Серия Эйзенштейна

Серия, представляющая модульные формы

Ряды Эйзенштейна , названные в честь немецкого математика Готхольда Эйзенштейна , ^[1] являются частными модулярными формами с бесконечными рядами расширений, которые могут быть записаны напрямую. Первоначально определенные для модулярной группы , ряды Эйзенштейна могут быть обобщены в теории автоморфных форм .

Ряд Эйзенштейна для модульной группы

Действительная часть G ₆ как функция q на единичном круге . Отрицательные числа — черные.

Мнимая часть G ₆ как функция q на единичном круге.

Пусть τ — комплексное число со строго положительной мнимой частью . Определим голоморфный ряд Эйзенштейна G _{2 k} ( τ ) веса 2 k , где k ≥ 2 — целое число, следующим рядом: ^[2]

${\displaystyle G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.}$

Этот ряд абсолютно сходится к голоморфной функции τ в верхней полуплоскости , и его разложение Фурье, приведенное ниже, показывает, что он продолжается до голоморфной функции при τ = i ∞ . Примечательным фактом является то, что ряд Эйзенштейна является модулярной формой . Действительно, ключевым свойством является его SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -ковариантность. Явно, если a , b , c , d ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ и ad − bc = 1 , то

${\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )}$

(Доказательство)

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m+n{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)^{2k}}}\\&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{(md+nb+(mc+na)\tau )^{2k}}}\\&=\sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}\end{aligned}}}$

Если ad − bc = 1 , то

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}\ a&-c\\-b&\ d\end{pmatrix}}}$

так что

${\displaystyle (m,n)\mapsto (m,n){\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}}$

является биекцией ² → ² , т.е.: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}=\sum _{\left(m',n'\right)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m'+n'\tau )^{2k}}}=G_{2k}(\tau )}$

В целом, если ad − bc = 1 , то

${\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )}$

и G _{2 k} является, следовательно, модулярной формой веса 2 k . Обратите внимание, что важно предположить, что k ≥ 2 , в противном случае было бы неправомерно менять порядок суммирования, и SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -инвариантность не соблюдалась бы. На самом деле, нетривиальных модулярных форм веса 2 не существует. Тем не менее, аналог голоморфного ряда Эйзенштейна может быть определен даже для k = 1 , хотя это будет только квазимодулярная форма .

Обратите внимание, что k ≥ 2 необходимо для того, чтобы ряд сходился абсолютно, тогда как k должно быть четным, иначе сумма обращается в нуль, поскольку члены (- m , - n ) и ( m , n ) сокращаются. При k = 2 ряд сходится, но он не является модулярной формой.

Отношение к модулярным инвариантам

Модульные инварианты g ₂ и g ₃ эллиптической кривой задаются первыми двумя рядами Эйзенштейна: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}&=60G_{4}\\g_{3}&=140G_{6}.\end{aligned}}}$

В статье о модулярных инвариантах приводятся выражения для этих двух функций в терминах тета-функций .

Рекуррентное соотношение

Любая голоморфная модулярная форма для модулярной группы ^[4] может быть записана как полином от G ₄ и G ₆ . В частности, высший порядок G _{2 k} может быть записан в терминах G ₄ и G ₆ через рекуррентное соотношение . Пусть d _k = (2 k + 3) k ! G _{2 k + 4} , так что, например, d ₀ = 3 G ₄ и d ₁ = 5 G ₆ . Тогда d _k удовлетворяют соотношению

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}}$

для всех n ≥ 0. Здесь — биномиальный коэффициент . ${\displaystyle n \choose k}$

Параметр d _k встречается в разложении ряда для эллиптических функций Вейерштрасса :

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z)&={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}.\end{aligned}}}$

