stringtranslate.com

Эволюционный алгоритм

В вычислительном интеллекте (КИ) эволюционный алгоритм ( ЭА ) является подмножеством эволюционных вычислений , [1] общего популяционного метаэвристического алгоритма оптимизации . ЭА использует механизмы, вдохновленные биологической эволюцией , такие как воспроизводство , мутация , рекомбинация и отбор . Кандидаты на решение задачи оптимизации играют роль особей в популяции, а функция приспособленности определяет качество решений (см. также функцию потерь ). Затем происходит эволюция популяции после повторного применения вышеуказанных операторов.

Эволюционные алгоритмы часто хорошо выполняют аппроксимацию решений всех типов проблем, поскольку они в идеале не делают никаких предположений о базовом ландшафте приспособленности . Методы эволюционных алгоритмов, применяемые к моделированию биологической эволюции, как правило, ограничиваются исследованиями микроэволюционных процессов и планированием моделей на основе клеточных процессов. В большинстве реальных приложений ЭА вычислительная сложность является запрещающим фактором. [2] Фактически, эта вычислительная сложность обусловлена ​​оценкой функции приспособленности. Приближение приспособленности является одним из решений для преодоления этой трудности. Однако, кажущийся простым ЭА может решать часто сложные проблемы; [3] [4] [5] поэтому, может не быть прямой связи между сложностью алгоритма и сложностью проблемы.

Выполнение

Ниже приведен пример универсального одноцелевого генетического алгоритма .

Шаг первый: Сгенерировать начальную популяцию особей случайным образом . (Первое поколение)

Шаг второй: Повторяйте следующие шаги регенерации до тех пор, пока не истечет срок действия (ограничение по времени, не будет достигнута достаточная физическая форма и т. д.):

  1. Оценить приспособленность каждой особи в популяции
  2. Выбрать особей для размножения на основе их приспособленности. (Родители)
  3. Выводите новых особей с помощью операций скрещивания и мутаций , чтобы получить потомство .
  4. Заменить наименее приспособленных особей популяции новыми особями.

Типы

Похожие методы различаются по генетическому представлению и другим деталям реализации, а также по характеру конкретной прикладной задачи.

Теоретическая основа

Следующие теоретические принципы применимы ко всем или почти всем ЭА.

Теорема о бесплатном обеде не существует

Теорема оптимизации об отсутствии бесплатного обеда гласит, что все стратегии оптимизации одинаково эффективны, когда рассматривается набор всех задач оптимизации. При тех же условиях ни один эволюционный алгоритм не является принципиально лучше другого. Это может быть только в случае, если набор всех задач ограничен. Именно это неизбежно делается на практике. Поэтому для улучшения EA он должен использовать знание проблемы в какой-либо форме (например, выбрав определенную силу мутации или адаптированное к проблеме кодирование ). Таким образом, если сравниваются два EA, это ограничение подразумевается. Кроме того, EA может использовать знание, специфичное для проблемы, например, не генерируя случайным образом всю начальную популяцию, а создавая некоторых особей с помощью эвристики или других процедур. [13] [14] Другая возможность адаптировать EA к заданной проблемной области — это задействовать подходящую эвристику, процедуры локального поиска или другие процедуры, связанные с проблемой, в процессе генерации потомства. Эта форма расширения EA также известна как меметический алгоритм . Оба расширения играют важную роль в практических приложениях, поскольку они могут ускорить процесс поиска и сделать его более надежным. [13] [15]

Конвергенция

Для ЭА, в которых, помимо потомства, по крайней мере лучшая особь родительского поколения используется для формирования последующего поколения (так называемые элитные ЭА), существует общее доказательство сходимости при условии, что существует оптимум . Без потери общности , для доказательства предполагается поиск максимума:

Из свойства элитарного принятия потомства и существования оптимума следует, что в каждом поколении улучшение приспособленности соответствующей лучшей особи будет происходить с вероятностью . Таким образом:

То есть, значения приспособленности представляют собой монотонно неубывающую последовательность , которая ограничена в силу существования оптимума. Из этого следует сходимость последовательности к оптимуму.

