Узел «восьмерка» (математика)

Уникальный узел с числом пересечений четыре

Узел восьмерка практического завязывания узлов, концы которого соединены

В теории узлов узел восьмерка (также называемый узлом Листинга ^[1] ) — это уникальный узел с числом пересечений , равным четырем. Это делает его узлом с третьим наименьшим возможным числом пересечений после трилистника и трилистника . Узел восьмерка — это простой узел .

Происхождение имени

Название дано потому, что завязывание обычного узла в виде восьмерки на веревке и последующее соединение ее концов самым естественным образом дает модель математического узла.

Описание

Простое параметрическое представление узла «восьмерка» — это множество всех точек ( x , y , z ), где

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\cos {(3t)}\\y&=\left(2+\cos {(2t)}\right)\sin {(3t)}\\z&=\sin {(4t)}\end{aligned}}}$

для t , изменяющегося по действительным числам (см. двумерную визуальную реализацию внизу справа).

Узел восьмерка является простым , чередующимся , рациональным с ассоциированным значением 5/3, ^[2] и ахиральным . Узел восьмерка также является волокнистым узлом . Это следует из других, менее простых (но очень интересных) представлений узла:

(1) Это однородная ^{[примечание 1]} замкнутая коса (а именно, замыкание трехрядной косы σ ₁ σ ₂ ⁻¹ σ ₁ σ ₂ ⁻¹ ), и теорема Джона Столлингса показывает, что любая замкнутая однородная коса является расслоенной.

(2) Это связь в (0,0,0,0) изолированной критической точки вещественно-полиномиального отображения F : R ⁴ → R ² , поэтому (согласно теореме Джона Милнора ) отображение Милнора для F на самом деле является расслоением. Бернар Перрон нашел первое такое F для этого узла, а именно,

${\displaystyle F(x,y,z,t)=G(x,y,z^{2}-t^{2},2zt),\,\!}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,z,t)=\ &(z(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2})+x(6x^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2}),\\&\ tx{\sqrt {2}}+y(6x^{2}-2y^{2}-2z^{2}-2t^{2})).\end{aligned}}}$

Математические свойства

Узел восьмерка исторически играл важную роль (и продолжает играть ее) в теории 3-многообразий . Где-то в середине-конце 1970-х годов Уильям Терстон показал, что восьмерка является гиперболической , разложив ее дополнение на два идеальных гиперболических тетраэдра . (Роберт Райли и Троелс Йоргенсен, работая независимо друг от друга, ранее показали, что узел восьмерка является гиперболической другими способами.) Эта конструкция, новая в то время, привела его ко многим мощным результатам и методам. Например, он смог показать, что все, кроме десяти операций Дена на узле восьмерка, приводят к не- Хакену , не- Зейферт-волокнистым неприводимым 3-многообразиям; это были первые такие примеры. Многие другие были обнаружены путем обобщения конструкции Терстона на другие узлы и связи.

Узел восьмерка также является гиперболическим узлом, дополнение которого имеет наименьший возможный объем , (последовательность A091518 в OEIS ), где — функция Лобачевского . ^[3] С этой точки зрения узел восьмерка можно считать простейшим гиперболическим узлом. Дополнение узла восьмерка является двойным покрытием многообразия Гизекинга , которое имеет наименьший объем среди некомпактных гиперболических 3-многообразий. ${\displaystyle 6\Lambda (\pi /3)\approx 2.02988...}$ ${\displaystyle \Lambda }$

Узел восьмерка и узел крендель (−2,3,7) — единственные два гиперболических узла, о которых известно, что они имеют более 6 исключительных хирургий , хирургий Дена, приводящих к негиперболическому 3-многообразию; у них их 10 и 7 соответственно. Теорема Лакенби и Мейерхоффа, доказательство которой основано на гипотезе геометризации и помощи компьютера , утверждает, что 10 — это наибольшее возможное число исключительных хирургий любого гиперболического узла. Однако в настоящее время неизвестно, является ли узел восьмерка единственным, который достигает границы 10. Хорошо известная гипотеза состоит в том, что граница (за исключением двух упомянутых узлов) равна 6.

Узел восьмерка имеет род 1 и является расслоенным. Поэтому его дополнительные расслоения над окружностью, расслоения являются поверхностями Зейферта , которые являются 2-мерными торами с одной граничной компонентой. Отображение монодромии тогда является гомеоморфизмом 2-тора, который в этом случае может быть представлен матрицей . ${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}})}$

Инварианты

Многочлен Александера узла «восьмерка» равен

${\displaystyle \Delta (t)=-t+3-t^{-1},\ }$

полином Конвея — это

${\displaystyle \nabla (z)=1-z^{2},\ }$^[4]

и полином Джонса равен

${\displaystyle V(q)=q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}.\ }$

Симметрия между и в полиноме Джонса отражает тот факт, что узел «восьмерка» является ахиральным. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q^{-1}}$

узел восьмерка

Примечания

1. Коса называется однородной, если каждый образующий элемент либо всегда имеет положительный, либо всегда имеет отрицательный знак. ${\displaystyle \sigma _{i}}$

Ссылки

1. "Listing knot - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org . Получено 2020-06-25 .
2. Грубер, Герман. "Рациональные узлы с 4 перекрестками". База данных рациональных узлов . Архивировано из оригинала 2006-02-09 . Получено 5 мая 2022 г.
3. Уильям Терстон (март 2002 г.), «7. Вычисление объема», Геометрия и топология трехмерных многообразий, стр. 165, архивировано из оригинала (PDF) 27.07.2020 , извлечено 19.10.2020
4. "4_1", Атлас узлов .

Дальнейшее чтение

• Ян Агол , Границы исключительного заполнения Дена , Geometry & Topology 4 (2000), 431–449. MR 1799796
• Чун Цао и Роберт Мейерхофф, Ориентируемые гиперболические 3-многообразия с острыми краями минимального объема , Inventiones Mathematicae, 146 (2001), № 3, 451–478. MR 1869847
• Марк Лакенби , Словесная гиперболическая хирургия Дена , Inventiones Mathematicae 140 (2000), № 2, 243–282. MR 1756996
• Марк Лакенби и Роберт Мейерхофф, Максимальное количество исключительных операций Дена, arXiv:0808.1176
• Робион Кирби , Проблемы низкоразмерной топологии (см. задачу 1.77, принадлежащую Кэмерону Гордону , для исключительных наклонов)
• Уильям Терстон, Геометрия и топология трехмерных многообразий, конспект лекций Принстонского университета (1978–1981).

Внешние ссылки

• "4_1", The Knot Atlas . Доступ: 7 мая 2013 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Узел восьмёрка». MathWorld .