ряд Фурье

Г ₄

Г ₆

Г ₈

Г ₁₀

Г ₁₂

Г ₁₄

Определим q = e ^{2π iτ} . (В некоторых старых книгах q определяется как ном q = e ^{π iτ} , но q = e ^{2 π iτ} теперь является стандартом в теории чисел.) Тогда ряд Фурье ряда Эйзенштейна ^[5] имеет вид

${\displaystyle G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)}$

где коэффициенты c _{2 k} определяются как

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2k}&={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}\\[4pt]&={\frac {-4k}{B_{2k}}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}.\end{aligned}}}$

Здесь B _n — числа Бернулли , ζ ( z ) — дзета-функция Римана , а σ _p ( n ) — функция суммы делителей , сумма p -х степеней делителей числа n . В частности, имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)\\[4pt]G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left(1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right).\end{aligned}}}$

Суммирование по q можно пересчитать в ряд Ламберта ; то есть, имеем

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}$

для произвольных комплексных | q | < 1 и a . При работе с q -разложением ряда Эйзенштейна часто вводится это альтернативное обозначение:

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2k}(\tau )&={\frac {G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}\\&=1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{d,n\geq 1}n^{2k-1}q^{nd}.\end{aligned}}}$

Идентификации, связанные с серией Эйзенштейна

Как тета-функции

Источник: ^[6]

Учитывая, что q = e ^{2 π iτ} , пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{8}(\tau )&=1+480\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{7}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}}$

и определить тета-функции Якоби , которые обычно используют ном e ^{π iτ} ,

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\theta _{2}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}}$

где θ _m и ϑ _ij — альтернативные обозначения. Тогда мы имеем симметричные соотношения,

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{4}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\[4pt]E_{6}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}\\[4pt]E_{8}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{16}+b^{16}+c^{16}\right)=a^{8}b^{8}+a^{8}c^{8}+b^{8}c^{8}\end{aligned}}}$

Базовая алгебра сразу подразумевает

${\displaystyle E_{4}^{3}-E_{6}^{2}={\tfrac {27}{4}}(abc)^{8}}$

выражение, связанное с модульным дискриминантом ,

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}}$

Третье симметричное отношение, с другой стороны, является следствием E ₈ = E²
₄и а ⁴ − b ⁴ + с ⁴ = 0 .

Изделия серии Эйзенштейн

Ряды Эйзенштейна образуют наиболее явные примеры модулярных форм для полной модулярной группы SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ . Поскольку пространство модулярных форм веса 2 k имеет размерность 1 для 2 k = 4, 6, 8, 10, 14 , различные произведения рядов Эйзенштейна, имеющие эти веса, должны быть равны с точностью до скалярного кратного. Фактически, мы получаем тождества: ^[7]

${\displaystyle E_{4}^{2}=E_{8},\quad E_{4}E_{6}=E_{10},\quad E_{4}E_{10}=E_{14},\quad E_{6}E_{8}=E_{14}.}$

Используя приведенные выше q -разложения ряда Эйзенштейна, их можно переформулировать как тождества, включающие суммы степеней делителей:

${\displaystyle \left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)^{2}=1+480\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{7}(n)q^{n},}$

следовательно

${\displaystyle \sigma _{7}(n)=\sigma _{3}(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m),}$

и аналогично для остальных. Тета-функция восьмимерной четной унимодулярной решетки Γ является модулярной формой веса 4 для полной модулярной группы, что дает следующие тождества:

${\displaystyle \theta _{\Gamma }(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\infty }r_{\Gamma }(2n)q^{n}=E_{4}(\tau ),\qquad r_{\Gamma }(n)=240\sigma _{3}(n)}$

для числа r _Γ ( n ) векторов квадрата длины 2 n в решетке корней типа E ₈ .

Аналогичные методы, включающие голоморфные ряды Эйзенштейна, скрученные характером Дирихле, дают формулы для числа представлений положительного целого числа n ' в виде суммы двух, четырех или восьми квадратов в терминах делителей n .

