Конечная потенциальная яма

Концепция квантовой механики

Конечная потенциальная яма (также известная как конечная квадратная яма ) — это концепция из квантовой механики . Это расширение бесконечной потенциальной ямы , в которой частица заключена в «коробку», но имеющую конечные потенциальные «стенки». В отличие от бесконечной потенциальной ямы, существует вероятность, связанная с тем, что частица находится вне коробки. Квантово-механическая интерпретация отличается от классической интерпретации, где если полная энергия частицы меньше потенциального энергетического барьера стенок, она не может быть найдена вне коробки. В квантовой интерпретации существует ненулевая вероятность того, что частица находится вне коробки, даже если энергия частицы меньше потенциального энергетического барьера стенок (ср. квантовое туннелирование ).

Частица в одномерной потенциальной яме

Для одномерного случая на оси x уравнение Шредингера , не зависящее от времени, можно записать в виде:

где

• ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$— это приведенная постоянная Планка,
• ${\displaystyle h}$постоянная Планка ,
• ${\displaystyle m}$масса частицы ,
• ${\displaystyle \psi }$— это (комплекснозначная) волновая функция , которую мы хотим найти,
• ${\displaystyle V(x)}$— функция, описывающая потенциальную энергию в каждой точке x , и
• ${\displaystyle E}$— это энергия , действительное число, иногда называемое собственной энергией.

Для случая частицы в одномерном ящике длиной L потенциал находится вне ящика и равен нулю для x между и . Волновая функция считается составленной из различных волновых функций в различных диапазонах x , в зависимости от того, находится ли x внутри или снаружи ящика. Поэтому волновая функция определяется следующим образом: ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle -L/2}$ ${\displaystyle L/2}$ $${\displaystyle \psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\text{if }}x<-L/2{\text{ (the region outside the well)}}\\\psi _{2},&{\text{if }}-L/2<x<L/2{\text{ (the region inside the well)}}\\\psi _{3},&{\text{if }}x>L/2{\text{ (the region outside the well)}}\end{cases}}}$$

Внутри коробки

Для области внутри коробки V ( x ) = 0 и уравнение 1 сводится к Приняв уравнение за $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2}.}$$ $${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }},}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}.}$$

Это хорошо изученное дифференциальное уравнение и задача на собственные значения с общим решением . Следовательно, $${\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,.}$$ $${\displaystyle E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}.}$$

Здесь A и B могут быть любыми комплексными числами , а k может быть любым действительным числом.

Нестандартно

Для области вне ящика, поскольку потенциал постоянен, уравнение 1 принимает вид: ${\displaystyle V(x)=V_{0}}$ $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi _{1}}$$

Существует два возможных семейства решений в зависимости от того, меньше ли E (частица связана в потенциале) или больше E (частица свободна). ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$

Для свободной частицы , и пусть получается та же форма решения, что и в случае внутри скважины: ${\displaystyle E>V_{0}}$ $${\displaystyle k'={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=-k'^{2}\psi _{1}}$$ $${\displaystyle \psi _{1}=C\sin(k'x)+D\cos(k'x)}$$

Этот анализ будет сосредоточен на связанном состоянии, где . Позволяя производить где общее решение является экспоненциальным: ${\displaystyle E<V_{0}}$ $${\displaystyle \alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi _{1}}$$ $${\displaystyle \psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}}$$

Аналогично для другой области за пределами рамки: $${\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}}$$

Теперь, чтобы найти конкретное решение для рассматриваемой задачи, мы должны указать соответствующие граничные условия и найти значения для A , B , F , G , H и I, которые удовлетворяют этим условиям.

Нахождение волновых функций для связанного состояния

Решения уравнения Шредингера должны быть непрерывными и непрерывно дифференцируемыми. ^[1] Эти требования представляют собой граничные условия для ранее выведенных дифференциальных уравнений, то есть условия соответствия между решениями внутри и снаружи скважины.

В этом случае конечная потенциальная яма симметрична, поэтому симметрию можно использовать для сокращения необходимых вычислений.

