Диск Эйлера

Научная развивающая игрушка

Компьютерная визуализация диска Эйлера на слегка вогнутом основании.

Диск Эйлера , изобретенный между 1987 и 1990 годами Джозефом Бендиком ^[1] , является торговой маркой научной обучающей игрушки . ^[2] Он используется для иллюстрации и изучения динамической системы вращающегося и катящегося диска по плоской или изогнутой поверхности. Этому было посвящено несколько научных работ. ^[3]

Открытие

Джозеф Бендик впервые заметил интересное движение вращающегося диска во время работы в Hughes Aircraft (Карловарский исследовательский центр) после того, как однажды за обедом крутил на своем столе тяжелый полировальный патрон.

Аппарат представляет собой впечатляющую визуализацию обмена энергией в трех различных, тесно связанных процессах. По мере постепенного уменьшения азимутального вращения диска также происходит уменьшение амплитуды и увеличение частоты осевой прецессии диска . ^[4]

Эволюцию осевой прецессии диска легко визуализировать в замедленном видео, если посмотреть на боковую часть диска по единственной точке, отмеченной на диске. Эволюцию вращения диска легко визуализировать в замедленном режиме, глядя на верхнюю часть диска по стрелке, нарисованной на диске, обозначающей его радиус.

Когда диск высвобождает начальную энергию, заданную пользователем, и приближается к остановке, его вращение вокруг вертикальной оси замедляется, а колебание точки контакта увеличивается. Освещенный сверху, точка контакта и ближайший нижний край находятся в тени, диск, кажется , парит в воздухе, прежде чем остановиться.

Бендик назвал игрушку в честь математика Леонарда Эйлера .

Коммерческая игрушка состоит из тяжелого толстого хромированного стального диска и жесткого, слегка вогнутого , зеркального основания. Входящие в комплект голографические магнитные наклейки можно прикрепить к диску, чтобы усилить визуальный эффект покачивания. Однако эти привязанности могут затруднить наблюдение и понимание происходящих процессов.

При вращении на плоской поверхности диск совершает вращательное/катящееся движение, медленно совершая различные скорости и типы движения, прежде чем остановиться. В частности, скорость прецессии оси симметрии диска увеличивается по мере его вращения. Основание зеркала обеспечивает поверхность с низким коэффициентом трения; его небольшая вогнутость не дает диску «сходить» с поверхности.

Любой диск, вращаемый на достаточно плоской поверхности (например, монета , вращающаяся на столе), будет демонстрировать по существу тот же тип движения, что и диск Эйлера, но в течение гораздо более короткого времени. Коммерческие диски обеспечивают более эффективную демонстрацию этого явления, поскольку имеют оптимизированное соотношение сторон и точно отполированную, слегка закругленную кромку, позволяющую максимально увеличить время вращения/катки.

Физика

Вращающийся/катящийся диск в конечном итоге резко останавливается, причем финальная стадия движения сопровождается жужжащим звуком быстро возрастающей частоты. Когда диск катится, точка контакта качения описывает окружность, которая колеблется с постоянной угловой скоростью . Если движение недиссипативное (без трения), оно постоянно и движение сохраняется навсегда; это противоречит наблюдениям, поскольку не является постоянным в реальных жизненных ситуациях. Фактически скорость прецессии оси симметрии приближается к сингулярности конечного времени, моделируемой степенным законом с показателем степени примерно -1/3 (в зависимости от конкретных условий). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Есть два заметных диссипативных эффекта: трение качения , когда диск скользит по поверхности, и сопротивление воздуха из-за сопротивления воздуха. Эксперименты показывают, что за диссипацию и поведение в основном отвечает трение качения ^[5] — эксперименты в вакууме показывают, что отсутствие воздуха влияет на поведение лишь незначительно, в то время как поведение (скорость прецессии) систематически зависит от коэффициента трения . В пределе малого угла (т.е. непосредственно перед тем, как диск перестанет вращаться), сопротивление воздуха (в частности, вязкая диссипация ) является доминирующим фактором, но до этой конечной стадии преобладающим эффектом является трение качения.

Устойчивое движение с покоящимся центром диска.

