Частота превышения

Частота превышения , иногда называемая годовой нормой превышения , — это частота, с которой случайный процесс превышает некоторое критическое значение. Обычно критическое значение далеко от среднего. Обычно его определяют через количество пиков случайного процесса, находящихся за пределами границы. У него есть приложения, связанные с прогнозированием экстремальных явлений, таких как сильные землетрясения и наводнения .

Определение

Частота превышения — это количество раз, когда случайный процесс превышает некоторое критическое значение, обычно критическое значение, далекое от среднего значения процесса, в единицу времени. ^[1] Подсчет превышения критического значения может осуществляться либо путем подсчета пиков процесса, которые превышают критическое значение ^[1] , либо путем подсчета пересечений критического значения вверх, где переходом вверх является событие, при котором мгновенное значение процесса пересекает критическое значение. критическое значение с положительным наклоном. ^[1]^[2] В этой статье предполагается, что два метода подсчета превышений эквивалентны и что процесс имеет одно восходящее пересечение и один пик на каждое превышение. Однако процессы, особенно непрерывные процессы с высокочастотными компонентами и их спектральной плотностью мощности, могут иметь несколько восходящих переходов или несколько пиков в быстрой последовательности, прежде чем процесс вернется к своему среднему значению. ^[3]

Частота превышения гауссова процесса

Рассмотрим скалярный гауссов процесс с нулевым средним $y (t)$ с дисперсией $σ y 2$ и спектральной плотностью мощности $y (f)$ , где $f$ $является$ частотой. Со временем этот гауссов процесс имеет пики, превышающие некоторое критическое значение $y max > 0$ . Подсчитав количество пересечений $y max , частота превышения y$ $max определяется$ как [ 1 $]$ [ ²^]

N(y_{\max})=N_{0}e^{-{\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {y_{\max }}{\sigma _{y} }}\вправо)^{2}}.

$N 0$ представляет собой частоту восходящих пересечений 0 и связана со спектральной плотностью мощности следующим образом:

N_{0}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{\infty }{f^{2}\Phi _{y}(f)\,df}}{\int _ {0}^{\infty }{\Phi _{y}(f)\,df}}}}.

Для гауссовского процесса приближение, согласно которому количество пиков выше критического значения и количество переходов критического значения вверх одинаково, хорошо для $y max /σ y > 2$ и для узкополосного шума . ^[1]

Для спектральных плотностей мощности, которые спадают менее круто, чем $f -3$ , при $f \to\infty$ , интеграл в числителе $N 0$ не сходится. Хоблит дает методы аппроксимации $N 0$ в таких случаях с приложениями, направленными на непрерывные порывы ветра . ^[4]

Время и вероятность превышения

По мере развития случайного процесса с течением времени количество пиков, превысивших критическое значение $y max$ , растет и само по себе является процессом подсчета . Для многих типов распределений основного случайного процесса, включая гауссовские процессы, количество пиков выше критического значения $y max$ сходится к пуассоновскому процессу , поскольку критическое значение становится сколь угодно большим. Времена между приходами этого пуассоновского процесса распределены экспоненциально со скоростью затухания, равной частоте превышения $N (y max)$ . ^[5] Таким образом, среднее время между пиками, включая время пребывания или среднее время до самого первого пика, является обратной величиной частоты превышения $N -1 (y max)$ .

Если количество пиков, превышающих $y max,$ растет как пуассоновский процесс, то вероятность того, что в момент времени $t$ еще не было ни одного пика, превышающего $y max$ , равна $e - N (y max) t$ . ^[6] Его дополнение,

p_{ex}(t)=1-e^{-N(y_{\max})t},

— вероятность превышения , вероятность того, что $y max$ будет превышен хотя бы один раз к моменту времени $t$ . ^[7]^[8] Эта вероятность может быть полезна для оценки того, произойдет ли экстремальное событие в течение определенного периода времени, например, в течение срока службы конструкции или продолжительности операции.

Если $N (y max) t$ мало, например для частоты редкого события, происходящего за короткий период времени, то

{\ displaystyle p_ {ex} (t) \ приблизительно N (y_ {\ max}) t.}

$При этом предположении$ частота превышения равна вероятности превышения в единицу времени $pex / t$ , а вероятность превышения может быть вычислена путем простого умножения частоты превышения на указанный промежуток времени.

Приложения

Вероятность сильных землетрясений ^[9]
Прогноз погоды ^[10]
Гидрология и нагрузки на гидротехнические сооружения ^[11]
Порывистые нагрузки на самолеты ^[12]

Смотрите также

Примечания

^ abcde Hoblit 1988, стр. 51–54.
^ аб Райс 1945, стр. 54–55.
^ Ричардсон и др. 2014, стр. 2029–2030.
^ Хоблит 1988, стр. 229–235.
^ Ледбеттер, Линдгрен и Руцен 1983, стр. 176, 238, 260.
^ Феллер 1968, стр. 446–448.
^ Хоблит 1988, стр. 65–66.
^ Ричардсон и др. 2014, с. 2027.
^ Программа по опасности землетрясений (2016). «Опасность землетрясения 101 – Основы». Геологическая служба США . Проверено 26 апреля 2016 г.
^ Центр прогнозирования климата (2002). «Понимание прогнозных графиков вероятности превышения температуры и осадков». Национальная метеорологическая служба . Проверено 26 апреля 2016 г.
^ Гарсия, Рене (2015). «Раздел 2: Вероятность превышения». Руководство по гидравлическому проектированию . Департамент транспорта Техаса . Проверено 26 апреля 2016 г.
^ Хоблит 1988, Глава. 4.

Частота превышения

Определение