Подводя итоги предыдущих разделов: где мы обнаружили , , и , чтобы быть: $${\displaystyle \psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\text{if }}x<-L/2{\text{ (the region outside the box)}}\\\psi _{2},&{\text{if }}-L/2<x<L/2{\text{ (the region inside the box)}}\\\psi _{3}&{\text{if }}x>L/2{\text{ (the region outside the box)}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \psi _{1}}$ ${\displaystyle \psi _{2}}$ ${\displaystyle \psi _{3}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}&=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\\\psi _{2}&=A\sin(kx)+B\cos(kx)\\\psi _{3}&=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\end{aligned}}}$$

Мы видим, что при переходе к , член стремится к бесконечности. Аналогично, при переходе к , член стремится к бесконечности. Для того чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой, мы должны положить , и мы имеем: и ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F=I=0}$ $${\displaystyle \psi _{1}=Ge^{\alpha x}}$$ $${\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}}$$

Далее, мы знаем, что общая функция должна быть непрерывной и дифференцируемой. Другими словами, значения функций и их производных должны совпадать в точках деления: ${\displaystyle \psi }$

Эти уравнения имеют два вида решений, симметричные, для которых и , и антисимметричные, для которых и . Для симметричного случая получаем так что взяв отношение, получаем ${\displaystyle A=0}$ ${\displaystyle G=H}$ ${\displaystyle B=0}$ ${\displaystyle G=-H}$ $${\displaystyle He^{-\alpha L/2}=B\cos(kL/2)}$$ $${\displaystyle -\alpha He^{-\alpha L/2}=-kB\sin(kL/2)}$$

Корни уравнения для квантованных уровней энергии

$${\displaystyle \alpha =k\tan(kL/2).}$$Аналогично для антисимметричного случая получаем $${\displaystyle \alpha =-k\cot(kL/2).}$$

Напомним, что и и зависят от энергии. Мы обнаружили, что условия непрерывности не могут быть удовлетворены для произвольного значения энергии; потому что это является результатом случая бесконечной потенциальной ямы. Таким образом, разрешены только определенные значения энергии, которые являются решениями одного или любого из этих двух уравнений. Следовательно, мы находим, что уровни энергии системы ниже являются дискретными; соответствующие собственные функции являются связанными состояниями . (Напротив, для уровней энергии выше они непрерывны. ^[2] ) ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$

Уравнения энергии не могут быть решены аналитически. Тем не менее, мы увидим, что в симметричном случае всегда существует по крайней мере одно связанное состояние, даже если яма очень мелкая. ^[3] Графические или численные решения уравнений энергии облегчаются их небольшой переписью, и следует отметить, что Лима нашел хороший метод приближения, который работает для любой пары параметров и . ^[4] Если мы введем безразмерные переменные и , и заметим из определений и , что , где , основные уравнения будут иметь вид ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle u=\alpha L/2}$ ${\displaystyle v=kL/2}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle u^{2}=u_{0}^{2}-v^{2}}$ ${\displaystyle u_{0}^{2}=mL^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}}$ $${\displaystyle {\sqrt {u_{0}^{2}-v^{2}}}={\begin{cases}v\tan v,&{\text{(symmetric case) }}\\-v\cot v,&{\text{(antisymmetric case) }}\end{cases}}}$$

На графике справа для существуют решения, где синий полукруг пересекает фиолетовые или серые кривые ( и ). Каждая фиолетовая или серая кривая представляет возможное решение в пределах . Таким образом, общее количество решений, , (т.е. количество фиолетовых/серых кривых, которые пересекаются синим кругом) определяется путем деления радиуса синего круга, , на диапазон каждого решения и использования функций пола или потолка: ^[5] ${\displaystyle u_{0}^{2}=20}$ ${\displaystyle v\tan v}$ ${\displaystyle -v\cot v}$ ${\displaystyle v_{j}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}(j-1)\leq v_{i}<{\frac {\pi }{2}}j}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle \pi /2}$ $${\displaystyle N=\left\lfloor {\frac {2u_{0}}{\pi }}\right\rfloor +1=\left\lceil {\frac {2u_{0}}{\pi }}\right\rceil }$$

В этом случае существует ровно три решения, так как . ${\displaystyle N=\lceil 2{\sqrt {20}}/\pi \rceil =\lceil 2.85\rceil =3}$

