мера Гиббса

Математическая концепция

В физике и математике мера Гиббса , названная в честь Джозайи Уилларда Гиббса , является вероятностной мерой, часто встречающейся во многих задачах теории вероятностей и статистической механики . Она является обобщением канонического ансамбля на бесконечные системы. Канонический ансамбль дает вероятность того, что система X находится в состоянии x (эквивалентно, случайной величины X, имеющей значение x ), как

${\displaystyle P(X=x)={\frac {1}{Z(\beta )}}\exp(-\beta E(x)).}$

Здесь E — функция из пространства состояний в действительные числа; в физических приложениях E ( x ) интерпретируется как энергия конфигурации x . Параметр β — свободный параметр; в физике это обратная температура . Нормирующая константа Z ( β ) — это статсумма . Однако в бесконечных системах полная энергия больше не является конечным числом и не может использоваться в традиционном построении распределения вероятностей канонического ансамбля. Традиционные подходы в статистической физике изучали предел интенсивных свойств , когда размер конечной системы приближается к бесконечности ( термодинамический предел ). Когда энергетическую функцию можно записать в виде суммы членов, каждый из которых включает только переменные из конечной подсистемы, понятие меры Гиббса обеспечивает альтернативный подход. Меры Гиббса были предложены такими теоретиками вероятности, как Добрушин , Ланфорд и Рюэль , и предоставили основу для непосредственного изучения бесконечных систем вместо того, чтобы брать предел конечных систем.

Мера является мерой Гиббса, если условные вероятности, которые она индуцирует в каждой конечной подсистеме, удовлетворяют условию согласованности: если все степени свободы вне конечной подсистемы заморожены, канонический ансамбль для подсистемы, подчиненной этим граничным условиям, совпадает с вероятностями в мере Гиббса, обусловленными замороженными степенями свободы.

Теорема Хаммерсли–Клиффорда подразумевает, что любая вероятностная мера, удовлетворяющая марковскому свойству, является мерой Гиббса для подходящего выбора (локально определенной) энергетической функции. Таким образом, мера Гиббса применяется к широко распространенным проблемам за пределами физики , таким как сети Хопфилда , сети Маркова , логические сети Маркова и ограниченно рациональные потенциальные игры в теории игр и экономике. Мера Гиббса в системе с локальными (конечно-ракурсными) взаимодействиями максимизирует плотность энтропии для заданной ожидаемой плотности энергии ; или, что эквивалентно, она минимизирует плотность свободной энергии .

Мера Гиббса бесконечной системы не обязательно уникальна, в отличие от канонического ансамбля конечной системы, который уникален. Существование более чем одной меры Гиббса связано со статистическими явлениями, такими как нарушение симметрии и сосуществование фаз .

Статистическая физика

Набор мер Гиббса в системе всегда выпуклый, ^[1] , поэтому либо существует единственная мера Гиббса (в этом случае система называется « эргодической »), либо их бесконечно много (и система называется «неэргодической»). В неэргодическом случае меры Гиббса можно выразить как набор выпуклых комбинаций гораздо меньшего числа специальных мер Гиббса, известных как «чистые состояния» (не путать с родственным, но отличным понятием чистых состояний в квантовой механике ). В физических приложениях гамильтониан (функция энергии) обычно имеет некоторое чувство локальности , а чистые состояния обладают свойством разложения кластера , что «далеко разделенные подсистемы» независимы. На практике физически реалистичные системы находятся в одном из этих чистых состояний.

Если гамильтониан обладает симметрией, то уникальная (т. е. эргодическая) мера Гиббса обязательно будет инвариантной относительно симметрии. Но в случае множественных (т. е. неэргодических) мер Гиббса чистые состояния обычно не инвариантны относительно симметрии гамильтониана. Например, в бесконечной ферромагнитной модели Изинга ниже критической температуры существуют два чистых состояния, состояния «в основном вверх» и «в основном вниз», которые меняются местами относительно симметрии модели . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Марковская собственность

Примером свойства Маркова может служить мера Гиббса модели Изинга . Вероятность нахождения заданного спина σ _k в состоянии s может, в принципе, зависеть от состояний всех других спинов в системе. Таким образом, мы можем записать вероятность как

${\displaystyle P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)}$.