Поведение вращающегося диска, центр которого покоится, можно описать следующим образом. ^[6] Пусть линия, проходящая от центра диска до точки контакта с плоскостью, называется осью . Поскольку центр диска и точка контакта мгновенно покоятся (при условии отсутствия скольжения), ось является мгновенной осью вращения. Угловой момент равен любому тонкому кругово-симметричному диску с массой ; для диска с массой, сосредоточенной на ободе, для однородного диска (например, диска Эйлера) – радиус диска, – угловая скорость вдоль . ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {3} }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {3} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} =kMa^{2}\omega {\widehat {\mathbf {3} }}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k=1/2}$ ${\displaystyle k=1/4}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {3} }}}$

Контактная сила – это ускорение свободного падения, а вертикальная ось направлена ​​вверх. Крутящий момент относительно центра масс можно переписать как где . Можно заключить, что и угловой момент , и диск прецессируют вокруг вертикальной оси со скоростью ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle Mg{\widehat {\mathbf {z} }}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} =a{\widehat {\mathbf {3} }}\times Mg{\widehat {\mathbf {z} }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}}$ ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {L} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=-{\frac {g}{ak\omega }}{\widehat {\mathbf {z} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}$

Одновременно это угловая скорость точки контакта с плоскостью. Определим ось, лежащую вдоль оси симметрии диска и направленную вниз. Тогда справедливо , где – угол наклона диска относительно горизонтальной плоскости. Угловую скорость можно рассматривать как состоящую из двух частей , где – угловая скорость диска вдоль его оси симметрии. Из геометрии легко сделать вывод, что: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {1} }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}=-\cos \alpha {\widehat {\mathbf {1} }}-\sin \alpha {\widehat {\mathbf {3} }}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega {\widehat {\mathbf {3} }}=\Omega {\widehat {\mathbf {z} }}+\omega _{\text{rel}}{\widehat {\mathbf {1} }}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{rel}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega &=-\Omega \sin \alpha ,\\\omega _{\text{rel}}&=\Omega \cos \alpha \\\end{aligned}}}$$

Подключая уравнение ( 1 ), мы наконец получаем ${\displaystyle \omega =-\Omega \sin \alpha }$

Когда адиабатически приближается к нулю, угловая скорость точки контакта становится очень большой, и можно услышать высокочастотный звук, связанный с вращающимся диском. Однако вращение фигуры на лицевой стороне монеты, угловая скорость которой приближается к нулю. Полная угловая скорость также обращается в нуль, как и полная энергия ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega -\omega _{\text{rel}}=\Omega (1-\cos \alpha ),}$ ${\displaystyle \omega =-{\sqrt {\frac {g\sin \alpha }{ak}}}}$

$${\displaystyle E=Mga\sin \alpha +{\tfrac {1}{2}}kMa^{2}\omega ^{2}=Mga\sin \alpha +{\tfrac {1}{2}}Mka^{2}{\frac {g\sin \alpha }{ak}}={\tfrac {3}{2}}Mga\sin \alpha }$$

по мере приближения к нулю. Здесь мы использовали уравнение ( 2 ). ${\displaystyle \alpha }$

При приближении к нулю диск окончательно теряет контакт со столом и быстро оседает на горизонтальную поверхность. Слышен звук на частоте , которая резко возрастает по мере замедления скорости вращения фигуры, пока звук резко не прекращается. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\frac {\Omega }{2\pi }}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {g}{ak}}}{\sqrt {\frac {1}{\sin \alpha }}}}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {\frac {g}{ak}}}{\frac {(\sin {\frac {\alpha }{2}})^{2}}{\sqrt {\sin \alpha }}}}$

Иллюзия левитации

Когда диск с круговой симметрией устанавливается, расстояние между неподвижной точкой на опорной поверхности и движущимся диском над ним колеблется с возрастающей частотой, синхронно с углом отклонения оси вращения от вертикали.

Иллюзия левитации возникает, когда край диска отражает свет, когда слегка наклонен вверх над опорной поверхностью, и находится в тени, когда слегка наклонен вниз при контакте. Тень не воспринимается, а быстро мигающие отражения от края над опорной поверхностью воспринимаются как устойчивая высота. См. постоянство видения .

Иллюзию левитации можно усилить, оптимизировав изгиб нижнего края, чтобы линия тени оставалась высокой, пока диск стабилизируется. Зеркало может еще больше усилить эффект, скрывая опорную поверхность и показывая разделение между движущейся поверхностью диска и зеркальным изображением.

Несовершенства диска, видимые в тени, которые могут помешать иллюзии, могут быть скрыты за рисунком кожи, который размывается при движении.

Пример квартала США

Чистый американский четвертак (чеканка 1970-2022 гг.), вращающийся на плоском ручном зеркале, если смотреть сбоку от поверхности зеркала, демонстрирует это явление в течение нескольких секунд.

Освещенные точечным источником непосредственно над центром будущего квартала, боковые гребни освещаются, когда ось вращения находится вдали от наблюдателя, и находятся в тени, когда ось вращения направлена ​​к зрителю. Вибрация размывает гребни, а орел или решка слишком укорочены, чтобы показать вращение.

История исследований

Моффатт

В начале 2000-х годов толчком к исследованию послужила статья в журнале Nature ^{от 20 апреля 2000 года [7]} , в которой Кейт Моффат показал, что вязкой диссипации в тонком слое воздуха между диском и столом будет достаточно, чтобы объяснить наблюдалась резкость процесса заселения. Он также показал, что движение завершается сингулярностью конечного времени . Его первая теоретическая гипотеза была опровергнута последующими исследованиями, которые показали, что трение качения на самом деле является доминирующим фактором.