Решения конечной квадратной ямы

${\displaystyle v_{1}=1.28,v_{2}=2.54}$и , с соответствующими энергиями Если мы хотим, мы можем вернуться и найти значения констант в уравнениях сейчас (нам также нужно наложить условие нормировки). Справа мы показываем уровни энергии и волновые функции в этом случае (где ). ${\displaystyle v_{3}=3.73}$ $${\displaystyle E_{n}={2\hbar ^{2}v_{n}^{2} \over mL^{2}}.}$$ ${\displaystyle A,B,G,H}$ ${\textstyle x_{0}\equiv \hbar /{\sqrt {2mV_{0}}}}$

Отметим, что как бы ни была мала яма (насколь бы мелкой или узкой она ни была), всегда существует по крайней мере одно связанное состояние. ${\displaystyle u_{0}}$

Стоит отметить два особых случая. По мере того, как высота потенциала становится больше , радиус полукруга становится больше, а корни становятся все ближе и ближе к значениям , и мы возвращаемся к случаю бесконечной квадратной ямы . ${\displaystyle V_{0}\to \infty }$ ${\displaystyle v_{n}=n\pi /2}$

Другой случай — это очень узкая, глубокая яма — в частности, случай и с фиксированным. Поскольку он будет стремиться к нулю, и поэтому будет только одно связанное состояние. Приближенное решение тогда , а энергия стремится к . Но это всего лишь энергия связанного состояния дельта -функции потенциала силы , как и должно быть. ${\displaystyle V_{0}\to \infty }$ ${\displaystyle L\to 0}$ ${\displaystyle V_{0}L}$ ${\displaystyle u_{0}\propto {\sqrt {V_{0}}}L}$ ${\displaystyle v^{2}=u_{0}^{2}-u_{0}^{4}}$ ${\displaystyle E=-mL^{2}V_{0}^{2}/2\hbar ^{2}}$ ${\displaystyle V_{0}L}$

Более простое графическое решение для уровней энергии может быть получено путем нормализации потенциала и энергии путем умножения на . Нормализованные величины напрямую задают соотношение между разрешенными парами как ^[6] для четных и нечетных волновых функций соответственно. В предыдущих уравнениях должны рассматриваться только положительные производные части функций. Диаграмма, напрямую дающая разрешенные пары, представлена ​​на рисунке. ${\displaystyle {8m}{L^{2}}/h^{2}}$ $${\displaystyle {\tilde {V}}_{0}=V_{0}{\frac {8m}{h^{2}}}L^{2}\qquad {\tilde {E}}=E{\frac {8m}{h^{2}}}L^{2}}$$ ${\displaystyle (V_{0},E)}$ $${\displaystyle {\sqrt {{\tilde {V}}_{0}}}={\sqrt {\tilde {E}}}\,\left|{\sec({\sqrt {\tilde {E}}}\,{\pi }/{2})}\right|,\qquad {\sqrt {{\tilde {V}}_{0}}}={\sqrt {\tilde {E}}}\,\left|{\csc({\sqrt {\tilde {E}}}\,{\pi }/{2})}\right|}$$ ${\displaystyle (V_{0},E)}$

Несвязанные состояния

Если мы решим не зависящее от времени уравнение Шредингера для энергии , решения будут колебательными как внутри, так и снаружи ямы. Таким образом, решение никогда не является квадратично интегрируемым; то есть это всегда ненормализуемое состояние. Это не означает, однако, что квантовая частица не может иметь энергию больше , это просто означает, что система имеет непрерывный спектр выше . Ненормализуемые собственные состояния достаточно близки к квадратично интегрируемым, так что они все еще вносят вклад в спектр гамильтониана как неограниченного оператора. ^[7] ${\displaystyle E>V_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$

Асимметричный колодец

Рассмотрим одномерную асимметричную потенциальную яму, заданную потенциалом ^[8] с . Соответствующее решение для волновой функции с оказывается и $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{1},&{\text{if }}-\infty <x<0{\text{ (the region outside the well)}}\\0,&{\text{if }}0<x<a{\text{ (the region inside the well)}}\\V_{2}&{\text{if }}a<x<\infty {\text{ (the region outside the well)}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle V_{2}>V_{1}}$ ${\displaystyle E<V_{1}}$ $${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}c_{1}e^{k_{1}x},&{\text{for }}x<0,{\text{where }}k_{1}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{1}-E)}}\\c\sin(kx+\delta ),&{\text{for }}0<x<a,{\text{where }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\c_{2}e^{-k_{2}x},&{\text{for }}x>a,{\text{where }}k_{2}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{2}-E)}}\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \sin \delta ={\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{1}}}}.}$$

