Конверт (волны)

Гладкая кривая, очерчивающая крайние значения осциллирующего сигнала.

В физике и технике огибающая осциллирующего сигнала представляет собой плавную кривую , очерчивающую его крайние значения. ^[1] Таким образом, огибающая обобщает концепцию постоянной амплитуды до мгновенной амплитуды . На рисунке показана модулированная синусоидальная волна , варьирующая между верхней и нижней огибающей . Огибающая функция может быть функцией времени, пространства, угла или любой переменной.

Огибающая модулированной синусоидальной волны.

В бьющихся волнах

Модулированная волна, возникающая в результате сложения двух синусоидальных волн одинаковой амплитуды и почти одинаковой длины волны и частоты.

Распространенной ситуацией, приводящей к образованию огибающей функции как в пространстве x, так и во времени t, является суперпозиция двух волн почти одинаковой длины волны и частоты: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,\ t)&=\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda -\Delta \lambda }}-(f+\Delta f)t\right)\right]+\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda +\Delta \lambda }}-(f-\Delta f)t\right)\right]\\[6pt]&\approx 2\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\right]\ \sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\right]\end{aligned}}}$

которая использует тригонометрическую формулу сложения двух синусоид и приближение Δ λ  ≪  λ :

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda \pm \Delta \lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\ {\frac {1}{1\pm \Delta \lambda /\lambda }}\approx {\frac {1}{\lambda }}\mp {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}.}$

Здесь длина волны модуляции λ _mod определяется выражением: ^{[2] [3]}

${\displaystyle \lambda _{\rm {mod}}={\frac {\lambda ^{2}}{\Delta \lambda }}\ .}$

Длина волны модуляции в два раза больше длины самой огибающей, поскольку каждая полудлина модулирующей косинусоидальной волны определяет как положительные, так и отрицательные значения модулированной синусоидальной волны. Точно так же частота биений равна частоте огибающей, в два раза превышающей частоту модулирующей волны, или 2Δ f . ^[4]

Если эта волна является звуковой волной, ухо слышит частоту, связанную с f , и амплитуда этого звука меняется в зависимости от частоты ударов. ^[4]

Фазовая и групповая скорость

Красный квадрат движется с фазовой скоростью , а зеленые кружки распространяются с групповой скоростью .

Аргумент синусоиды, приведенной выше, за исключением коэффициента 2 π , таков:

${\displaystyle \xi _{C}=\left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\ ,}$

${\displaystyle \xi _{E}=\left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\ ,}$

с индексами C и E , относящимися к перевозчику и конверту . Одна и та же амплитуда волны F является результатом одних и тех же значений ξ _C и ξ _E , каждое из которых само может вернуться к одному и тому же значению при разных, но правильно связанных выборе x и t . Эта инвариантность означает, что можно отслеживать эти формы сигналов в пространстве, чтобы определить скорость положения фиксированной амплитуды по мере ее распространения во времени; Чтобы аргумент несущей волны оставался прежним, необходимо выполнить следующее условие:

${\displaystyle \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)=\left({\frac {x+\Delta x}{\lambda }}-f(t+\Delta t)\right)\ ,}$

который показывает, что для сохранения постоянной амплитуды расстояние Δ x связано с временным интервалом Δ t так называемой фазовой скоростью v _p

${\displaystyle v_{\rm {p}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda f\ .}$

С другой стороны, те же соображения показывают, что оболочка распространяется с так называемой групповой скоростью v _g : ^[5]

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda _{\rm {mod}}\Delta f=\lambda ^{2}{\frac {\Delta f}{\Delta \lambda }}\ .}$

Более распространенное выражение для групповой скорости получается путем введения волнового вектора k :

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}\ .}$

Мы замечаем, что для небольших изменений Δ λ величина соответствующего небольшого изменения волнового вектора, скажем Δ k , равна:

${\displaystyle \Delta k=\left|{\frac {dk}{d\lambda }}\right|\Delta \lambda =2\pi {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}\ ,}$

поэтому групповую скорость можно переписать как:

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {2\pi \Delta f}{\Delta k}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta k}}\ ,}$

где ω — частота в радианах/с: ω = 2 π f . Во всех средах частота и волновой вектор связаны дисперсионным соотношением ω = ω ( k ) , а групповую скорость можно записать:

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {d\omega (k)}{dk}}\ .}$

Дисперсионное соотношение ω=ω( k ) для некоторых волн, соответствующих колебаниям решетки в GaAs. ^[6]

В такой среде, как классический вакуум, дисперсионное уравнение для электромагнитных волн имеет вид:

${\displaystyle \omega =c_{0}k}$

где c ₀ — скорость света в классическом вакууме. В этом случае фазовая и групповая скорости равны c ₀ .

В так называемых дисперсионных средах закон дисперсии может быть сложной функцией волнового вектора, а фазовая и групповая скорости не совпадают. Например, для нескольких типов волн, проявляемых колебаниями атомов ( фононов ) в GaAs , дисперсионные соотношения показаны на рисунке для различных направлений волнового вектора k . В общем случае фазовая и групповая скорости могут иметь разные направления. ^[7]

В приближении функции

Вероятности электронов в двух нижних квантовых состояниях квантовой ямы GaAs размером 160 Å в гетероструктуре GaAs- GaAlAs , рассчитанные на основе огибающих функций. ^[8]

В физике конденсированного состояния собственная функция энергии подвижного носителя заряда в кристалле может быть выражена как волна Блоха :

${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

где n — индекс зоны (например, зоны проводимости или валентной зоны), r — пространственное положение, а k — волновой вектор . Экспонента представляет собой синусоидально меняющуюся функцию, соответствующую медленно меняющейся огибающей, модулирующей быстро меняющуюся часть волновой функции _un, k _{, описывающую} поведение волновой функции вблизи ядер атомов решетки. Огибающая ограничена значениями k в диапазоне, ограниченном зоной Бриллюэна кристалла, и это ограничивает скорость ее изменения в зависимости от местоположения r .