Моффат показал, что по мере того, как время приближается к определенному моменту (которое математически является константой интегрирования ), вязкая диссипация приближается к бесконечности . Вытекающая из этого сингулярность на практике не реализуется, поскольку величина вертикального ускорения не может превышать ускорение силы тяжести (диск теряет контакт с опорной поверхностью). Далее Моффат показывает, что теория терпит неудачу в момент, предшествующий окончательному времени стабилизации , определяемому формулой: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle \tau \simeq \left[\left({\frac {2a}{9g}}\right)^{3}{\frac {2\pi \mu a}{M}}\right]^{1/5}}$

где – радиус диска, – ускорение силы тяжести Земли, динамическая вязкость воздуха и масса диска. Для коммерчески доступной игрушки «Диск Эйлера» (см. ссылку в разделе «Внешние ссылки» ниже) это около секунд, в это время угол между монетой и поверхностью составляет примерно 0,005 радиан, а угловая скорость вращения составляет около 500 Гц. . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle 10^{-2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Omega }$

Используя приведенные выше обозначения, общее время вращения/катки составит:

${\displaystyle t_{0}={\frac {\alpha _{0}^{3}M}{2\pi \mu a}}}$

где – начальный наклон диска, измеряемый в радианах . Моффатт также показал, что, если , особенность конечного времени в определяется выражением ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle t_{0}-t>\tau }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega \sim (t_{0}-t)^{-1/6}}$

Результаты эксперимента

Теоретическая работа Моффатта вдохновила нескольких других исследователей на экспериментальное исследование диссипативного механизма вращающегося/катящегося диска, получив результаты, которые частично противоречили его объяснению. В этих экспериментах использовались вращающиеся объекты и поверхности различной геометрии (диски и кольца) с различными коэффициентами трения как в воздухе, так и в вакууме, а также использовались такие инструменты, как высокоскоростная фотография, для количественной оценки этого явления.

В номере журнала Nature от 30 ноября 2000 года физики Ван ден Энг, Нельсон и Роуч обсуждают эксперименты, в которых диски вращались в вакууме. ^[8] Ван ден Энг использовал рейксдалдер , голландскую монету, магнитные свойства которой позволяли вращать ее с точно определенной скоростью. Они обнаружили, что проскальзывание между диском и поверхностью могло объяснить наблюдения, а наличие или отсутствие воздуха лишь незначительно влияло на поведение диска. Они отметили, что теоретический анализ Моффата предсказывает очень большое время вращения диска в вакууме, чего не наблюдалось.

Моффат ответил обобщенной теорией, которая должна позволить экспериментально определить, какой механизм диссипации является доминирующим, и указал, что доминирующим механизмом диссипации всегда будет вязкая диссипация в пределе малых величин (т. е. непосредственно перед стабилизацией диска). ^[9] ${\displaystyle \alpha }$

Более поздняя работа Петри, Ханта и Грея в Университете Гвельфа ^[10] показала, что проведение экспериментов в вакууме (давление 0,1 паскаля ) не оказывает существенного влияния на скорость диссипации энергии. Петри и др. также показали, что на скорости практически не повлияла замена диска на кольцевую форму и что условие прилипания соблюдалось для углов более 10 °. Другая работа Кэпса, Дорболо, Понте, Круазье и Вандевалле ^[11] пришла к выводу, что воздух является второстепенным источником рассеяния энергии. Основным процессом рассеивания энергии является качение и скольжение диска по опорной поверхности. Экспериментально показано, что угол наклона, скорость прецессии и угловая скорость подчиняются степенному закону.

Несколько раз во время забастовки Гильдии писателей Америки в 2007–2008 годах ведущий ток-шоу Конан О'Брайен крутил обручальное кольцо на своем столе, пытаясь вращать его как можно дольше. Стремление добиться все большего и большего времени вращения привело к тому, что он пригласил на шоу профессора Массачусетского технологического института Питера Фишера, чтобы поэкспериментировать с этой проблемой. Вращение кольца в вакууме не дало заметного эффекта, в то время как вращающаяся опорная поверхность из тефлона показала рекордное время - 51 секунду, что подтверждает утверждение о том, что трение качения является основным механизмом рассеивания кинетической энергии. ^{[ нужна ссылка ]} Различные виды трения качения как основной механизм диссипации энергии были изучены Лейне ^[12] , который экспериментально подтвердил, что фрикционное сопротивление движению точки контакта по ободу диска, скорее всего, является основным механизмом диссипации. в масштабе времени в секундах.

