Первое счетное пространство

Топологическое пространство, в котором каждая точка имеет счетный базис окрестностей.

В топологии , разделе математики , пространство первой счётности — это топологическое пространство, удовлетворяющее «первой аксиоме счётности ». В частности, пространство называется первосчетным, если каждая точка имеет счетный базис окрестности (локальную базу). То есть для каждой точки существует последовательность окрестностей такой , что для любой окрестности существует целое число с содержащимся в Поскольку каждая окрестность любой точки содержит открытую окрестность этой точки, базис окрестности можно выбрать без потери в целом состоять из открытых кварталов. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N_{1},N_{2},\ldots }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle N.}$

Примеры и контрпримеры

Большинство «повседневных» пространств в математике являются счетными. В частности, всякое метрическое пространство первично счетно. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что набор открытых шаров с центром и радиусом для целых чисел образует счетную локальную базу в точке. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle x.}$

Примером пространства, которое не является счетным в первую очередь, является коконечная топология на несчетном множестве (например, вещественная линия ).

Другой контрпример — порядковое пространство , где — первое неисчисляемое порядковое число. Элемент является предельной точкой подмножества , даже если ни одна последовательность элементов в нем не имеет этого элемента в качестве предела. В частности, точка пространства не имеет счетной локальной базы. Однако, поскольку это единственная такая точка, подпространство счетно в первую очередь. ${\displaystyle \omega _{1}+1=\left[0,\omega _{1}\right]}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right)}$ ${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right)}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}+1=\left[0,\omega _{1}\right]}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}=\left[0,\omega _{1}\right)}$

Факторпространство , в котором натуральные числа на действительной прямой идентифицируются как одна точка, не является первым счетным . ^[1] Однако это пространство обладает тем свойством, что для любого подмножества и каждого элемента замыкания существует последовательность в A, сходящаяся к пространству A с этим свойством последовательности, которое иногда называют пространством Фреше – Урысона . ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {N} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle x.}$

Первая счетность строго слабее второй счетности . Всякое пространство со второй счетностью является счетным первым, но любое несчетное дискретное пространство является счетным первым, но не счетным вторым.

Характеристики

Одним из наиболее важных свойств пространств с первой счетностью является то, что для данного подмножества точка лежит в замыкании тогда и только тогда , когда существует последовательность , сходящаяся к (Другими словами, каждое пространство с первой счетностью является пространством Фреше-Урысона пространство и, следовательно, также последовательное пространство .) Это имеет последствия для ограничений и непрерывности . В частности, если - функция в пространстве с первой счетностью, то она имеет предел в точке тогда и только тогда, когда для каждой последовательности где для всех мы имеем Кроме того, если - функция в пространстве с первой счетностью, то она непрерывна, если и только если когда-нибудь тогда ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{n}\to x,}$ ${\displaystyle x_{n}\neq x}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle f\left(x_{n}\right)\to L.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{n}\to x,}$ ${\displaystyle f\left(x_{n}\right)\to f(x).}$

В первых счетных пространствах секвенциальная компактность и счетная компактность являются эквивалентными свойствами. Однако существуют примеры секвенциально компактных, счетных пространств, которые не являются компактными (это обязательно не метризуемые пространства). Одним из таких пространств является порядковое пространство. Каждое счетное пространство компактно порождается . ${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right).}$

Каждое подпространство первосчетного пространства является первосчетным. Любое счетное произведение первосчетного пространства является первосчетным, хотя несчетные произведения не обязательно таковые.

Смотрите также

• Пространство Фреше – Урысона  - Свойство топологического пространства.
• Второе счетное пространство  - Топологическое пространство, топология которого имеет счетную базу.
• Сепарабельное пространство  - Топологическое пространство с плотным счетным подмножеством.
• Секвенциальное пространство  - Топологическое пространство, характеризующееся последовательностями.

Рекомендации

1. (Энгелькинг 1989, пример 1.6.18)

Библиография

• «Первая аксиома счетности», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Серия сигм в чистой математике, Vol. 6 (Переработанное и дополненное изд.). Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3885380064.