Теорема Гельфонда–Шнайдера

О трансцендентности большого класса чисел

В математике теорема Гельфонда –Шнайдера устанавливает трансцендентность большого класса чисел.

История

Первоначально это было доказано независимо в 1934 году Александром Гельфондом ^[1] и Теодором Шнайдером .

Заявление

Если a и b — комплексные алгебраические числа, причем a и b не рациональны , то любое значение a ^b является трансцендентным числом . ${\displaystyle \not \in \{0,1\}}$

Комментарии

• Значения a и b не ограничиваются действительными числами ; допускаются комплексные числа (при этом комплексные числа не считаются рациональными, если их мнимая часть не равна 0, даже если и действительная, и мнимая части рациональны).
• В общем случае a ^b = exp( b log a ) является многозначной функцией , где log обозначает комплексный натуральный логарифм . (Это многозначная обратная функция показательной функции exp.) Это объясняет фразу «любое значение» в формулировке теоремы.
• Эквивалентная формулировка теоремы такова: если α и γ — ненулевые алгебраические числа, и мы берем любой ненулевой логарифм α , то (log γ )/(log α ) является либо рациональным, либо трансцендентным числом. Это можно выразить так: если log α , log γ линейно независимы над рациональными числами, то они линейно независимы над алгебраическими числами. Обобщение этого утверждения на более общие линейные формы в логарифмах нескольких алгебраических чисел находится в области теории трансцендентных чисел .
• Если убрать ограничение, что a и b должны быть алгебраическими, то утверждение в общем случае не останется верным. Например,

${\displaystyle {\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.}$

Здесь a равно √ 2 ^{√ 2} , что (как доказано самой теоремой) является трансцендентным, а не алгебраическим. Аналогично, если a = 3 и b = (log 2)/(log 3) , что является трансцендентным, то a ^b = 2 является алгебраическим. Характеристика значений для a и b , которые дают трансцендентное a ^b, неизвестна.

• Курт Малер доказал p -адический аналог теоремы: если a и b лежат в C _p , то это завершение алгебраического замыкания Q p _, и они являются алгебраическими над Q , а если и , то является либо рациональным, либо трансцендентным, где log _p — функция p -адического логарифма . ${\displaystyle |a-1|_{p}<1}$ ${\displaystyle |b-1|_{p}<1,}$ ${\displaystyle (\log _{p}a)/(\log _{p}b)}$

Следствия

Из теоремы непосредственно следует трансцендентность следующих чисел:

• Константа Гельфонда–Шнайдера и ее квадратный корень ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}.}$
• постоянная Гельфонда ${\displaystyle e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.14069263\ldots }$
• ${\displaystyle i^{i}=\left(e^{\frac {i\pi }{2}}\right)^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0.207879576\ldots }$

Приложения

Теорема Гельфонда–Шнайдера даёт утвердительный ответ на седьмую проблему Гильберта .

Смотрите также

• Теорема Линдеманна – Вейерштрасса
• Теорема Бейкера ; расширение результата
• Гипотеза Шануэля ; если она будет доказана, то из нее будут следовать как теорема Гельфонда–Шнайдера, так и теорема Линдемана–Вейерштрасса.

Ссылки

1. Александр Гельфонд (1934). «Sur le septieme Problème de Hilbert». Бюллетень Академии наук СССР. Класс математических наук и др . VII (4): 623–634.

Дальнейшее чтение

• Бейкер, Алан (1975), Трансцендентная теория чисел , Cambridge University Press , стр. 10, ISBN 978-0-521-20461-3, ЗБЛ  0297.10013
• Фельдман, Н. И.; Нестеренко, Ю. В. (1998), Трансцендентные числа , Энциклопедия математических наук, т. 44, Springer-Verlag , ISBN 3-540-61467-2, МР  1603604
• Гельфонд, АО (1960) [1952], Трансцендентные и алгебраические числа, Dover Phoenix editions, Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49526-2, МР  0057921
• LeVeque, William J. (2002) [1956]. Темы теории чисел, тома I и II . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42539-9.
• Нивен, Иван (1956). Иррациональные числа . Математическая ассоциация Америки. ISBN 0-88385-011-7.
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Гельфонда-Шнайдера». Математический мир .

Внешние ссылки

• Доказательство теоремы Гельфонда–Шнайдера