Интеграл Эйлера

В математике существует два типа интеграла Эйлера : ^[1]

1. Интеграл Эйлера первого рода — это бета-функция $${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt={\frac {\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}}$$
2. Интеграл Эйлера второго рода — это гамма-функция ^[2] $${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,\mathrm {e} ^{-t}\,dt}$$

Для положительных целых чисел m и n два интеграла можно выразить через факториалы и биномиальные коэффициенты : $${\displaystyle \mathrm {B} (n,m)={\frac {(n-1)!(m-1)!}{(n+m-1)!}}={\frac {n+m}{nm{\binom {n+m}{n}}}}=\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right){\frac {1}{\binom {n+m}{n}}}}$$ $${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$$

Смотрите также

• Леонард Эйлер
• Список тем, названных в честь Леонарда Эйлера

Ссылки

1. Джеффри, Алан; Дай, Хуэй-Хуэй (2008). Справочник по математическим формулам и интегралам (4-е изд.). Амстердам: Elsevier Academic Press. С. 234–235. ISBN 978-0-12-374288-9. OCLC  180880679.
2. Jahnke, Hans Niels (2003). История анализа . История математики. Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. стр. 116-117. ISBN 978-0-8218-2623-2.

Внешние ссылки и отсылки

• Wolfram MathWorld об интеграле Эйлера
• Цифровая библиотека математических функций NIST dlmf.nist.gov/5.2.1 отношение 5.2.1 и dlmf.nist.gov/5.12 отношение 5.12.1