Теорема о проекционном сечении

Теорема в математике

Теорема Фурье о срезе

В математике теорема о проекционном сечении , теорема о центральном сечении или теорема Фурье о сечении в двух измерениях утверждает, что результаты следующих двух вычислений равны:

• Возьмите двумерную функцию f ( r ), спроецируйте ее (например, с помощью преобразования Радона ) на (одномерную) прямую и выполните преобразование Фурье этой проекции.
• Возьмем ту же функцию, но сначала выполним двумерное преобразование Фурье, а затем разрежем ее по началу координат, которое параллельно линии проекции.

С точки зрения оператора, если

• F ₁ и F ₂ — операторы одномерного и двумерного преобразования Фурье, упомянутые выше,
• P ₁ — оператор проекции (который проецирует двумерную функцию на одномерную линию),
• S ₁ — оператор среза (который извлекает одномерный центральный срез из функции),

затем

${\displaystyle F_{1}P_{1}=S_{1}F_{2}.}$

Эту идею можно распространить и на более высокие измерения.

Эта теорема используется, например, при анализе медицинских КТ- снимков, где «проекция» представляет собой рентгеновское изображение внутреннего органа. Преобразования Фурье этих изображений рассматриваются как срезы через преобразование Фурье трехмерной плотности внутреннего органа, и эти срезы могут быть интерполированы для построения полного преобразования Фурье этой плотности. Обратное преобразование Фурье затем используется для восстановления трехмерной плотности объекта. Этот метод был впервые выведен Рональдом Н. Брейсвеллом в 1956 году для задачи радиоастрономии. ^[1]

Теорема о проекционном сечении вНразмеры

В N измерениях теорема о проекционном сечении утверждает, что преобразование Фурье проекции N -мерной функции f ( r ) на m -мерное линейное подмногообразие равно m -мерному срезу N -мерного преобразования Фурье этой функции, состоящей из m -мерного линейного подмногообразия через начало координат в пространстве Фурье, которое параллельно проекционному подмногообразию. В операторных терминах:

${\displaystyle F_{m}P_{m}=S_{m}F_{N}.\,}$

Обобщенная теорема Фурье о срезе

В дополнение к обобщению на N измерений, теорема о проекции-срезе может быть дополнительно обобщена с произвольной заменой базиса. ^[2] Для удобства записи мы считаем, что замена базиса представлена ​​как B , N -на- N обратимая матрица, работающая с N -мерными векторами-столбцами. Тогда обобщенная теорема Фурье-среза может быть сформулирована как

${\displaystyle F_{m}P_{m}B=S_{m}{\frac {B^{-T}}{|B^{-T}|}}F_{N}}$

где — транспонирование обратного преобразования изменения базиса. ${\displaystyle B^{-T}=(B^{-1})^{T}}$

Доказательство в двух измерениях

Графическая иллюстрация теоремы о проекционном сечении в двух измерениях. f ( r ) и F ( k ) являются парами двумерных преобразований Фурье. Проекция f ( r ) на ось x является интегралом f ( r ) вдоль линий зрения, параллельных оси y , и обозначается p ( x ). Сечение через F ( k ) находится на оси k _x , которая параллельна оси x и обозначается s ( k _x ). Теорема о проекционном сечении утверждает, что p ( x ) и s ( k _x ) являются парами одномерных преобразований Фурье.

Теорема о проекционном сечении легко доказывается для случая двух измерений. Без потери общности мы можем взять проекционную линию за ось x . Нет потери общности, потому что если мы используем сдвинутую и повернутую линию, закон все еще применим. Использование сдвинутой линии (по y) дает ту же проекцию и, следовательно, те же результаты одномерного преобразования Фурье. Повернутая функция является парой Фурье повернутого преобразования Фурье, для которого теорема снова верна.