Поскольку доказательство не делает никаких заявлений о скорости конвергенции, оно мало помогает в практическом применении ЭА. Но оно оправдывает рекомендацию использовать элитарные ЭА. Однако при использовании обычной панмиктической модели популяции элитарные ЭА имеют тенденцию сходиться преждевременно больше, чем неэлитарные. [16] В панмиктической модели популяции выбор партнера (шаг 2 раздела о реализации) таков, что каждая особь во всей популяции имеет право быть партнером. В непанмиктических популяциях выбор соответствующим образом ограничен, так что скорость рассеивания лучших особей снижается по сравнению с панмиктическими. Таким образом, общий риск преждевременной конвергенции элитарных ЭА может быть значительно снижен с помощью подходящих популяционных моделей, которые ограничивают выбор партнера. [17] [18]

Виртуальные алфавиты

С помощью теории виртуальных алфавитов Дэвид Э. Голдберг в 1990 году показал, что, используя представление с действительными числами, ЭА, использующий классические операторы рекомбинации (например, равномерный или n-точечный кроссовер), не может достичь определенных областей пространства поиска, в отличие от кодирования с двоичными числами. [19] Это приводит к рекомендации для ЭА с действительным представлением использовать арифметические операторы для рекомбинации (например, среднее арифметическое или промежуточную рекомбинацию). С подходящими операторами действительные представления более эффективны, чем двоичные, вопреки более раннему мнению. [20] [21]

Сравнение с биологическими процессами

Возможным ограничением [ по мнению кого? ] многих эволюционных алгоритмов является отсутствие у них четкого различия генотип-фенотип . В природе оплодотворенная яйцеклетка проходит сложный процесс, известный как эмбриогенез, чтобы стать зрелым фенотипом . Считается, что это косвенное кодирование делает генетический поиск более надежным (т. е. снижает вероятность фатальных мутаций), а также может улучшить эволюционируемость организма . [22] [23] Такие косвенные (также известные как генеративные или развивающие) кодирования также позволяют эволюции использовать регулярность в окружающей среде. [24] Недавние работы в области искусственной эмбриогенеза или искусственных систем развития направлены на решение этих проблем. А программирование экспрессии генов успешно исследует систему генотип-фенотип, где генотип состоит из линейных мультигенных хромосом фиксированной длины, а фенотип состоит из нескольких деревьев экспрессии или компьютерных программ разных размеров и форм. [25] [ неправильный синтез? ]

Сравнение с методами Монте-Карло

Оба класса методов имеют общее то, что их отдельные шаги поиска определяются случайно. Главное отличие, однако, заключается в том, что EA, как и многие другие метаэвристики, учатся на прошлых шагах поиска и включают этот опыт в выполнение следующих шагов поиска в форме, специфичной для метода. В EA это делается, во-первых, через операторы выбора на основе приспособленности для выбора партнера и формирования следующего поколения. И, во-вторых, в типе шагов поиска: в EA они начинают с текущего решения и изменяют его или смешивают информацию двух решений. Напротив, при вычленении новых решений в методах Монте-Карло обычно нет связи с существующими решениями. [26] [27]

Если же, с другой стороны, пространство поиска задачи таково, что изучать нечего, методы Монте-Карло являются подходящим инструментом, поскольку они не содержат никаких алгоритмических накладных расходов, которые пытаются сделать соответствующие выводы из предыдущего поиска. Примером таких задач является пресловутый поиск иголки в стоге сена , например, в форме плоской (гипер)плоскости с одной узкой вершиной.

Приложения

Области, в которых эволюционные алгоритмы используются на практике, практически безграничны [5] и варьируются от промышленности, [28] [29] инженерии, [2] [3] [30] сложного планирования, [4] [31] [32] сельского хозяйства, [33] планирования движения роботов [34] и финансов [35] [36] до исследований [37] [38] и искусства . Применение эволюционного алгоритма требует некоторого переосмысления со стороны неопытного пользователя, поскольку подход к задаче с использованием ЭА отличается от обычных точных методов, и это обычно не является частью учебной программы инженеров или других дисциплин. Например, расчет пригодности должен не только формулировать цель, но и поддерживать эволюционный процесс поиска в ее направлении, например, поощряя улучшения, которые еще не приводят к лучшей оценке исходных критериев качества. Например, если в задаче планирования необходимо избежать пикового использования ресурсов, таких как развертывание персонала или потребление энергии, недостаточно оценить максимальное использование. Вместо этого следует также регистрировать количество и продолжительность превышений все еще приемлемого уровня, чтобы поощрять сокращения ниже фактического максимального пикового значения. [39] Поэтому существуют некоторые публикации, которые нацелены на новичков и хотят помочь избежать ошибок новичков, а также привести прикладной проект к успеху. [39] [40] [41] Это включает в себя разъяснение фундаментального вопроса о том, когда следует использовать EA для решения проблемы, а когда лучше этого не делать.

Связанные методы и другие методы глобального поиска

Существуют и другие проверенные и широко используемые методы глобального поиска, вдохновленные природой, такие как:

Кроме того, с начала этого столетия было предложено много новых алгоритмов, вдохновленных природой или управляемых метафорами. Критику большинства публикаций по ним см. в примечаниях в конце введения к статье о метаэвристике .

Примеры

В 2020 году Google заявила, что их AutoML-Zero может успешно переосмыслить классические алгоритмы, такие как концепция нейронных сетей. [42]

Компьютерные симуляции Tierra и Avida пытаются смоделировать макроэволюционную динамику.

Галерея

[43] [44] [45]

Ссылки

  1. ^ Vikhar, PA (2016). «Эволюционные алгоритмы: критический обзор и его будущие перспективы». Международная конференция 2016 года по глобальным тенденциям в обработке сигналов, информационных вычислениях и связи (ICGTSPICC) . Джалгаон. стр. 261–265. doi :10.1109/ICGTSPICC.2016.7955308. ISBN 978-1-5090-0467-6. S2CID  22100336.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
  2. ^ abc Cohoon, JP; Karro, J.; Lienig, J. (2003). «Эволюционные алгоритмы для физического проектирования схем VLSI» в Advances in Evolutionary Computing: Theory and Applications (PDF) . Лондон: Springer Verlag. С. 683–712. ISBN 978-3-540-43330-9.
  3. ^ ab Словик, Адам; Квасницкая, Халина (2020). «Эволюционные алгоритмы и их применение к инженерным проблемам». Нейронные вычисления и приложения . 32 (16): 12363–12379. doi : 10.1007/s00521-020-04832-8 . ISSN  0941-0643. S2CID  212732659.
  4. ^ ab Mika, Marek; Waligóra, Grzegorz; Węglarz, Jan (2011). «Моделирование и решение проблемы распределения ресурсов сетки с сетевыми ресурсами для приложений рабочих процессов». Journal of Scheduling . 14 (3): 291–306. doi :10.1007/s10951-009-0158-0. ISSN  1094-6136. S2CID  31859338.
  5. ^ ab "International Conference on the Applications of Evolutionary Computation". Конференция является частью серии Evo*. Труды конференции опубликованы Springer . Получено 2022-12-23 .
  6. ^ Ниссен, Волкер; Краузе, Маттиас (1994), «Ограниченная комбинаторная оптимизация со стратегией эволюции», в Ройше, Бернде (редактор), Fuzzy Logik, Informatik aktuell, Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 33–40, номер документа : 10.1007/978- 3-642-79386-8_5, ISBN 978-3-642-79386-8
  7. ^ Коэльо, В.Н.; Коэльо, ИМ; Соуза, MJF; Оливейра, штат Техас; Кота, LP; Хаддад, Миннесота; Младенович, Н.; Сильва, RCP; Гимарайнш, ФГ (2016). «Гибридные самоадаптивные стратегии эволюции, управляемые структурами окрестности, для задач комбинаторной оптимизации». Эвол Компьютер . 24 (4): 637–666. дои : 10.1162/EVCO_a_00187. PMID  27258842. S2CID  13582781.
  8. ^ Ма, Сяолян; Ли, Сяодун; Чжан, Цинфу; Тан, Кэ; Лян, Чжэнпин; Се, Вэйсинь; Чжу, Цзэсюань (2019), «Обзор кооперативных коэволюционных алгоритмов», IEEE Transactions on Evolutionary Computation , 23 (3): 421–441, doi : 10.1109/TEVC.2018.2868770, S2CID  125149900 , получено 05.05.2023 г. 22
  9. ^ Поповичи, Елена; Буччи, Энтони; Виганд, Р. Пол; Де Йонг, Эдвин Д. (2012). «Коэволюционные принципы». В Розенберг, Гжегож; Бэк, Томас; Кок, Йост Н. (ред.). Справочник по естественным вычислениям. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 987–1033. doi :10.1007/978-3-540-92910-9_31. ISBN 978-3-540-92910-9.
  10. ^ Пью , Джастин К.; Сорос, Лиза Б.; Стэнли, Кеннет О. (2016-07-12). «Разнообразие качества: новый рубеж эволюционных вычислений». Frontiers in Robotics and AI . 3. doi : 10.3389/frobt.2016.00040 . ISSN  2296-9144.
  11. ^ Леман, Джоэл; Стэнли, Кеннет О. (2011-07-12). «Развитие разнообразия виртуальных существ посредством поиска новизны и локальной конкуренции». Труды 13-й ежегодной конференции по генетическим и эволюционным вычислениям . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: ACM. стр. 211–218. doi :10.1145/2001576.2001606. ISBN 9781450305570. S2CID  17338175.
  12. ^ Калли, Антуан; Клюн, Джефф; Тарапоре, Данеш; Муре, Жан-Батист (27.05.2015). «Роботы, которые могут адаптироваться как животные». Nature . 521 (7553): 503–507. arXiv : 1407.3501 . Bibcode :2015Natur.521..503C. doi :10.1038/nature14422. ISSN  0028-0836. PMID  26017452. S2CID  3467239.
  13. ^ ab Davis, Lawrence (1991). Справочник по генетическим алгоритмам. Нью-Йорк: Van Nostrand Reinhold. ISBN 0-442-00173-8. OCLC  23081440.
  14. ^ Лиениг, Йенс; Брандт, Хольгер (1994), Давидор, Ювал; Швефель, Ханс-Пауль; Мэннер, Рейнхард (ред.), «Эволюционный алгоритм маршрутизации многокристальных модулей», Parallel Problem Solving from Nature — PPSN III , т. 866, Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 588–597, doi :10.1007/3-540-58484-6_301, ISBN 978-3-540-58484-1, получено 2022-10-18
  15. ^ Нери, Ферранте; Котта, Карлос; Москато, Пабло, ред. (2012). Справочник по меметическим алгоритмам. Исследования по вычислительному интеллекту. Т. 379. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. doi :10.1007/978-3-642-23247-3. ISBN 978-3-642-23246-6.
  16. ^ Leung, Yee; Gao, Yong; Xu, Zong-Ben (1997). «Степень разнообразия популяции — перспектива преждевременной конвергенции в генетических алгоритмах и ее анализ цепей Маркова». IEEE Transactions on Neural Networks . 8 (5): 1165–1176. doi :10.1109/72.623217. ISSN  1045-9227. PMID  18255718.
  17. ^ Горж-Шлейтер, Мартина (1998), Эйбен, Агостон Э.; Бек, Томас; Шенауэр, Марк; Швефель, Ханс-Пауль (ред.), «Сравнительное исследование глобального и локального отбора в стратегиях эволюции», Параллельное решение проблем из природы - PPSN V , Конспекты лекций по информатике, том. 1498, Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 367–377, doi : 10.1007/bfb0056879, ISBN 978-3-540-65078-2, получено 21.10.2022
  18. ^ Дорронсоро, Бернабе; Альба, Энрике (2008). Клеточные генетические алгоритмы. Серия «Исследование операций/Интерфейсы компьютерной науки». Том 42. Бостон, Массачусетс: Springer US. doi : 10.1007/978-0-387-77610-1. ISBN 978-0-387-77609-5.
  19. ^ Голдберг, Дэвид Э. (1990), Швефель, Ганс-Пауль; Мэннер, Рейнхард (ред.), «Теория виртуальных алфавитов», Параллельное решение проблем из природы , Lecture Notes in Computer Science, т. 496, Берлин/Гейдельберг: Springer-Verlag (опубликовано в 1991 г.), стр. 13–22, doi :10.1007/bfb0029726, ISBN 978-3-540-54148-6, получено 2022-10-22
  20. ^ Стендер, Дж.; Хиллебранд, Э.; Кингдон, Дж. (1994). Генетические алгоритмы в оптимизации, моделировании и имитации. Амстердам: IOS Press. ISBN 90-5199-180-0. OCLC  47216370.