Уровни энергии определяются после решения в качестве корня следующего трансцендентного уравнения , где Существование корня для приведенного выше уравнения не всегда гарантируется, например, всегда можно найти значение настолько малое, что для заданных значений и не существует дискретного уровня энергии. Результаты симметричной ямы получаются из приведенного выше уравнения путем установки . ${\displaystyle E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle ka=n\pi -\sin ^{-1}\left({\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{1}}}}\right)-\sin ^{-1}\left({\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{2}}}}\right)}$$ ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}=V_{2}=V_{o}}$

Частица в сферической потенциальной яме

Рассмотрим следующую сферическую потенциальную яму , где — радиус от начала координат. Решение для волновой функции с нулевым угловым моментом ( ) и с энергией дается выражением ^[8], удовлетворяющим условию $${\displaystyle U(r)={\begin{cases}-U_{0},&{\text{if }}r<a{\text{ (the region inside the well)}}\\0,&{\text{if }}r>a{\text{ (the region outside the well)}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle l=0}$ ${\displaystyle E<0}$ $${\displaystyle \psi (r)={\begin{cases}{\frac {A}{r}}\sin kr,&{\text{for }}r<a,{\text{where }}k={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(U_{0}-|E|)}}\\{\frac {B}{r}}e^{-\kappa r},&{\text{for }}r>a,{\text{where }}\kappa ={\sqrt {2m|E|/\hbar ^{2}}}={\sqrt {2mU_{0}/\hbar ^{2}-k^{2}}}.\end{cases}}}$$

${\displaystyle k\cot ka=-\kappa .}$

Это уравнение не всегда имеет решение, указывающее на то, что в некоторых случаях связанных состояний нет. Минимальная глубина потенциальной ямы, при которой впервые появляется связанное состояние, определяется как ${\displaystyle E=0}$

${\displaystyle U_{0,\mathrm {min} }={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{8ma^{2}}}}$

которая увеличивается с уменьшением радиуса ямы . Таким образом, связанные состояния невозможны, если яма достаточно мелкая и узкая. Для глубины ямы, немного превышающей минимальное значение, т.е. для , энергия основного состояния (поскольку мы рассматриваем случай) определяется выражением ^[9] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U_{0}/U_{0,\mathrm {min} }-1\ll 1}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle l=0}$

${\displaystyle -E_{1}={\frac {\pi ^{2}}{16}}{\frac {(|U_{0}|-U_{0,\mathrm {min} })^{2}}{U_{0,\mathrm {min} }}}.}$

Сферически симметричная кольцевая скважина

Приведенные выше результаты можно использовать для того, чтобы показать, что в одномерном случае в сферической полости существуют два связанных состояния, поскольку сферические координаты делают радиус эквивалентным в любом направлении.

Основное состояние ( n = 1) сферически симметричного потенциала всегда будет иметь нулевой орбитальный угловой момент (ℓ = n−1), а приведенная волновая функция удовлетворяет уравнению , где — радиальная часть волновой функции. Обратите внимание, что для ( n = 1) угловая часть постоянна ( ℓ = 0). ${\displaystyle \chi (r)\equiv r\psi (r)}$ $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}+U(r)\chi (r)=E\chi (r)}$$ ${\displaystyle \psi (r)}$

Это идентично одномерному уравнению, за исключением граничных условий. Как и прежде, $${\displaystyle \chi (r)={\begin{cases}c_{1}\sin({k_{1}r}),&{\text{for }}r<a,{\text{ where }}k_{1}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{1}-E)}}\\[1ex]c\sin({kr+\delta }),&{\text{for }}a<r<b,{\text{ where }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\[1ex]c_{2}e^{-k_{2}r},&{\text{for }}r>b,{\text{ where }}k_{2}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{2}-E)}}\end{cases}}}$$