Если f ( x ,  y ) — двумерная функция, то проекция f ( x ,  y ) на ось x равна p ( x ), где

${\displaystyle p(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dy.}$

Преобразование Фурье равно ${\displaystyle f(x,y)}$

${\displaystyle F(k_{x},k_{y})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,e^{-2\pi i(xk_{x}+yk_{y})}\,dxdy.}$

Затем ломтик ${\displaystyle s(k_{x})}$

${\displaystyle s(k_{x})=F(k_{x},0)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,e^{-2\pi ixk_{x}}\,dxdy}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dy\right]\,e^{-2\pi ixk_{x}}dx}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\,e^{-2\pi ixk_{x}}dx}$

что является просто преобразованием Фурье p ( x ). Доказательство для более высоких размерностей легко обобщается из приведенного выше примера.

Цикл FHA

Если двумерная функция f ( r ) является кругово-симметричной, ее можно представить как f ( r ), где r  = | r |. В этом случае проекция на любую проекционную линию будет преобразованием Абеля функции f ( r ). Двумерное преобразование Фурье функции f ( r ) будет кругово-симметричной функцией, заданной преобразованием Ганкеля нулевого порядка функции f ( r ), которое, следовательно, также будет представлять любой срез через начало координат. Теорема о проекции-срезе тогда утверждает, что преобразование Фурье проекции равно срезу или

${\displaystyle F_{1}A_{1}=H,}$

где A ₁ представляет оператор преобразования Абеля, проецирующий двумерную кругово-симметричную функцию на одномерную прямую, F ₁ представляет оператор одномерного преобразования Фурье, а H представляет оператор преобразования Ганкеля нулевого порядка.

Расширение до веерного или конусно-лучевого КТ

Теорема о проекционном срезе подходит для реконструкции изображений КТ с параллельными проекциями пучка. Она не применяется напрямую к веерному или конусному КТ. Теорема была распространена на реконструкцию изображений КТ с веерным и конусным пучком Шуан-реном Чжао в 1995 году. ^[3]

Смотрите также

• Преобразование Радона § Связь с преобразованием Фурье

Ссылки

1. Брейсвелл, Рональд Н. (1956). «Интеграция полос в радиоастрономии». Australian Journal of Physics . 9 (2): 198–217. Bibcode : 1956AuJPh...9..198B. ​​doi : 10.1071/PH560198 .
2. Нг, Рен (2005). «Фурье-фотография» (PDF) . ACM Transactions on Graphics . 24 (3): 735–744. doi :10.1145/1073204.1073256.
3. Zhao SR и H.Halling (1995). "Новый метод Фурье для реконструкции веерного пучка". 1995 IEEE Nuclear Science Symposium and Medical Imaging Conference Record . Vol. 2. pp. 1287–91. doi :10.1109/NSSMIC.1995.510494. ISBN 978-0-7803-3180-8. S2CID  60933220.

Дальнейшее чтение

• Брейсвелл, Рональд Н. (1990). «Числовые преобразования». Science . 248 (4956): 697–704. Bibcode :1990Sci...248..697B. doi :10.1126/science.248.4956.697. PMID  17812072. S2CID  5643835.
• Брейсвелл, Рональд Н. (1956). "Интеграция полос в радиоастрономии". Aust. J. Phys . 9 (2): 198. Bibcode :1956AuJPh...9..198B. ​​doi : 10.1071/PH560198 .
• Гаскилл, Джек Д. (2005). Линейные системы, преобразования Фурье и оптика . John Wiley & Sons, Нью-Йорк. ISBN 978-0-471-29288-3.
• Нг, Рен (2005). «Фурье-фотография» (PDF) . ACM Transactions on Graphics . 24 (3): 735–744. doi :10.1145/1073204.1073256.
• Чжао, Шуан-Рен; Холлинг, Хорст (1995). «Реконструкция проекций конусного пучка со свободным путем источника с помощью обобщенного метода Фурье». Труды Международного совещания 1995 года по полной трехмерной реконструкции изображений в радиологии и ядерной медицине : 323–7.
• Garces, Daissy H.; Rhodes, William T.; Peña, Néstor (2011). «Теорема о проекционном сечении: компактная нотация». Журнал оптического общества Америки A . 28 (5): 766–769. Bibcode :2011JOSAA..28..766G. doi :10.1364/JOSAA.28.000766. PMID  21532686.

Внешние ссылки

• Теорема Фурье о срезе (видео). Часть курса «Компьютерная томография и ASTRA Toolbox». Университет Антверпена . 10 сентября 2015 г.