В геометрии плоскость — это аффинное подпространство , то есть подмножество аффинного пространства , которое само является аффинным пространством. [1] В частности, в случае, если родительское пространство — евклидово , плоскость — это евклидово подпространство , которое наследует понятие расстояния от своего родительского пространства.
В n -мерном пространстве имеется k -мерных плоскостей каждой размерности k от 0 до n ; плоскости на одну размерность ниже родительского пространства, ( n − 1) -мерные плоскости, называются гиперплоскостями .
Плоскости на плоскости (двумерное пространство) — это точки , прямые и сама плоскость; плоскости в трехмерном пространстве — это точки, прямые, плоскости и само пространство. Определение плоскости исключает непрямолинейные кривые и неплоские поверхности , которые являются подпространствами, имеющими различные понятия расстояния: длина дуги и геодезическая длина соответственно.
Квадратики встречаются в линейной алгебре как геометрические реализации множеств решений систем линейных уравнений .
Квартира — это многообразие и алгебраическое многообразие , иногда ее называют линейным многообразием или линейным многообразием, чтобы отличать ее от других многообразий или многообразий.
Плоский объект может быть описан системой линейных уравнений . Например, линия в двумерном пространстве может быть описана одним линейным уравнением, включающим x и y :
В трехмерном пространстве одно линейное уравнение, включающее x , y и z , определяет плоскость, в то время как пара линейных уравнений может быть использована для описания линии. В общем случае линейное уравнение с n переменными описывает гиперплоскость, а система линейных уравнений описывает пересечение этих гиперплоскостей. Предполагая, что уравнения непротиворечивы и линейно независимы , система из k уравнений описывает плоскость размерности n − k .
Плоскую поверхность можно описать также системой линейных параметрических уравнений . Линию можно описать уравнениями, включающими один параметр :
в то время как для описания самолета потребуются два параметра:
В общем случае параметризация плоскости размерности k потребует k параметров, например t 1 , …, t k .
Пересечение плоскостей — это либо плоскость, либо пустое множество .
Если каждая линия из одной плоскости параллельна некоторой линии из другой плоскости, то эти две плоскости параллельны . Две параллельные плоскости одинаковой размерности либо совпадают, либо не пересекаются; их можно описать двумя системами линейных уравнений, отличающимися только правыми частями.
Если плоскости не пересекаются, и ни одна линия из первой плоскости не параллельна линии из второй плоскости, то это косые плоскости . Это возможно только в том случае, если сумма их измерений меньше размерности окружающего пространства.
Для двух плоскостей размерностей k 1 и k 2 существует минимальная содержащая их плоскость размерности не более k 1 + k 2 + 1. Если две плоскости пересекаются, то размерность содержащей их плоскости равна k 1 + k 2 минус размерность пересечения.
Эти две операции (называемые meet и join ) делают множество всех плоскостей в евклидовом n -пространстве решеткой и могут строить систематические координаты для плоскостей в любом измерении, что приводит к грассмановым координатам или дуальным грассмановым координатам. Например, линия в трехмерном пространстве определяется двумя различными точками или двумя различными плоскостями.
Однако решетка всех плоскостей не является дистрибутивной решеткой . Если две прямые ℓ 1 и ℓ 2 пересекаются, то ℓ 1 ∩ ℓ 2 является точкой. Если p является точкой, не лежащей в одной плоскости, то (ℓ 1 ∩ ℓ 2 ) + p = (ℓ 1 + p ) ∩ (ℓ 2 + p ) , обе представляют собой прямую. Но когда ℓ 1 и ℓ 2 параллельны, эта дистрибутивность нарушается, давая p с левой стороны и третью параллельную прямую с правой стороны.
Вышеупомянутые факты не зависят от структуры евклидова пространства (а именно, от евклидова расстояния ) и справедливы в любом аффинном пространстве . В евклидовом пространстве:
Некоторые авторы
также называют аффинное подпространство
плоским .
