В математике , в частности в алгебраической геометрии , волокнистое произведение схем является фундаментальной конструкцией. Оно имеет множество интерпретаций и частных случаев. Например, волокнистое произведение описывает, как алгебраическое многообразие над одним полем определяет многообразие над большим полем, или пулбэк семейства многообразий, или волокно семейства многообразий. Изменение базы — тесно связанное понятие.
Категория схем — это широкая область применения алгебраической геометрии. Плодотворная философия (известная как относительная точка зрения Гротендика ) заключается в том, что большая часть алгебраической геометрии должна разрабатываться для морфизма схем X → Y (называемого схемой X над Y ), а не для одной схемы X . Например, вместо того, чтобы просто изучать алгебраические кривые , можно изучать семейства кривых над любой базовой схемой Y . Действительно, эти два подхода обогащают друг друга.
В частности, схема над коммутативным кольцом R означает схему X вместе с морфизмом X → Spec ( R ). Старое понятие алгебраического многообразия над полем k эквивалентно схеме над k с определенными свойствами. (Существуют различные соглашения о том, какие именно схемы следует называть «многообразиями». Один стандартный выбор заключается в том, что многообразие над полем k означает целочисленную отделимую схему конечного типа над k . [1] )
В общем случае морфизм схем X → Y можно представить как семейство схем, параметризованных точками Y. Если задан морфизм из некоторой другой схемы Z в Y , то должно быть « обратное » семейство схем над Z. Это в точности произведение слоев X × Y Z → Z.
Формально: полезным свойством категории схем является то, что произведение слоев всегда существует. [2] То есть, для любых морфизмов схем X → Y и Z → Y существует схема X × Y Z с морфизмами в X и Z , что делает диаграмму
коммутативна и которая универсальна с этим свойством. То есть, для любой схемы W с морфизмами в X и Z , чьи композиции в Y равны, существует единственный морфизм из W в X × Y Z , который делает диаграмму коммутативной. Как всегда с универсальными свойствами, это условие определяет схему X × Y Z с точностью до единственного изоморфизма, если он существует. Доказательство того, что послойные произведения схем всегда существуют, сводит задачу к тензорному произведению коммутативных колец (ср. схемы склеивания ). В частности, когда X , Y , и Z являются аффинными схемами , так что X = Spec( A ), Y = Spec( B ) и Z = Spec( C ) для некоторых коммутативных колец A , B , C , послойное произведение является аффинной схемой
Морфизм X × Y Z → Z называется заменой основания или обратным проецированием морфизма X → Y посредством морфизма Z → Y .
В некоторых случаях послойное произведение схем имеет правый сопряженный элемент — ограничение скаляров .
Некоторые важные свойства P морфизмов схем сохраняются при произвольной замене базы . То есть, если X → Y имеет свойство P и Z → Y — любой морфизм схем, то замена базы X x Y Z → Z имеет свойство P. Например, плоские морфизмы , гладкие морфизмы , собственные морфизмы и многие другие классы морфизмов сохраняются при произвольной замене базы. [5]
Слово спуск относится к обратному вопросу: если морфизм с вытянутым обратным ходом X x Y Z → Z имеет некоторое свойство P, должен ли исходный морфизм X → Y иметь свойство P? Очевидно, что это невозможно в общем случае: например, Z может быть пустой схемой, в этом случае морфизм с вытянутым обратным ходом теряет всю информацию об исходном морфизме. Но если морфизм Z → Y плоский и сюръективный (также называемый истинно плоским ) и квазикомпактный , то многие свойства действительно спускаются от Z к Y. Свойства, которые спускаются, включают плоскость, гладкость, правильность и многие другие классы морфизмов. [6] Эти результаты являются частью теории Гротендика истинно плоского спуска .
Пример: для любого расширения поля k ⊂ E морфизм Spec( E ) → Spec( k ) является строго плоским и квазикомпактным. Таким образом, упомянутые результаты спуска подразумевают, что схема X над k является гладкой над k тогда и только тогда, когда базовая замена X E является гладкой над E . То же самое касается правильности и многих других свойств.
