Однородная функция

Функция с мультипликативным масштабированием

В математике однородная функция — это функция нескольких переменных, такая, что выполняется следующее: Если каждый из аргументов функции умножается на один и тот же скаляр , то значение функции умножается на некоторую степень этого скаляра; степень называется степенью однородности или просто степенью . То есть, если k — целое число, функция f от n переменных является однородной степени k, если

${\displaystyle f(sx_{1},\ldots ,sx_{n})=s^{k}f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

для каждого и ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ ${\displaystyle s\neq 0.}$

Например, однородный многочлен степени k определяет однородную функцию степени k .

Приведенное выше определение распространяется на функции, область определения и область кодоменов которых являются векторными пространствами над полем F : функция между двумя векторными пространствами F является однородной степени , если ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle k}$

для всех ненулевых и Это определение часто далее обобщается на функции, областью определения которых является не V , а конус в V , то есть подмножество C из V такое, что для любого ненулевого скаляра s . ${\displaystyle s\in F}$ ${\displaystyle v\in V.}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in C}$ ${\displaystyle s\mathbf {v} \in C}$

В случае функций нескольких действительных переменных и действительных векторных пространств часто рассматривается несколько более общая форма однородности, называемая положительной однородностью , требующая только, чтобы указанные выше тождества выполнялись для и допускающая любое действительное число k в качестве степени однородности. Каждая однородная действительная функция является положительно однородной . Обратное неверно, но локально верно в том смысле, что (для целых степеней) два вида однородности нельзя различить, рассматривая поведение функции вблизи заданной точки. ${\displaystyle s>0,}$

Норма над действительным векторным пространством является примером положительно однородной функции, которая не является однородной. Частным случаем является абсолютное значение действительных чисел. Частное двух однородных многочленов одинаковой степени дает пример однородной функции нулевой степени. Этот пример является основополагающим в определении проективных схем .

Определения

Понятие однородной функции первоначально было введено для функций нескольких действительных переменных . С определением векторных пространств в конце 19 века это понятие естественным образом распространилось на функции между векторными пространствами, поскольку кортеж значений переменных можно рассматривать как координатный вектор . Именно эта более общая точка зрения описывается в данной статье.

Существует два обычно используемых определения. Общее определение работает для векторных пространств над произвольными полями и ограничено степенями однородности, которые являются целыми числами .

Второе предполагает работу над полем действительных чисел или, в более общем смысле, над упорядоченным полем . Это определение ограничивает положительными значениями масштабный коэффициент, который встречается в определении, и поэтому называется положительной однородностью , причем квалификатор positive часто опускается, когда нет риска путаницы. Положительная однородность приводит к рассмотрению большего количества функций как однородных. Например, абсолютное значение и все нормы являются положительно однородными функциями, которые не являются однородными.

Ограничение масштабного множителя действительными положительными значениями позволяет также рассматривать однородные функции, степень однородности которых равна любому действительному числу.

Общая однородность

Пусть V и W — два векторных пространства над полем F. Линейный конус в V — это подмножество C из V, такое что для всех и всех ненулевых ${\displaystyle sx\in C}$ ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle s\in F.}$

Однородная функция f из V в W является частичной функцией из V в W , которая имеет линейный конус C в качестве своей области определения и удовлетворяет условию

${\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}$

для некоторого целого числа k , любого и каждого ненулевого числа. Целое число k называется степенью однородности или просто степенью f . ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle s\in F.}$

Типичным примером однородной функции степени k является функция, определяемая однородным многочленом степени k . Рациональная функция, определяемая частным двух однородных многочленов, является однородной функцией; ее степень равна разности степеней числителя и знаменателя; ее конус определения — линейный конус точек, в которых значение знаменателя не равно нулю.

Однородные функции играют фундаментальную роль в проективной геометрии , поскольку любая однородная функция f из V в W определяет вполне определенную функцию между проективизациями V и W. Однородные рациональные функции нулевой степени (те, которые определяются частным двух однородных многочленов одинаковой степени) играют существенную роль в построении Proj проективных схем .

