постоянная Гельфонда

Константа е, возведенная в степень пи

В математике показатель степени ^числа пи eπ ^[1], также называемый постоянной Гельфонда ^[2] , представляет собой действительное число e, возведенное в степень π .

Его десятичное разложение имеет вид:

е ^π =23.140 692 632 779 269 005 72 ... (последовательность A039661 в OEIS )

Как и e и π , эта константа является как иррациональной , так и трансцендентной . Это следует из теоремы Гельфонда–Шнайдера , которая устанавливает трансцендентность a ^b , учитывая, что a является алгебраической и не равно нулю или единице , а b является алгебраической, но не рациональной . Имеем где i — мнимая единица . Поскольку − i является алгебраической, но не рациональной, e ^π является трансцендентной. Известно также, что числа π и e ^π алгебраически независимы над рациональными числами , как показал Юрий Нестеренко . ^[3] Неизвестно, является ли e ^π числом Лиувилля. ^[4] Константа была упомянута в седьмой проблеме Гильберта вместе с константой Гельфонда-Шнайдера 2 ^{√ 2} , а название «константа Гельфонда» происходит от советского математика Александра Гельфонда . ^[5] $${\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i},}$$

Происшествия

Константа e ^π появляется в зависимости от объемов гиперсфер :

Графики объемов ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle V_{n}}$ ) и площадей поверхностей ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle S_{n-1}}$ ) n -шаров радиуса 1 .

Объем n-сферы с радиусом R определяется по формуле: где Γ — гамма-функция . Рассматривая только единичные сферы ( R = 1 ), получаем: Любая четномерная 2 n-сфера теперь дает: суммирование всех объемов четномерных единичных сфер и использование разложения в ряд показательной функции дает: ^[6] Также имеем: $${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},}$$ $${\displaystyle V_{n}(1)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},}$$ $${\displaystyle V_{2n}(1)={\frac {\pi ^{n}}{\Gamma (n+1)}}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}(1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\pi ^{n}}{n!}}=\exp(\pi )=e^{\pi }.}$$

Если определить k ₀ = ⁠1/√ 2⁠ идля n > 0 , тогда последовательностьбыстро сходится к e ^π . ^[7] $${\displaystyle k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}}$$ $${\displaystyle (4/k_{n+1})^{2^{-n}}}$$

Похожие или родственные константы

постоянная Рамануджана

Число e ^{π √ 163} известно как константа Рамануджана . Его десятичное разложение определяется как:

е ^{π √ 163} =262 537 412 640 768 743 .999 999 999 999 250 072 59 ... (последовательность A060295 в OEIS )

что на удивление оказывается очень близким к целому числу 640320 ³ + 744 : Это применение чисел Хегнера , где 163 — рассматриваемое число Хегнера. Это число было открыто в 1859 году математиком Чарльзом Эрмитом . ^[8] В первоапрельской статье 1975 года в журнале Scientific American ^[9] обозреватель «Математических игр» Мартин Гарднер сделал мистификацию, заявив, что число на самом деле является целым числом, и что индийский математический гений Шриниваса Рамануджан предсказал его — отсюда и его название. Константа Рамануджана также является трансцендентным числом.

Случайная близость с точностью до одной триллионной числа 640320 ³ + 744 объясняется комплексным умножением и q -расширением j-инварианта , а именно: и, где O ( e ^{- π √ 163} ) — это остаточный член, что объясняет, почему e ^{π √ 163} на 0,000 000 000 000 75 меньше 640320 ³ + 744 . $${\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}}$$ $${\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}$$ $${\displaystyle {\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)=-196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}}$$

(Более подробную информацию об этом доказательстве см. в статье о числах Хегнера .)

Числое π − π

Число e ^π − π также очень близко к целому числу, его десятичное разложение определяется по формуле:

е ^π − π =19.999 099 979 189 475 767 26 ... (последовательность A018938 в OEIS )

Объяснение этого, казалось бы, замечательного совпадения было дано А. Доманом в сентябре 2023 года и является результатом суммы, связанной с тета-функциями Якоби следующим образом: Первый член доминирует, поскольку сумма членов для всего Поэтому сумму можно усечь до значения , где решение для дает Переписывание приближения для и использование приближения для дает Таким образом, перестановка членов дает По иронии судьбы, грубое приближение для дает дополнительный порядок точности. ^[10] $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(8\pi k^{2}-2\right)e^{-\pi k^{2}}=1.}$$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle \sim 0.0003436.}$ ${\displaystyle \left(8\pi -2\right)e^{-\pi }\approx 1,}$ ${\displaystyle e^{\pi }}$ ${\displaystyle e^{\pi }\approx 8\pi -2.}$ ${\displaystyle e^{\pi }}$ ${\displaystyle 7\pi \approx 22}$ $${\displaystyle e^{\pi }\approx \pi +7\pi -2\approx \pi +22-2=\pi +20.}$$ ${\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 20.}$ ${\displaystyle 7\pi }$

Числоπ е

Десятичное разложение числа π ^e имеет вид:

${\displaystyle \pi ^{e}=}$ 22.459 157 718 361 045 473 42 ... (последовательность A059850 в OEIS )

Неизвестно, является ли это число трансцендентным. Обратите внимание, что по теореме Гельфонда-Шнайдера мы можем окончательно сделать вывод о том, является ли a ^b трансцендентным, только если a и b являются алгебраическими числами ( a и b оба считаются комплексными числами ).

В случае e ^π мы можем доказать трансцендентность этого числа только благодаря свойствам комплексных показательных форм и приведенной выше эквивалентности, позволяющей преобразовать его в (-1) ^{- i} , что позволяет применить теорему Гельфонда-Шнайдера.

π ^e не имеет такой эквивалентности, и, следовательно, поскольку и π, и e являются трансцендентными, мы не можем использовать теорему Гельфонда-Шнайдера, чтобы сделать выводы о трансцендентности π ^e . Однако в настоящее время недоказанная гипотеза Шануэля подразумевает его трансцендентность. ^[11]

Числоя я

Используя главное значение комплексного логарифма, десятичное разложение числа определяется по формуле: $${\displaystyle i^{i}=(e^{i\pi /2})^{i}=e^{-\pi /2}=(e^{\pi })^{-1/2}}$$

${\displaystyle i^{i}=}$ 0,207 879 576 350 761 908 54 ... (последовательность A049006 в OEIS )

Его трансцендентность непосредственно следует из трансцендентности e ^π .

Смотрите также

• Трансцендентное число
• Теория трансцендентных чисел , изучение вопросов, связанных с трансцендентными числами.
• тождество Эйлера
• Константа Гельфонда–Шнайдера

Ссылки

1. "A039661 - OEIS". oeis.org . Получено 2024-10-27 .
2. Weisstein, Eric W. "Константа Гельфонда". mathworld.wolfram.com . Получено 2024-10-27 .
3. Нестеренко, Ю. (1996). «Модульные функции и проблемы трансцендентности». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 322 (10): 909–914. Збл  0859.11047.
4. Вальдшмидт, Мишель (24 января 2004 г.). «Открытые диофантовые задачи». arXiv : math/0312440 .
5. Tijdeman, Robert (1976). "О методе Гельфонда–Бейкера и его приложениях". В Felix E. Browder (ред.). Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems . Proceedings of Symposia in Pure Mathematics . Vol. XXVIII.1. American Mathematical Society . pp. 241–268. ISBN 0-8218-1428-1. Збл  0341.10026.
6. "Суммы объемов единичных сфер". www.johndcook.com . 2019-05-26 . Получено 2024-10-27 .
7. Борвейн, Дж.; Бейли, Д. (2004). Математика через эксперимент: правдоподобное рассуждение в 21 веке . Уэллсли, Массачусетс: AK Peters. стр. 137. ISBN 1-56881-211-6. Збл  1083.00001.
8. Барроу, Джон Д. (2002). Константы природы . Лондон: Jonathan Cape. стр. 72. ISBN 0-224-06135-6.
9. Гарднер, Мартин (апрель 1975 г.). «Математические игры». Scientific American . 232 (4). Scientific American, Inc: 127. Bibcode : 1975SciAm.232e.102G. doi : 10.1038/scientificamerican0575-102.
10. Эрик Вайсштейн , «Почти целое число» на MathWorld
11. Вальдшмидт, Мишель (2021). «Гипотеза Шануэля: алгебраическая независимость трансцендентных чисел» (PDF) .

Дальнейшее чтение

• Алан Бейкер и Гисберт Вюстхольц , Логарифмические формы и диофантова геометрия , Новые математические монографии 9 , Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88268-2 

Внешние ссылки

• Константа Гельфонда в MathWorld
• Новая сложная идентичность башни мощности для константы Гельфонда
• Почти целое число в MathWorld