Уровни энергии определяются после решения как корень следующего трансцендентного уравнения , где ${\displaystyle a<r<b}$ $${\displaystyle E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}}$$ ${\displaystyle {\displaystyle k}}$ $${\displaystyle k(b-a)=n\pi }$$ ${\displaystyle {\displaystyle n=1,2,3,\dots }}$

Существование корня в приведенном выше уравнении всегда гарантировано. Результаты всегда имеют сферическую симметрию. Это удовлетворяет условию, при котором волна не находит никакого потенциала внутри сферы: . ${\displaystyle \chi (a)=\chi (0)=0}$

Другое дифференциальное уравнение лежит при ℓ ≠0, как и в заголовках выше, вот оно:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}+{\begin{Bmatrix}k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\end{Bmatrix}}\chi (r)=0}$

Решение можно рационализировать, заменяя некоторые переменные и функции, чтобы получить дифференциальное уравнение типа Бесселя, решение которого имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\chi (r)}{r}}={\begin{cases}Aj_{l}({k_{1}r}),&{\text{for }}r<a,{\text{ where }}k_{1}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{1}-E)}}\\[1ex]Aj_{l}({kr})+By_{l}({kr}),&{\text{for }}a<r<b,{\text{ where }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\[1ex]Ch_{l}^{(1)}({k_{2}r}),&{\text{for }}r>b,{\text{ where }}k_{2}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{2}-E)}}\end{cases}}}$

где , и являются сферическими функциями Бесселя, Ньюмена и Ганкеля соответственно и могут быть переписаны как функции стандартной функции Бесселя. ${\displaystyle j_{l}{(kr)}}$ ${\displaystyle y_{l}({kr})}$ ${\displaystyle h_{l}^{(1)}({kr})}$

Уровни энергии для ${\displaystyle a<r<b}$

$${\displaystyle E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}}$$

определяются после решения как корень следующего трансцендентного уравнения ${\displaystyle {\displaystyle k}}$

$${\displaystyle k(b-a)={\frac {4n\pi }{2\ell +1}}}$$

где ${\displaystyle {\displaystyle n=1,2,3,\dots }}$

Также эти два трансцендентных уравнения являются решениями: и также, ${\displaystyle {\displaystyle k}}$ $${\displaystyle kb={\frac {n\pi }{2\ell +1}}{\begin{Bmatrix}3-2\sin ^{2}\left(\pi {\frac {\ell +1}{2}}\right)\end{Bmatrix}}}$$ $${\displaystyle ka={\frac {n\pi }{2\ell +1}}{\begin{Bmatrix}3-2\sin ^{2}\left(\pi {\frac {\ell +1}{2}}\right)\end{Bmatrix}}}$$

Существование корней для приведенных выше уравнений всегда гарантировано. Результаты всегда имеют сферическую симметрию.

Смотрите также

• Потенциальная скважина
• Дельта-функция потенциала
• Бесконечная потенциальная яма
• Полукруглая потенциальная яма
• Квантовое туннелирование
• Прямоугольный потенциальный барьер

Ссылки

1. Холл 2013 Предложение 5.1
2. Холл 2013 Раздел 5.5
3. Холл 2013 Предложение 5.3
4. Лима, Фабио МС (2020). «Более простое графическое решение и приближенная формула для собственных значений энергии в конечных квадратных квантовых ямах». Am. J. Phys . 88 (11): 1019. doi :10.1119/10.0001694.
5. Уильямс, Флойд (2003). Темы квантовой механики. Springer Science+Business Media. стр. 57. ISBN 978-1-4612-6571-9.
6. Chiani, M. (2016). «Диаграмма энергетических уровней квадратной квантовой ямы». arXiv : 1610.04468 [physics.gen-ph].
7. Холл 2013 Раздел 5.5 и Упражнение 4 в Главе 3
8. Ландау, Л. Д. и Лифшиц, Э. М. (2013). Квантовая механика: нерелятивистская теория (т. 3). Elsevier.
9. Переломов, А. М., Зельдович, Я. Б. (1998). Квантовая механика, избранные вопросы. World Scientific.

Дальнейшее чтение

• Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Prentice-Hall . ISBN 0-13-111892-7.
• Холл, Брайан С. (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer