Теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани

Заявление о линейных функционалах и мерах

В математике теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани связывает линейные функционалы на пространствах непрерывных функций на локально компактном пространстве с мерами в теории меры. Теорема названа в честь Фридьеша Рисса  (1909), который ввел ее для непрерывных функций на единичном интервале , Андрея Маркова  (1938), который распространил результат на некоторые некомпактные пространства, и Сидзуо Какутани  (1941), который распространил результат на компактные хаусдорфовы пространства .

Существует множество тесно связанных вариаций теоремы, поскольку линейные функционалы могут быть комплексными, действительными или положительными , пространство, на котором они определены, может быть единичным интервалом, компактным пространством или локально компактным пространством , непрерывные функции могут исчезать на бесконечности или иметь компактный носитель , а меры могут быть мерами Бэра , регулярными мерами Бореля , мерами Радона , знаковыми мерами или комплексными мерами .

Теорема представления для положительных линейных функционалов наС с(Х)

Формулировка теоремы для положительных линейных функционалов на C _c ( X ) , пространстве комплекснозначных непрерывных функций с компактным носителем , выглядит следующим образом:

Теорема Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство и положительный линейный функционал на C _c ( X ) . Тогда существует единственная положительная борелевская мера на X такая, что ^[1] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x),\quad \forall f\in C_{c}(X),}$

который имеет следующие дополнительные свойства для некоторых, содержащих борелевскую σ-алгебру на X : ${\displaystyle \Sigma }$

• ${\displaystyle \mu (K)<\infty }$для каждого компакта , ${\displaystyle K\subset X}$
• Внешняя регулярность :справедлива для каждого борелевского множества ; ${\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\mbox{ open}}\}}$ ${\displaystyle E\in \Sigma }$
• Внутренняя закономерность :выполняется всякий раз, когда открыто или когдаБорель и; ${\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K{\mbox{ compact}}\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu (E)<\infty }$
• ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$является полным мерным пространством

Таким образом, если все открытые множества в X являются σ-компактными , то является мерой Радона . ^[2] ${\displaystyle \mu }$

Один из подходов к теории меры — начать с меры Радона , определяемой как положительный линейный функционал на C _c ( X ) . Это путь, принятый Бурбаки ; он, конечно, предполагает, что X начинает жизнь как топологическое пространство , а не просто как множество. Для локально компактных пространств затем восстанавливается теория интегрирования.

Без условия регулярности мера Бореля не обязательно должна быть единственной. Например, пусть X будет множеством ординалов, не более чем равным первому несчетному ординалу Ω , с топологией, порожденной « открытыми интервалами ». Линейный функционал, переводящий непрерывную функцию в ее значение в Ω, соответствует регулярной мере Бореля с точечной массой в Ω . Однако он также соответствует (нерегулярной) мере Бореля, которая присваивает меру 1 любому множеству Бореля , если существует замкнутое и неограниченное множество с , и присваивает меру 0 другим множествам Бореля. (В частности, синглтон получает меру 0 , в отличие от меры точечной массы.) ${\displaystyle B\subseteq [0,\Omega ]}$ ${\displaystyle C\subseteq [0,\Omega [}$ ${\displaystyle C\subseteq B}$ ${\displaystyle \{\Omega \}}$

Теорема представления для непрерывного сопряженногоС0(Х)

Следующее представление, также называемое теоремой Рисса–Маркова , дает конкретную реализацию топологического сопряженного пространства C 0 ₍ X ) , множества непрерывных функций на X , которые исчезают на бесконечности .

Теорема Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство. Для любого непрерывного линейного функционала на C ₀ ( X ) существует единственная комплекснозначная регулярная борелевская мера на X такая, что ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x),\quad \forall f\in C_{0}(X).}$

Комплекснозначная мера Бореля называется регулярной, если положительная мера удовлетворяет условиям регулярности , определенным выше. Норма как линейного функционала есть полная вариация , то есть ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle |\mu |}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \|\psi \|=|\mu |(X).}$

Наконец, положительно тогда и только тогда , когда мера положительна. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mu }$

Это утверждение о линейных функционалах можно вывести из утверждения о положительных линейных функционалах, показав сначала, что ограниченный линейный функционал можно записать в виде конечной линейной комбинации положительных функционалов.

Историческое замечание

В своей первоначальной форме Фридьеша Рисса  (1909) теорема утверждает, что всякий непрерывный линейный функционал A над пространством C ([0, 1]) непрерывных функций f в интервале [0, 1] может быть представлен в виде

${\displaystyle A[f(x)]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x),}$

где α ( x ) — функция ограниченной вариации на интервале [0, 1] , а интеграл — интеграл Римана–Стилтьеса . Поскольку между регулярными по Борелю мерами на интервале и функциями ограниченной вариации существует взаимно однозначное соответствие (которое сопоставляет каждой функции ограниченной вариации соответствующую меру Лебега–Стилтьеса, а интеграл по мере Лебега–Стилтьеса согласуется с интегралом Римана–Стилтьеса для непрерывных функций), то сформулированная выше теорема обобщает исходное утверждение Ф. Рисса. ^[3]

Примечания

1. Рудин 1987, стр. 40.
2. Рудин 1987, стр. 48.
3. Грей 1984.

Ссылки

• Фреше, М. (1907). «Сюр-лес-ансамбли де-функция и ле-операции линейные». ЧР акад. наук. Париж . 144 : 1414–1416.
• Грей, Дж. Д. (1984). «Формирование теоремы о представлении Рисса: глава в истории анализа». Архив истории точных наук . 31 (2): 127–187. doi :10.1007/BF00348293.
• Хартиг, Дональд Г. (1983). «Повторный взгляд на теорему о представлении Рисса». American Mathematical Monthly . 90 (4): 277–280. doi :10.2307/2975760. JSTOR  2975760.; теоретико-категорное представление как естественное преобразование.
• Какутани, Сидзуо (1941). «Конкретное представление абстрактных (М)-пространств. (Характеристика пространства непрерывных функций.)». Ann. of Math . Серия 2. 42 (4): 994–1024. doi :10.2307/1968778. hdl : 10338.dmlcz/100940 . JSTOR  1968778. MR  0005778.
• Марков, А. (1938). «О средних значениях и внешних плотностях». Rec. Math. Moscou . NS 4 : 165–190. Zbl  0020.10804.
• Рисс, Ф. (1907). «Sur une espèce de géométrie Analytique des systèmes de sommables sommables». ЧР акад. наук. Париж . 144 : 1409–1411.
• Рисс, Ф. (1909). «О линейных операциях». ЧР акад. наук. Париж . 149 : 974–977.
• Халмош, П. (1950). Теория меры . Д. ван Ностранд и Ко.
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Рисса о представлении». MathWorld .
• Рудин, Уолтер (1987). Действительный и комплексный анализ . McGraw-Hill. ISBN 0-07-100276-6.