Геометрическое броуновское движение

Непрерывный случайный процесс

Информацию о моделировании, генерирующем реализации, см. ниже.

Геометрическое броуновское движение (GBM) (также известное как экспоненциальное броуновское движение ) — это стохастический процесс с непрерывным временем, в котором логарифм случайно изменяющейся величины следует за броуновским движением (также называемым винеровским процессом ) со сносом . ^[1] Это важный пример случайных процессов, удовлетворяющих стохастическому дифференциальному уравнению (СДУ); в частности, он используется в математических финансах для моделирования цен на акции в модели Блэка – Шоулза .

Техническое определение: SDE

Говорят , что случайный процесс S _t следует GBM, если он удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению (СДУ):

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}}$

где — винеровский процесс или броуновское движение , а («процентный дрейф») и («процентная волатильность») — константы. ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

Первый параметр используется для моделирования детерминированных тенденций, а второй параметр моделирует непредсказуемые события, происходящие во время движения.

Решение СДУ

Для произвольного начального значения S ₀ приведенное выше СДУ имеет аналитическое решение (согласно интерпретации Ито ):

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right).}$

Для вывода требуется использование исчисления Ито . Применение формулы Ито приводит к

${\displaystyle d(\ln S_{t})=(\ln S_{t})'dS_{t}+{\frac {1}{2}}(\ln S_{t})''\,dS_{t}\,dS_{t}={\frac {dS_{t}}{S_{t}}}-{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{S_{t}^{2}}}\,dS_{t}\,dS_{t}}$

где – квадратичная вариация СДУ. ${\displaystyle dS_{t}\,dS_{t}}$

${\displaystyle dS_{t}\,dS_{t}\,=\,\sigma ^{2}\,S_{t}^{2}\,dW_{t}^{2}+2\sigma S_{t}^{2}\mu \,dW_{t}\,dt+\mu ^{2}S_{t}^{2}\,dt^{2}}$

Когда , сходится к 0 быстрее, чем , поскольку . Таким образом, приведенную выше бесконечно малую величину можно упростить следующим образом: ${\displaystyle dt\to 0}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle dW_{t}}$ ${\displaystyle dW_{t}^{2}=O(dt)}$

${\displaystyle dS_{t}\,dS_{t}\,=\,\sigma ^{2}\,S_{t}^{2}\,dt}$

Подставляя значение в приведенное выше уравнение и упрощая, получаем ${\displaystyle dS_{t}}$

${\displaystyle \ln {\frac {S_{t}}{S_{0}}}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,\right)t+\sigma W_{t}\,.}$

Взяв экспоненту и умножив обе части на, получим решение, заявленное выше. ${\displaystyle S_{0}}$

Арифметическое броуновское движение

Процесс для , удовлетворяющий SDE ${\displaystyle X_{t}=\ln {\frac {S_{t}}{S_{0}}}}$

${\displaystyle dX_{t}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,\right)dt+\sigma dW_{t}\,,}$

или, в более общем смысле, процесс решения SDE

${\displaystyle dX_{t}=m\,dt+v\,dW_{t}\,,}$

где и являются действительными константами и для начального условия называется арифметическим броуновским движением (ABM). Это была модель, постулированная Луи Башелье в 1900 году для цен на акции в первой опубликованной попытке смоделировать броуновское движение, известной сегодня как модель Башелье . Как было показано выше, SDE ABM можно получить через логарифм GBM по формуле Ито. Точно так же GBM можно получить возведением ABM в степень по формуле Ито. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v>0}$ ${\displaystyle X_{0}}$

Свойства ГБМ

Вышеупомянутое решение (для любого значения t) представляет собой логарифмически нормально распределенную случайную величину с ожидаемым значением и дисперсией , заданными ^[2] ${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (S_{t})=S_{0}e^{\mu t},}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (S_{t})=S_{0}^{2}e^{2\mu t}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right).}$

Их можно вывести, используя тот факт, что это мартингейл , и что ${\displaystyle Z_{t}=\exp \left(\sigma W_{t}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t\right)}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\exp \left(2\sigma W_{t}-\sigma ^{2}t\right)\mid {\mathcal {F}}_{s}\right]=e^{\sigma ^{2}(t-s)}\exp \left(2\sigma W_{s}-\sigma ^{2}s\right),\quad \forall 0\leq s<t.}$