При определении поведения носителей с помощью квантовой механики обычно используется приближение огибающей , в котором уравнение Шредингера упрощается и относится только к поведению оболочки, а граничные условия применяются непосредственно к огибающей функции, а не к полной волновая функция. ^[9] Например, волновая функция носителя, захваченного вблизи примеси, определяется огибающей функцией F , которая определяет суперпозицию функций Блоха:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

где фурье-компоненты огибающей F ( k ) находятся из приближенного уравнения Шрёдингера. ^[10] В некоторых приложениях периодическая часть uk заменяется ее значением вблизи края зоны, скажем, _k = k 0 _, и тогда: ^[9]

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx \left(\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }\right)u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )=F(\mathbf {r} )u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )\ .}$

На дифракционных картинах

Дифракционная картина двойной щели имеет однощелевую огибающую.

Картины дифракции от нескольких щелей имеют огибающую, определяемую картиной дифракции на одной щели. Для одной щели шаблон определяется следующим образом: ^[11]

${\displaystyle I_{1}=I_{0}\sin ^{2}\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)^{2}\ ,}$

где α — угол дифракции, d — ширина щели, λ — длина волны. Для нескольких прорезей используется следующий шаблон: ^[11]

${\displaystyle I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,}$

где q — количество щелей, а g — постоянная решетки. Первый фактор, результат I ₁ для одной щели , модулирует более быстро меняющийся второй фактор, который зависит от количества щелей и расстояния между ними.

Оценка

Детектор огибающей — это электронная схема, которая извлекает огибающую из сигнала.

При цифровой обработке сигналов огибающая может быть оценена с использованием преобразования Гильберта или движущейся среднеквадратичной амплитуды . ^[12]

Смотрите также

• Аналитический сигнал § Комплексная огибающая/модулирующая полоса
• Разложение по эмпирическому моду
• Конверт (математика)
• Отслеживание конвертов
• Мгновенная фаза
• Модуляция
• Математика колебаний
• Пиковая мощность огибающей
• Спектральная оболочка

Рекомендации

1. К. Ричард Джонсон-младший; Уильям А. Сетарес; Эндрю Г. Кляйн (2011). «Рисунок C.1: Огибающая функции плавно очерчивает ее экстремумы». Программное обеспечение приемника: создайте собственную систему цифровой связи за пять простых шагов . Издательство Кембриджского университета. п. 417. ИСБН 978-0521189446.
2. Блэр Кинсман (2002). Ветровые волны: их генерация и распространение по поверхности океана (переиздание Prentice-Hall, 1965, изд.). Публикации Courier Dover . п. 186. ИСБН 0486495116.
3. Марк В. Денни (1993). Воздух и вода: биология и физика среды жизни . Издательство Принстонского университета . стр. 289. ISBN. 0691025185.
4. Пол Аллен Типлер; Джин Моска (2008). Физика для ученых и инженеров, Том 1 (6-е изд.). Макмиллан. п. 538. ИСБН 978-1429201247.
5. Питер В. Милонни ; Джозеф Х. Эберли (2010). «§8.3 Групповая скорость». Лазерная физика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья . п. 336. ИСБН 978-0470387719.
6. Питер Ю. Ю; Мануэль Кардона (2010). «Рис. 3.2: Кривые дисперсии фононов в GaAs вдоль осей высокой симметрии». Основы полупроводников: физика и свойства материалов (4-е изд.). Спрингер. п. 111. ИСБН 978-3642007095.
7. В. Червени; Властислав Червены (2005). «§2.2.9 Связь между векторами фазовой и групповой скорости». Теория сейсмических лучей . Издательство Кембриджского университета . п. 35. ISBN 0521018226.
8. G Ублюдок; Дж. А. Брум; Р. Феррейра (1991). «Рисунок 10 в электронных состояниях в полупроводниковых гетероструктурах». У Генри Эренрайха; Дэвид Тернбулл (ред.). Физика твердого тела: полупроводниковые гетероструктуры и наноструктуры . п. 259. ИСБН 0126077444.
9. Кристиан Шуллер (2006). «§2.4.1 Аппроксимация огибающей функции (EFA)». Неупругое светорассеяние полупроводниковых наноструктур: основы и последние достижения . Спрингер. п. 22. ISBN 3540365257.
10. Например, см. Марко Фанчулли (2009). «§1.1 Приближение огибающей функции». Электронный спиновый резонанс и связанные с ним явления в низкоразмерных структурах . Спрингер. стр. 224 и далее . ISBN 978-3540793649.
11. Кордт Грипенкерл (2002). «Распределение интенсивности дифракции на щели и картина интенсивности дифракции на решетке». У Джона В. Харриса; Уолтер Бененсон; Хорст Штекер; Хольгер Лутц (ред.). Справочник по физике . Спрингер. стр. 306 и далее . ISBN 0387952691.
12. «Извлечение конверта — MATLAB и Simulink» . Матворкс . 2021-09-02 . Проверено 16 ноября 2021 г.

Эта статья включает в себя материал из статьи Citizendium «Функция конверта», которая лицензируется по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported, но не по GFDL .