Положительная однородность

При работе с действительными числами или, в более общем смысле, с упорядоченным полем обычно удобно рассматривать положительную однородность , определение которой в точности такое же, как в предыдущем разделе, с заменой «ненулевого s » на « s > 0 » в определениях линейного конуса и однородной функции.

Это изменение позволяет рассматривать (положительно) однородные функции с любым действительным числом в качестве их степени, поскольку возведение в степень с положительным действительным основанием хорошо определено.

Даже в случае целых степеней существует много полезных функций, которые являются положительно однородными, не будучи однородными. Это, в частности, случай функции абсолютного значения и норм , которые все являются положительно однородными степени 1. Они не являются однородными, поскольку если Это остается верным и в комплексном случае, поскольку поле комплексных чисел и каждое комплексное векторное пространство можно рассматривать как действительные векторные пространства. ${\displaystyle |-x|=|x|\neq -|x|}$ ${\displaystyle x\neq 0.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Теорема Эйлера об однородных функциях представляет собой характеристику положительно однородных дифференцируемых функций , которую можно рассматривать как основную теорему об однородных функциях .

Примеры

Однородная функция не обязательно непрерывна , как показано в этом примере. Это функция, определяемая как если и если Эта функция однородна степени 1, то есть для любых действительных чисел Она разрывна при ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x,y)=x}$ ${\displaystyle xy>0}$ ${\displaystyle f(x,y)=0}$ ${\displaystyle xy\leq 0.}$ ${\displaystyle f(sx,sy)=sf(x,y)}$ ${\displaystyle s,x,y.}$ ${\displaystyle y=0,x\neq 0.}$

Простой пример

Функция однородна степени 2: ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ $${\displaystyle f(tx,ty)=(tx)^{2}+(ty)^{2}=t^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=t^{2}f(x,y).}$$

Абсолютная ценность и нормы

Абсолютное значение действительного числа является положительно однородной функцией степени 1 , которая не является однородной, так как если и если ${\displaystyle |sx|=s|x|}$ ${\displaystyle s>0,}$ ${\displaystyle |sx|=-s|x|}$ ${\displaystyle s<0.}$

Абсолютное значение комплексного числа является положительно однородной функцией степени по действительным числам (то есть, если рассматривать комплексные числа как векторное пространство по действительным числам). Оно не является однородным как по действительным числам, так и по комплексным числам. ${\displaystyle 1}$

В более общем смысле, каждая норма и полунорма является положительно однородной функцией степени 1 , которая не является однородной функцией. Что касается абсолютного значения, если норма или полунорма определены на векторном пространстве над комплексными числами, то это векторное пространство следует рассматривать как векторное пространство над действительным числом для применения определения положительно однородной функции.

Линейные функции

Любое линейное отображение между векторными пространствами над полем F однородно степени 1 по определению линейности: для всех и ${\displaystyle f:V\to W}$ $${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}$$ ${\displaystyle \alpha \in {F}}$ ${\displaystyle v\in V.}$

Аналогично, любая полилинейная функция является однородной степени по определению полилинейности: для всех и ${\displaystyle f:V_{1}\times V_{2}\times \cdots V_{n}\to W}$ ${\displaystyle n,}$ $${\displaystyle f\left(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n}\right)=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$$ ${\displaystyle \alpha \in {F}}$ ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},\ldots ,v_{n}\in V_{n}.}$

Однородные многочлены

Мономы от переменных определяют однородные функции. Например, является однородным степени 10, так как Степень представляет собой сумму показателей степеней переменных; в этом примере ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} .}$ $${\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,}$$ $${\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z).\,}$$ ${\displaystyle 10=5+2+3.}$

Однородный многочлен — это многочлен, составленный из суммы одночленов одинаковой степени. Например, — однородный многочлен степени 5. Однородные многочлены также определяют однородные функции. $${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$$

Для данного однородного многочлена степени с действительными коэффициентами, принимающего только положительные значения, можно получить положительно однородную функцию степени , возведя ее в степень. Так, например, следующая функция является положительно однородной степени 1, но не однородной: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k/d}$ ${\displaystyle 1/d.}$ $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}$$

