Размерность Гельфанда–Кириллова

В алгебре размерность Гельфанда –Кириллова (или размерность ГК ) правого модуля M над k -алгеброй A равна:

${\displaystyle \operatorname {GKdim} =\sup _{V,M_{0}}\limsup _{n\to \infty }\log _{n}\dim _{k}M_{0}V^{n}}$

где супремум берется по всем конечномерным подпространствам и . ${\displaystyle V\subset A}$ ${\displaystyle M_{0}\subset M}$

Говорят, что алгебра имеет полиномиальный рост , если ее размерность Гельфанда–Кириллова конечна.

Основные факты

• Размерность Гельфанда–Кириллова конечно порождённой коммутативной алгебры A над полем — это размерность Крулля A (или, что эквивалентно, степень трансцендентности поля частных A над базовым полем).
• В частности, размерность GK кольца многочленов равна n . ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$
• (Уорфилд) Для любого действительного числа r ≥ 2 существует конечно порожденная алгебра, размерность GK которой равна r . ^[1]

В теории D-модулей

Если задан правый модуль M над алгеброй Вейля , то размерность Гельфанда–Кириллова модуля M над алгеброй Вейля совпадает с размерностью M , которая по определению является степенью полинома Гильберта модуля M. Это позволяет доказать аддитивность в коротких точных последовательностях для размерности Гельфанда–Кириллова и, наконец, доказать неравенство Бернштейна , которое утверждает, что размерность модуля M должна быть не меньше n . Это приводит к определению голономных D-модулей как модулей с минимальной размерностью n , и эти модули играют большую роль в геометрической программе Ленглендса . ${\displaystyle A_{n}}$

Примечания

1. Артин 1999, Теорема VI.2.1.

Ссылки

• Смит, С. Пол; Чжан, Джеймс Дж. (1998). "Замечание о размерности Гельфанда–Кириллова" (PDF) . Труды Американского математического общества . 126 (2): 349–352. doi : 10.1090/S0002-9939-98-04074-X .
• Коутиньо: Учебник алгебраических D-модулей. Кембридж, 1995.

Дальнейшее чтение

• Артин, Майкл (1999). "Некоммутативные кольца" (PDF) . Глава VI.