Используя приведенное выше рекуррентное соотношение, все высшие E _{2 k} можно выразить как полиномы от E ₄ и E ₆ . Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{8}&=E_{4}^{2}\\E_{10}&=E_{4}\cdot E_{6}\\691\cdot E_{12}&=441\cdot E_{4}^{3}+250\cdot E_{6}^{2}\\E_{14}&=E_{4}^{2}\cdot E_{6}\\3617\cdot E_{16}&=1617\cdot E_{4}^{4}+2000\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{2}\\43867\cdot E_{18}&=38367\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}+5500\cdot E_{6}^{3}\\174611\cdot E_{20}&=53361\cdot E_{4}^{5}+121250\cdot E_{4}^{2}\cdot E_{6}^{2}\\77683\cdot E_{22}&=57183\cdot E_{4}^{4}\cdot E_{6}+20500\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{3}\\236364091\cdot E_{24}&=49679091\cdot E_{4}^{6}[phone]\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}^{2}[phone]\cdot E_{6}^{4}\end{aligned}}}$

Многие соотношения между произведениями рядов Эйзенштейна можно записать элегантным способом с использованием определителей Ганкеля , например, тождества Гарвана.

${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{(2\pi )^{12}}}\right)^{2}=-{\frac {691}{1728^{2}\cdot 250}}\det {\begin{vmatrix}E_{4}&E_{6}&E_{8}\\E_{6}&E_{8}&E_{10}\\E_{8}&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}}}$

где

${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}{\frac {E_{4}^{3}-E_{6}^{2}}{1728}}}$

является модульным дискриминантом . ^[8]

Идентификации Рамануджана

Шриниваса Рамануджан дал несколько интересных тождеств между первыми несколькими сериями Эйзенштейна, включающими дифференциацию. ^[9] Пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}L(q)&=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{2}(\tau )\\M(q)&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{4}(\tau )\\N(q)&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{6}(\tau ),\end{aligned}}}$

затем

${\displaystyle {\begin{aligned}q{\frac {dL}{dq}}&={\frac {L^{2}-M}{12}}\\q{\frac {dM}{dq}}&={\frac {LM-N}{3}}\\q{\frac {dN}{dq}}&={\frac {LN-M^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$

Эти тождества, как и тождества между рядами, дают арифметические тождества свертки , включающие функцию суммы делителя . Следуя Рамануджану, чтобы привести эти тождества к простейшей форме, необходимо расширить область σ _p ( n ), включив в нее ноль, установив

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{p}(0)={\tfrac {1}{2}}\zeta (-p)\quad \Longrightarrow \quad \sigma (0)&=-{\tfrac {1}{24}}\\\sigma _{3}(0)&={\tfrac {1}{240}}\\\sigma _{5}(0)&=-{\tfrac {1}{504}}.\end{aligned}}}$

Тогда, например,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sigma (k)\sigma (n-k)={\tfrac {5}{12}}\sigma _{3}(n)-{\tfrac {1}{2}}n\sigma (n).}$

Другие тождества этого типа, но не связанные напрямую с предыдущими соотношениями между функциями L , M и N , были доказаны Рамануджаном и Джузеппе Мельфи , ^{[10] [11],} например

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{120}}\sigma _{7}(n)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (2k+1)\sigma _{3}(n-k)&={\tfrac {1}{240}}\sigma _{5}(2n+1)\\\sum _{k=0}^{n}\sigma (3k+1)\sigma (3n-3k+1)&={\tfrac {1}{9}}\sigma _{3}(3n+2).\end{aligned}}}$

Обобщения

Автоморфные формы обобщают идею модулярных форм для общих групп Ли ; и ряды Эйзенштейна обобщают аналогичным образом.

Определяя O _K как кольцо целых чисел вполне вещественного алгебраического числового поля K , можно затем определить модулярную группу Гильберта–Блюменталя как PSL(2, O _K ) . Затем можно связать ряд Эйзенштейна с каждой точкой возврата модулярной группы Гильберта–Блюменталя.