Мин/макс

Для каждого набора весов следующие функции являются положительно однородными степени 1, но не однородными: ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n},}$

• ${\displaystyle \min \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}$( Леонтьевские коммунальные услуги )
• ${\displaystyle \max \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}$

Рациональные функции

Рациональные функции, образованные как отношение двух однородных многочленов, являются однородными функциями в своей области определения , то есть вне линейного конуса , образованного нулями знаменателя. Таким образом, если является однородной степени и является однородной степени , то является однородной степени вдали от нулей ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle m-n}$ ${\displaystyle g.}$

Не примеры

Однородные действительные функции одной переменной имеют вид для некоторой константы c . Так, аффинная функция, натуральный логарифм и показательная функция не являются однородными. ${\displaystyle x\mapsto cx^{k}}$ ${\displaystyle x\mapsto x+5,}$ ${\displaystyle x\mapsto \ln(x),}$ ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$

Теорема Эйлера

Грубо говоря, теорема Эйлера об однородной функции утверждает, что положительно однородные функции заданной степени являются в точности решением определенного частного дифференциального уравнения . Точнее:

Теорема Эйлера об однородной функции  —  Если f — (частичная) функция n действительных переменных, которая положительно однородна степени k и непрерывно дифференцируема в некотором открытом подмножестве , то она удовлетворяет в этом открытом множестве уравнению в частных производных ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ $${\displaystyle k\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$$

Наоборот, каждое максимальное непрерывно дифференцируемое решение этого частного дифференцируемого уравнения является положительно однородной функцией степени k , определенной на положительном конусе (здесь « максимальное» означает, что решение не может быть продолжено до функции с большей областью определения).

Доказательство

Для получения более простых формул мы устанавливаем Результаты первой части, используя цепное правило для дифференцирования обеих частей уравнения по и взятия предела результата, когда s стремится к 1 . ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$ ${\displaystyle f(s\mathbf {x} )=s^{k}f(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle s,}$

Обратное доказывается интегрированием простого дифференциального уравнения . Пусть находится внутри области определения f . Для s достаточно близкого к 1 , функция хорошо определена. Из частного дифференциального уравнения следует, что Решения этого линейного дифференциального уравнения имеют вид Поэтому, если s достаточно близко к 1 . Если бы это решение частного дифференциального уравнения не было бы определено для всех положительных s , то функциональное уравнение позволило бы продолжить решение, а из частного дифференциального уравнения следует, что это продолжение единственно. Таким образом, область определения максимального решения частного дифференциального уравнения представляет собой линейный конус, а решение является положительно однородным степени k . ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\textstyle g(s)=f(s\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle sg'(s)=kf(s\mathbf {x} )=kg(s).}$$ ${\displaystyle g(s)=g(1)s^{k}.}$ $${\displaystyle f(s\mathbf {x} )=g(s)=s^{k}g(1)=s^{k}f(\mathbf {x} ),}$$ ${\displaystyle \square }$

Как следствие, если непрерывно дифференцируемо и однородно степени , то его частные производные первого порядка однородны степени Это следует из теоремы Эйлера путем дифференцирования уравнения в частных производных по одной переменной. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$ ${\displaystyle k-1.}$

В случае функции одной действительной переменной ( ) теорема подразумевает, что непрерывно дифференцируемая и положительно однородная функция степени k имеет вид для и для Константы и не обязательно совпадают, как это имеет место для абсолютного значения . ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle f(x)=c_{+}x^{k}}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle f(x)=c_{-}x^{k}}$ ${\displaystyle x<0.}$ ${\displaystyle c_{+}}$ ${\displaystyle c_{-}}$

Применение к дифференциальным уравнениям

Подстановка преобразует обыкновенное дифференциальное уравнение , где и — однородные функции одинаковой степени, в разделяющееся дифференциальное уравнение ${\displaystyle v=y/x}$ $${\displaystyle I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,}$$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v.}$$