  21. ^ Михалевич, Збигнев (1996). Генетические алгоритмы + структуры данных = программы эволюции (3-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-662-03315-9. OCLC  851375253.
  22. ^ GS Hornby и JB Pollack. «Создание высокоуровневых компонентов с генеративным представлением для эволюции тела и мозга». Искусственная жизнь , 8(3):223–246, 2002.
  23. ^ Джефф Клун, Бенджамин Бекман, Чарльз Офриа и Роберт Пеннок. «Развитие координированных четвероногих походок с помощью генеративного кодирования HyperNEAT» Архивировано 03.06.2016 в Wayback Machine . Труды Конгресса IEEE по эволюционным вычислениям, специальная секция по эволюционной робототехнике , 2009. Тронхейм, Норвегия.
  24. ^ J. Clune, C. Ofria и RT Pennock, «Как генеративное кодирование работает по мере уменьшения регулярности проблемы», в PPSN (редакторы G. Rudolph, T. Jansen, SM Lucas, C. Poloni и N. Beume), том 5199 Lecture Notes in Computer Science , стр. 358–367, Springer, 2008.
  25. ^ Феррейра, К., 2001. «Программирование экспрессии генов: новый адаптивный алгоритм решения проблем». Complex Systems , т. 13, выпуск 2: 87–129.
  26. ^ Швефель, Ганс-Пауль (1995). Эволюция и поиск оптимума. Серия «Технологии компьютеров шестого поколения». Нью-Йорк: Wiley. С. 109. ISBN 978-0-471-57148-3.
  27. ^ Фогель, Дэвид Б.; Бэк, Томас; Михалевич, Збигнев, ред. (2000). Эволюционные вычисления 1. Бристоль; Филадельфия: Издательство Института физики. стр. xxx и xxxvii (Глоссарий). ISBN 978-0-7503-0664-5. OCLC  44807816.
  28. ^ Санчес, Эрнесто; Скильеро, Джованни; Тонда, Альберто (2012). Промышленные приложения эволюционных алгоритмов. Справочная библиотека интеллектуальных систем. Том 34. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. doi :10.1007/978-3-642-27467-1. ISBN 978-3-642-27466-4.
  29. ^ Миеттинен, Кайса; Нейттаанмяки, Пекка; Мякеля, ММ; Перио, Жак, ред. (1999). Эволюционные алгоритмы в инженерии и информатике: последние достижения в области генетических алгоритмов, эволюционных стратегий, эволюционного программирования, генетического программирования и промышленных приложений. Чичестер: Wiley and Sons. ISBN 0-585-29445-3. OCLC  45728460.
  30. ^ Gen, Mitsuo; Cheng, Runwei (1999-12-17). Генетические алгоритмы и инженерная оптимизация. Серия Wiley по инженерному проектированию и автоматизации. Хобокен, Нью-Джерси, США: John Wiley & Sons, Inc. doi :10.1002/9780470172261. ISBN 978-0-470-17226-1.
  31. ^ Dahal, Keshav P.; Tan, Kay Chen; Cowling, Peter I. (2007). Эволюционное планирование. Берлин: Springer. doi :10.1007/978-3-540-48584-1. ISBN 978-3-540-48584-1. OCLC  184984689.
  32. ^ Якоб, Вильфрид; Штрак, Сильвия; Квинте, Александр; Бенгель, Гюнтер; Штуки, Карл-Уве; Зюсс, Вольфганг (2013-04-22). «Быстрое перепланирование нескольких рабочих процессов для ограниченных гетерогенных ресурсов с использованием многокритериальных меметических вычислений». Алгоритмы . 6 (2): 245–277. doi : 10.3390/a6020245 . ISSN  1999-4893.
  33. ^ Майер, Дэвид Г. (2002). Эволюционные алгоритмы и сельскохозяйственные системы. Бостон, Массачусетс: Springer US. doi : 10.1007/978-1-4615-1717-7. ISBN 978-1-4613-5693-6.
  34. ^ Блюм, Кристиан (2000), Каньони, Стефано (ред.), «Оптимизированная генерация операторов движения робота без столкновений с помощью эволюционного программного обеспечения GLEAM», Реальные приложения эволюционных вычислений , LNCS 1803, т. 1803, Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 330–341, doi :10.1007/3-540-45561-2_32, ISBN 978-3-540-67353-8, получено 28.12.2022
  35. ^ Аранья, Клаус; Иба, Хитоши (2008), Вобке, Уэйн; Чжан, Мэнцзе (ред.), «Применение меметического алгоритма к проблеме оптимизации портфеля», AI 2008: Достижения в области искусственного интеллекта , Lecture Notes in Computer Science, т. 5360, Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 512–521, doi :10.1007/978-3-540-89378-3_52, ISBN 978-3-540-89377-6, получено 2022-12-23
  36. ^ Чен, Шу-Хэн, ред. (2002). Эволюционные вычисления в экономике и финансах. Исследования нечеткости и мягких вычислений. Том 100. Гейдельберг: Physica-Verlag HD. doi :10.1007/978-3-7908-1784-3. ISBN 978-3-7908-2512-1.
  37. ^ Lohn, JD; Linden, DS; Hornby, GS; Kraus, WF (июнь 2004 г.). «Эволюционная конструкция антенны X-диапазона для миссии NASA Space Technology 5». Симпозиум IEEE Antennas and Propagation Society, 2004 г. Том 3. стр. 2313–2316 Том 3. doi :10.1109/APS.2004.1331834. hdl : 2060/20030067398 . ISBN 0-7803-8302-8.
  38. ^ Фогель, Гэри; Корн, Дэвид (2003). Эволюционные вычисления в биоинформатике. Elsevier. doi :10.1016/b978-1-55860-797-2.x5000-8. ISBN 978-1-55860-797-2.
  39. ^ ab Jakob, Wilfried (2021), Успешное применение эволюционных алгоритмов — руководство, полученное из реальных приложений, KIT Scientific Working Papers, т. 170, Карлсруэ, ФРГ: KIT Scientific Publishing, arXiv : 2107.11300 , doi : 10.5445/IR/1000135763, S2CID  236318422 , получено 23.12.2022
  40. ^ Уитли, Даррелл (2001). «Обзор эволюционных алгоритмов: практические вопросы и распространенные ошибки». Информационные и программные технологии . 43 (14): 817–831. doi :10.1016/S0950-5849(01)00188-4. S2CID  18637958.
  41. ^ Эйбен, AE; Смит, JE (2015). «Работа с эволюционными алгоритмами». Введение в эволюционные вычисления. Серия Natural Computing (2-е изд.). Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 147–163. doi :10.1007/978-3-662-44874-8. ISBN 978-3-662-44873-1. S2CID  20912932.
  42. ^ Gent, Edd (13 апреля 2020 г.). «Искусственный интеллект развивается сам по себе». Наука | AAAS . Архивировано из оригинала 16 апреля 2020 г. . Получено 16 апреля 2020 г. .
  43. ^ Simionescu, PA; Dozier, GV; Wainwright, RL (2006). "Двухпопуляционный эволюционный алгоритм для задач ограниченной оптимизации". Международная конференция IEEE по эволюционным вычислениям 2006 года . Ванкувер, Британская Колумбия, Канада: IEEE. стр. 1647–1653. doi :10.1109/CEC.2006.1688506. ISBN 978-0-7803-9487-2. S2CID  1717817.
  44. ^ Simionescu, PA; Dozier, GV; Wainwright, RL (2006). "Двухпопуляционный эволюционный алгоритм для задач ограниченной оптимизации" (PDF) . Международная конференция IEEE 2006 года по эволюционным вычислениям . Proc 2006 IEEE Международная конференция по эволюционным вычислениям. Ванкувер, Канада. стр. 1647–1653. doi :10.1109/CEC.2006.1688506. ISBN 0-7803-9487-9. S2CID  1717817 . Получено 7 января 2017 г. .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
  45. ^ Симионеску, П. А. (2014). Инструменты компьютерного моделирования и построения графиков для пользователей AutoCAD (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press . ISBN 978-1-4822-5290-3.

Внешние ссылки

Библиография