес и аналитическая детективная история , издательство JHU Press, 1996, ISBN 0801854660 , 9780801854668, 512 страниц, страница 372 
42. Шарма/Кхаттар, Руководство Пирсона по объективной математике для вступительных экзаменов в инженерное дело, 3/E , издательство Pearson Education India, 2010, ISBN 8131723631 , 9788131723630, 1248 страниц, страница 621 
43. Авен Чу, LMAN OL Дополнительный справочник по математике Revision Guide 3 , издательство Pearson Education South Asia, 2007, ISBN 9810600011 , 9789810600013, стр. 105 
44. Джон С. Петерсон, Техническая математика с исчислением , издательство Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899 , 9780766861893, 1613 страниц, страница 525 
45. Элементы алгебры Эйлера. Архивировано 13 апреля 2011 г. на Wayback Machine.
46. Эйлер, Леонард; Хьюлетт, Джон; Хорнер, Фрэнсис; Бернулли, Жан; Лагранж, Жозеф Луи (4 мая 2018 г.). «Элементы алгебры». Лонгман, Орм . Получено 4 мая 2018 г. – через Google Books.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Элементарная алгебра на Wikimedia Commons