Обобщения

Однородность под действием моноида

Определения, данные выше, являются частными случаями следующего более общего понятия однородности, в котором может быть любое множество (а не векторное пространство), а действительные числа могут быть заменены более общим понятием моноида . ${\displaystyle X}$

Пусть будет моноидом с единичным элементом, пусть и будут множествами, и предположим, что на обоих и определены моноидные действия Пусть будет неотрицательным целым числом, а пусть будет отображением. Тогда называется однородным степени по , если для каждого и Если, кроме того, есть функция, обозначенная как называемая абсолютным значением , то называется абсолютно однородным степени по , если для каждого и ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 1\in M,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle m\in M,}$ $${\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x).}$$ ${\displaystyle M\to M,}$ ${\displaystyle m\mapsto |m|,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle m\in M,}$ $${\displaystyle f(mx)=|m|^{k}f(x).}$$

Функция однородна по ${\displaystyle M}$ (соответственно, абсолютно однородна по ${\displaystyle M}$ ), если она однородна степени по (соответственно, абсолютно однородна степени по ). ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle M}$

В более общем случае возможно определение символов для с чем-то, отличным от целого числа (например, если — действительные числа и — ненулевое действительное число, то определяется, даже если — не целое число). Если это так, то будет называться однородным степени по, если выполняется то же равенство: ${\displaystyle m^{k}}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x)\quad {\text{ for every }}x\in X{\text{ and }}m\in M.}$$

Аналогично обобщается и понятие абсолютной однородности по степени . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$

Распределения (обобщенные функции)

Непрерывная функция на является однородной степени тогда и только тогда, когда для всех компактно поддерживаемых тестовых функций ; и ненулевой вещественной Эквивалентно, выполнение замены переменной является однородной степени тогда и только тогда, когда для всех и всех тестовых функций Последнее отображение позволяет определить однородность распределений . Распределение является однородным степени , если для всех ненулевых вещественных и всех тестовых функций Здесь угловые скобки обозначают сопряжение между распределениями и тестовыми функциями, а является отображением скалярного деления на вещественное число ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(tx)\varphi (x)\,dx=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle y=tx,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle t^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi \left({\frac {y}{t}}\right)\,dy=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi (y)\,dy}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi .}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle t^{-n}\langle S,\varphi \circ \mu _{t}\rangle =t^{k}\langle S,\varphi \rangle }$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi .}$ ${\displaystyle \mu _{t}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle t.}$

Глоссарий вариантов имени

Пусть будет отображением между двумя векторными пространствами над полем (обычно действительными числами или комплексными числами ). Если есть набор скаляров, таких как или например, то говорят, что есть ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle [0,\infty ),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$однородный по ${\displaystyle S}$ , если для каждогои скалярного Например, каждоеаддитивное отображениемежду векторными пространствами является ${\textstyle f(sx)=sf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in S.}$однороден по рациональным числам, хотя этоможет быть и не так ${\displaystyle S:=\mathbb {Q} }$однородный по действительным числам ${\displaystyle S:=\mathbb {R} .}$

Следующие часто встречающиеся особые случаи и вариации этого определения имеют свою собственную терминологию:

1. (Строгий )Положительная однородность :^[1] для всехи всехположительныхдействительных ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r>0.}$
   • Когда функция имеет значение в векторном пространстве или поле, то это свойство логически эквивалентно [ ^{доказательство 1]} ${\displaystyle f}$неотрицательная однородность , что по определению означает:^[2] для всехи всехнеотрицательныхдействительных чиселИменно по этой причине положительную однородность часто также называют неотрицательной однородностью. Однако для функций, оцениваемых врасширенных действительных числах, которые появляются в таких областях, каквыпуклый анализ, умножениебудет неопределенным всякий раз, и поэтому эти утверждения не обязательно всегда взаимозаменяемы.^{[примечание 1]} ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r\geq 0.}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},}$ ${\displaystyle 0\cdot f(x)}$ ${\displaystyle f(x)=\pm \infty }$
   • Это свойство используется в определении сублинейной функции . ^{[1] [2]}
   • Функционалы Минковского — это как раз те неотрицательные расширенные действительные функции, которые обладают этим свойством.
2. Реальная однородность :для всехи вся реальная ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r.}$
   • Это свойство используется в определении действительного линейного функционала .
3. Однородность :^[3] для всехи всех скаляров ${\displaystyle f(sx)=sf(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • Подчеркивается, что это определение зависит от скалярного поля, лежащего в основе домена ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X.}$
   • Это свойство используется при определении линейных функционалов и линейных отображений . ^[2]
4. Сопряженная однородность :^[4] для всехи всех скаляров ${\displaystyle f(sx)={\overline {s}}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • Если то обычно обозначает комплексное сопряжение . Но в более общем случае, как, например, в случае полулинейных отображений , может быть образом при некотором выдающемся автоморфизме ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\overline {s}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\overline {s}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$
   • Наряду с аддитивностью это свойство предполагается в определении антилинейного отображения . Также предполагается, что одна из двух координат полуторалинейной формы обладает этим свойством (например, скалярное произведение гильбертова пространства ).

Все вышеприведенные определения можно обобщить, заменив условие на , в этом случае определение будет иметь префикс « абсолютный » или « абсолютно ». Например, ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle f(rx)=|r|f(x),}$

5. Абсолютная однородность :^[2] для всехи всех скаляров ${\displaystyle f(sx)=|s|f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
   • Это свойство используется в определении полунормы и нормы .

Если — фиксированное действительное число, то приведенные выше определения можно дополнительно обобщить, заменив условие на (и аналогично, заменив на для условий, использующих абсолютное значение и т. д.), в этом случае однородность называется « степенной » (где, в частности, все приведенные выше определения являются « степенными » ). Например, ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}$ ${\displaystyle f(rx)=|r|f(x)}$ ${\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1}$

6. Реальная однородность степени ${\displaystyle k}$ :для всехи всех реальных ${\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r.}$
7. Однородность степени ${\displaystyle k}$ :для всехи всех скаляров ${\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$
8. Абсолютная действительная однородность степени ${\displaystyle k}$ :для всехи всех действительных ${\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r.}$
9. Абсолютная однородность степени ${\displaystyle k}$ :для всехи всех скаляров ${\displaystyle f(sx)=|s|^{k}f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {F} .}$

Ненулевая непрерывная функция , которая однородна степени на , непрерывно продолжается на тогда и только тогда, когда ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\backslash \lbrace 0\rbrace }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k>0.}$

Смотрите также

• Однородное пространство
• Функция центра треугольника  – точка в треугольнике, которая может рассматриваться как его середина при соблюдении некоторых критериев.Pages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. Однако, если такое удовлетворяет для всех и тогда обязательно и всякий раз, когда оба являются реальными, то будет выполняться для всех ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f(0)\in \{\pm \infty ,0\}}$ ${\displaystyle f(0),f(x)\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(rx)=rf(x)}$ ${\displaystyle r\geq 0.}$

Доказательства

1. Предположим, что строго положительно однородно и имеет значения в векторном пространстве или поле. Тогда вычитание из обеих сторон показывает, что Записывая тогда для любого , что показывает, что является неотрицательно однородным. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)=f(2\cdot 0)=2f(0)}$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle f(0)=0.}$ ${\displaystyle r:=0,}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f(rx)=f(0)=0=0f(x)=rf(x),}$ ${\displaystyle f}$

Ссылки

1. Schechter 1996, стр. 313–314.
2. Кубруслы 2011, стр. 200.
3. Кубруслы 2011, стр. 55.
4. Кубруслы 2011, стр. 310.

Источники

• Блаттер, Кристиан (1979). «20. Mehr Dimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». Анализ II (на немецком языке) (2-е изд.). Спрингер Верлаг. п. 188. ИСБН 3-540-09484-9.
• Кубрусли, Карлос С. (2011). Элементы теории операторов (Второе изд.). Бостон: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4998-2. OCLC  710154895.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.

Внешние ссылки

• «Однородная функция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Эрик Вайсштейн. "Теорема Эйлера об однородной функции". MathWorld .