Функция плотности вероятности : ${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle f_{S_{t}}(s;\mu ,\sigma ,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {1}{s\sigma {\sqrt {t}}}}\,\exp \left(-{\frac {\left(\ln s-\ln S_{0}-\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t\right)^{2}}{2\sigma ^{2}t}}\right).}$

При выводе дальнейших свойств GBM можно использовать SDE, решением которого является GBM, или можно использовать явное решение, данное выше. Например, рассмотрим случайный процесс log( S _t ). Это интересный процесс, поскольку в модели Блэка–Шоулза он связан с логарифмом доходности цены акции. Использование леммы Ито с f ( S ) = log( S ) дает

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}d\log(S)&=f'(S)\,dS+{\frac {1}{2}}f''(S)S^{2}\sigma ^{2}\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{S}}\left(\sigma S\,dW_{t}+\mu S\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\[6pt]&=\sigma \,dW_{t}+(\mu -\sigma ^{2}/2)\,dt.\end{alignedat}}}$

Следует, что . ${\displaystyle \operatorname {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t}$

Этот результат также можно получить, применив логарифм к явному решению GBM:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\log(S_{t})&=\log \left(S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)\right)\\[6pt]&=\log(S_{0})+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}.\end{alignedat}}}$

Взятие ожидания дает тот же результат, что и выше: . ${\displaystyle \operatorname {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t}$

Моделирование путей выборки

# Код Python для сюжетаимпортировать  numpy  как  npимпортировать  matplotlib.pyplot  как  pltмю  =  1п  =  50дт  =  0,1х0  =  100НП . случайный . семя ( 1 )сигма  =  НП . в диапазоне ( 0,8 ,  2 ,  0,2 )х  =  НП . опыт ( ( мю  -  сигма  **  2  /  2 )  *  dt +  сигма  *  нп . случайный . нормальный ( 0 ,  np . sqrt ( dt ),  размер = ( len ( сигма ),  n )) . Т)х  =  НП . vstack ([ np.ones ( len ( sigma ) ) , x ]) х  =  х0  *  х . кампрод ( ось = 0 )плт . сюжет ( х )плт . легенда ( np . round ( сигма ,  2 ))плт . xlabel ( "$t$" )плт . ylabel ( «$x$» )плт . заголовок ( "Реализации геометрического броуновского движения с различными дисперсиями \n $\mu=1$")плт . показывать ()

Многовариантная версия

GBM можно распространить на случай, когда существует несколько коррелирующих ценовых путей. ^[3]

Каждый ценовой путь следует основному процессу

${\displaystyle dS_{t}^{i}=\mu _{i}S_{t}^{i}\,dt+\sigma _{i}S_{t}^{i}\,dW_{t}^{i},}$

где винеровские процессы коррелированы так, что где . ${\displaystyle \operatorname {E} (dW_{t}^{i}\,dW_{t}^{j})=\rho _{i,j}\,dt}$ ${\displaystyle \rho _{i,i}=1}$

Для многомерного случая это означает, что

${\displaystyle \operatorname {Cov} (S_{t}^{i},S_{t}^{j})=S_{0}^{i}S_{0}^{j}e^{(\mu _{i}+\mu _{j})t}\left(e^{\rho _{i,j}\sigma _{i}\sigma _{j}t}-1\right).}$

Многомерная формулировка, которая сохраняет независимость движущих броуновских движений: ${\displaystyle W_{t}^{i}}$

${\displaystyle dS_{t}^{i}=\mu _{i}S_{t}^{i}\,dt+\sum _{j=1}^{d}\sigma _{i,j}S_{t}^{i}\,dW_{t}^{j},}$

где корреляция между и теперь выражается через термины. ${\displaystyle S_{t}^{i}}$ ${\displaystyle S_{t}^{j}}$ ${\displaystyle \sigma _{i,j}=\rho _{i,j}\,\sigma _{i}\,\sigma _{j}}$

Использование в финансах

Геометрическое броуновское движение используется для моделирования цен на акции в модели Блэка – Шоулза и является наиболее широко используемой моделью поведения цен на акции. ^[4]

Вот некоторые аргументы в пользу использования GBM для моделирования цен на акции:

• Ожидаемая доходность GBM не зависит от стоимости процесса (цены акций), что соответствует тому, что мы ожидаем в действительности. ^[4]
• Процесс GBM предполагает только положительные значения, как и реальные цены на акции.
• Процесс GBM демонстрирует ту же «шероховатость» в своих траекториях, что и реальные цены на акции.
• Расчеты с помощью процессов GBM относительно просты.