Ссылки

1. "Готхольд Эйзенштейн - Биография". История математики . Получено 2023-09-05 .
2. Гекелер, Эрнст-Ульрих (2011). «ПАРА-ЭЙЗЕНШТЕЙНОВЫ РЯДЫ ДЛЯ МОДУЛЬНОЙ ГРУППЫ GL(2, 𝔽q[T])». Taiwanese Journal of Mathematics . 15 (4): 1463–1475. doi : 10.11650/twjm/1500406358 . ISSN  1027-5487. S2CID  119499748.
3. Obers, NA; Pioline, B. (2000-03-07). «Ряды Эйзенштейна в теории струн». Классическая и квантовая гравитация . 17 (5): 1215–1224. arXiv : hep-th/9910115 . Bibcode :2000CQGra..17.1215O. doi :10.1088/0264-9381/17/5/330. ISSN  0264-9381. S2CID  250864942.
4. Мертенс, Майкл Х.; Ролен, Ларри (2015). «Лакунарные повторения для рядов Эйзенштейна». Исследования по теории чисел . 1. arXiv : 1504.00356 . doi : 10.1007/s40993-015-0010 - x . ISSN  2363-9555.
5. Карел, Мартин Л. (1974). «Коэффициенты Фурье некоторых рядов Эйзенштейна». Annals of Mathematics . 99 (1): 176–202. doi :10.2307/1971017. ISSN  0003-486X. JSTOR  1971017.
6. «Как доказать тождественность этой серии с использованием серии Эйзенштейна?». Mathematics Stack Exchange . Получено 2023-09-05 .
7. Диксон, Мартин; Нейрурер, Майкл (2018). «Продукты рядов Эйзенштейна и разложения Фурье модулярных форм в точках возврата». Журнал теории чисел . 188 : 137–164. arXiv : 1603.00774 . doi : 10.1016/j.jnt.2017.12.013. S2CID  119614418.
8. Милн, Стивен С. (2000). «Определители Ганкеля рядов Эйзенштейна». arXiv : math/0009130v3 .В статье используется неэквивалентное определение , но это учтено в данной статье. ${\displaystyle \Delta }$
9. Бхуван, EN; Васуки, KR (2019-06-24). "О тождестве ряда Эйзенштейна Рамануджана пятнадцатого уровня". Труды - Математические науки . 129 (4): 57. doi :10.1007/s12044-019-0498-4. ISSN  0973-7685. S2CID  255485301.
10. Рамануджан, Шриниваса (1962). «О некоторых арифметических функциях». Сборник статей . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Челси. С. 136–162.
11. Мелфи, Джузеппе (1998). «О некоторых модулярных тождествах». Теория чисел, диофантовы, вычислительные и алгебраические аспекты: Труды международной конференции, состоявшейся в Эгере, Венгрия . Вальтер де Грютьер и Ко., стр. 371–382.

Дальнейшее чтение

• Ахиезер, Наум Ильич (1970). Элементы теории эллиптических функций . Москва.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)Перевод на английский язык как Элементы теории эллиптических функций . Переводы математических монографий AMS 79. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . 1990. ISBN 0-8218-4532-2.
• Апостол, Том М. (1990). Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел (2-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer . ISBN 0-387-97127-0.
• Чан, Хэн Хуат; Онг, Яу Линь (1999). «О рядах Эйзенштейна» (PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 127 (6): 1735–1744. doi : 10.1090/S0002-9939-99-04832-7 .
• Iwaniec, Henryk (2002). Спектральные методы автоморфных форм . Graduate Studies in Mathematics 53 (2nd ed.). Providence, RI: American Mathematical Society . ch. 3. ISBN 0-8218-3160-7.
• Серр, Жан-Пьер (1973). Курс арифметики . Graduate Texts in Mathematics 7 (перевод. ред.). Нью-Йорк и Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 9780387900407.