В популярной культуре

Диски Эйлера появляются в фильме 2006 года « Снежный пирог» и в телешоу «Теория большого взрыва» , 10 сезон, 16 серия, вышедшем в эфир 16 февраля 2017 года.

Звуковая группа фильма 2001 года « Перл-Харбор» использовала вращающийся диск Эйлера в качестве звукового эффекта для торпед. Короткий клип звуковой команды, играющей с Диском Эйлера, был показан во время презентации церемонии вручения премии Оскар. ^[13]

Принципы диска Эйлера были использованы со специально изготовленными кольцами на столе в качестве футуристического носителя записи в фильме 1960 года « Машина времени» .

Смотрите также

• Список тем, названных в честь Леонарда Эйлера
• Типпе-топ — еще одна вращающаяся физическая игрушка, которая демонстрирует удивительное поведение.

Рекомендации

1. Фред Гутер (1 декабря 1996 г.). «Игрушки науки». Обнаружить . Проверено 23 ноября 2018 г. Играя с диском, Бендик подумал: «Может быть, из него получится хорошая игрушка».
2. «Товарные знаки> Система электронного поиска товарных знаков (TESS)> Диск Эйлера» . Ведомство США по патентам и товарным знакам. 21 сентября 2010 года . Проверено 23 ноября 2018 г. Индикатор живого/мертвого состояния: LIVE
3. «Публикации». eulersdisk.com.
4. Хибиске, Кевин. «Публикации на диске Эйлера». eulersdisk.com . Проверено 15 мая 2023 г.
5. Иасвар, К.; Руйер, Ф.; Менон, Н. (2002). «Ускорение до остановки: особенность вращающегося диска за конечное время». Физический обзор E . 66 (4): 045102. Бибкод : 2002PhRvE..66d5102E. doi : 10.1103/PhysRevE.66.045102. ПМИД  12443243.
6. Макдональд, Александр Дж.; Макдональд, Кирк Т. (2000). «Вращающееся движение диска по горизонтальной плоскости». arXiv : физика/0008227 .
7. Моффатт, Гонконг (20 апреля 2000 г.). «Диск Эйлера и его особенность в конечном времени». Природа . 404 (6780): 833–834. Бибкод : 2000Natur.404..833M. дои : 10.1038/35009017. PMID  10786779. S2CID  197644581.
8. Ван ден Энг, Гер; Нельсон, Питер; Роуч, Джаред (30 ноября 2000 г.). «Аналитическая динамика: нумизматические вращения». Природа . 408 (6812): 540. Бибкод : 2000Natur.408..540В. дои : 10.1038/35046209 . PMID  11117733. S2CID  4407382.
9. Моффатт, Гонконг (30 ноября 2000 г.). «Ответ: Нумизматические вращения». Природа . 408 (6812): 540. Бибкод : 2000Natur.408..540M. дои : 10.1038/35046211 . S2CID  205011563.
10. Петри, Д.; Хант, Дж.Л.; Грей, CG (2002). «Проскальзывает ли диск Эйлера во время движения?». Американский журнал физики . 70 (10): 1025–1028. Бибкод : 2002AmJPh..70.1025P. дои : 10.1119/1.1501117. S2CID  28497371.
11. Кэпс, Х.; Дорболо, С.; Понте, С.; Круазье, Х; Вандевалле, Н. (май 2004 г.). «Вращение и скольжение диска Эйлера» (PDF) . Физ. Преподобный Е. 69 (5): 056610. arXiv : cond-mat/0401278 . Бибкод : 2004PhRvE..69e6610C. doi : 10.1103/PhysRevE.69.056610. hdl : 2268/18081. PMID  15244966. S2CID  118949289.
12. Лейне, Род-Айленд (2009). «Экспериментальное и теоретическое исследование диссипации энергии катящегося диска на конечной стадии движения» (PDF) . Архив прикладной механики . 79 (11): 1063–1082. Бибкод : 2009AAM....79.1063L. дои : 10.1007/s00419-008-0278-6. hdl : 20.500.11850/12334 . S2CID  48358816.
13. «Падение Черного ястреба» и «Перл-Харбор» получили звуковые и звуковые эффекты. Монтаж: «Оскар» 2002 г. , получено 9 января 2022 г.

Внешние ссылки

• Eulersdisk.com
• Физика вращающейся монеты (20 апреля 2000 г.) PhysicsWeb
• Экспериментальное и теоретическое исследование диссипации энергии катящегося диска на конечной стадии движения (12 декабря 2008 г.) Arch Appl Mech
• Комментарий к диску Моффата (31 марта 2002 г.)
• «Диск Эйлера». Реальные задачи по физике . реальный мир-физика-проблемы.com . Проверено 11 июля 2014 г.Подробный математическо-физический анализ движения диска.
• Видео на YouTube, показывающее диск Эйлера в действии.