Однако GBM не является полностью реалистичной моделью, в частности, она не соответствует действительности по следующим пунктам:

• В реальных ценах на акции волатильность меняется со временем (возможно, стохастически ), но в GBM волатильность предполагается постоянной.
• В реальной жизни цены на акции часто демонстрируют скачки, вызванные непредсказуемыми событиями или новостями, но в GBM путь непрерывен (без разрывов).

Помимо моделирования цен на акции, геометрическое броуновское движение также нашло применение при мониторинге торговых стратегий. ^[5]

Расширения

В попытке сделать GBM более реалистичной моделью цен на акции, в том числе и в отношении проблемы волатильности , можно отказаться от предположения, что волатильность ( ) постоянна. Если мы предположим, что волатильность является детерминированной функцией цены акции и времени, это называется моделью локальной волатильности . Непосредственным расширением GBM Блэка-Шоулза является SDE локальной волатильности, распределение которой представляет собой смесь распределений GBM, логнормальной динамики смеси, что приводит к выпуклой комбинации цен Блэка-Шоулза для опционов. ^{[3] [6] [7] [8]} Если вместо этого мы предположим, что волатильность имеет собственную случайность — часто описываемую другим уравнением, обусловленным другим броуновским движением, — модель называется моделью стохастической волатильности , см. пример модели Хестона . ^[9] ${\displaystyle \sigma }$

Смотрите также

• Броуновская поверхность

Рекомендации

1. Росс, Шелдон М. (2014). «Вариации на тему броуновского движения». Введение в вероятностные модели (11-е изд.). Амстердам: Эльзевир. стр. 612–14. ISBN 978-0-12-407948-9.
2. Оксендал, Бернт К. (2002), Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями , Springer, p. 326, ISBN 3-540-63720-6
3. Мусиела, М., и Рутковски, М. (2004), Методы Мартингейла в финансовом моделировании, 2-е издание, Springer Verlag, Берлин.
4. Халл, Джон (2009). «12,3». Опционы, фьючерсы и другие деривативы (7-е изд.).
5. Рей, А.; Сигер, П.; Бушо, Ж.-П. (январь 2018 г.). «У вас просадка. Когда стоит начинать беспокоиться?». Уилмотт . 2018 (93): 56–59. arXiv : 1707.01457 . дои : 10.1002/wilm.10646. S2CID  157827746.
6. Фенглер, М.Р. (2005), Полупараметрическое моделирование подразумеваемой волатильности, Springer Verlag, Берлин. DOI https://doi.org/10.1007/3-540-30591-2
7. Бриго, Дамиано ; Меркурио, Фабио (2002). «Динамика логнормальной смеси и калибровка к рыночной волатильности улыбается». Международный журнал теоретических и прикладных финансов . 5 (4): 427–446. дои : 10.1142/S0219024902001511.
8. Бриго, Д., Меркурио, Ф., Сарторелли, Г. (2003). Альтернативная динамика цен активов и улыбка волатильности, QUANT FINANC, 2003, Том: 3, Страницы: 173–183, ISSN  1469-7688
9. Хестон, Стивен Л. (1993). «Решение закрытой формы для опционов со стохастической волатильностью с применением опционов на облигации и валюты». Обзор финансовых исследований . 6 (2): 327–343. дои : 10.1093/rfs/6.2.327. JSTOR  2962057. S2CID  16091300.

Внешние ссылки

• Геометрические модели броуновского движения для движения акций, за исключением редких случаев.
• Моделирование геометрического броуновского движения в Excel для моделирования цен на акции
• «Интерактивное веб-приложение: случайные процессы, используемые в количественных финансах». Архивировано из оригинала 20 сентября 2015 г. Проверено 3 июля 2015 г.
• Сайт неньютоновского исчисления
• Мониторинг торговой стратегии: моделирование PnL как геометрического броуновского движения