Однако в модели Изинга, где есть только взаимодействия конечного радиуса действия (например, взаимодействия ближайших соседей), мы фактически имеем

${\displaystyle P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)=P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\in N_{k})}$,

где N _k — окрестность узла k . То есть вероятность в узле k зависит только от спинов в конечной окрестности. Последнее уравнение имеет форму локального марковского свойства . Меры с этим свойством иногда называют марковскими случайными полями . Более того, обратное также верно: любое положительное распределение вероятностей (ненулевая плотность везде), обладающее марковским свойством, может быть представлено как мера Гиббса для соответствующей энергетической функции. ^[2] Это теорема Хаммерсли–Клиффорда .

Формальное определение решеток

Далее следует формальное определение для частного случая случайного поля на решетке. Однако идея меры Гиббса гораздо более общая.

Определение случайного поля Гиббса на решетке требует некоторой терминологии:

• Решетка : счетное множество . ${\displaystyle \mathbb {L} }$
• Пространство с одним спином : вероятностное пространство . ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}},\lambda )}$
• Конфигурационное пространство : , где и . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \Omega =S^{\mathbb {L} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {S}}^{\mathbb {L} }}$
• При заданной конфигурации ω ∈ Ω и подмножестве ограничение ω на Λ равно . Если и , то конфигурация — это конфигурация, ограничения которой на Λ ₁ и Λ ₂ равны и , соответственно. ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {L} }$ ${\displaystyle \omega _{\Lambda }=(\omega (t))_{t\in \Lambda }}$ ${\displaystyle \Lambda _{1}\cap \Lambda _{2}=\emptyset }$ ${\displaystyle \Lambda _{1}\cup \Lambda _{2}=\mathbb {L} }$ ${\displaystyle \omega _{\Lambda _{1}}\omega _{\Lambda _{2}}}$ ${\displaystyle \omega _{\Lambda _{1}}}$ ${\displaystyle \omega _{\Lambda _{2}}}$
• Множество всех конечных подмножеств . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \mathbb {L} }$
• Для каждого подмножества есть σ -алгебра, порожденная семейством функций , где . Объединение этих σ -алгебр при изменении по есть алгебра цилиндрических множеств на решетке. ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {L} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Lambda }}$ ${\displaystyle (\sigma (t))_{t\in \Lambda }}$ ${\displaystyle \sigma (t)(\omega )=\omega (t)}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$
• Потенциал : семейство функций Φ _A  : Ω → R такое, что ${\displaystyle \Phi =(\Phi _{A})_{A\in {\mathcal {L}}}}$
  1. Для каждого из них есть измеримость , то есть он зависит только от ограничения (и делает это измеримо). ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}},\Phi _{A}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}}$ ${\displaystyle \omega _{A}}$
  2. Для всех и ω ∈ Ω существует следующий ряд: ^{[ когда определен как? ]} ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )=\sum _{A\in {\mathcal {L}},A\cap \Lambda \neq \emptyset }\Phi _{A}(\omega ).}$

Мы интерпретируем Φ _A как вклад в полную энергию (гамильтониан), связанный с взаимодействием между всеми точками конечного множества A. Затем как вклад в полную энергию всех конечных множеств A , которые встречаются . Обратите внимание, что полная энергия обычно бесконечна, но когда мы «локализуем» каждую из них, она может быть конечной, мы надеемся. ${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$

• Гамильтониан в с граничными условиями для потенциала Φ определяется как ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$

${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})=H_{\Lambda }^{\Phi }\left(\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}}\right)}$

где обозначает конфигурацию, принимающую значения в , и значения в . ${\displaystyle \omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{c}:=\mathbb {L} \setminus \Lambda }$

• Статистическая сумма в с граничными условиями и обратной температурой β > 0 (для потенциала Φ и λ ) определяется выражением ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$

${\displaystyle Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})=\int \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})),}$

где

${\displaystyle \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )=\prod _{t\in \Lambda }\lambda (\mathrm {d} \omega (t)),}$

является мерой продукта

Потенциал Φ является λ -допустимым, если конечен для всех и β > 0 . ${\displaystyle Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})}$ ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}},{\bar {\omega }}\in \Omega }$

Вероятностная мера μ на является мерой Гиббса для λ -допустимого потенциала Φ, если она удовлетворяет уравнению Добрушина–Лэнфорда–Рюэля (ДЛР) ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$

${\displaystyle \int \mu (\mathrm {d} {\bar {\omega }})Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})^{-1}\int \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }}))\,1_{A}(\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}})=\mu (A),}$

для всех и . ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$

Пример

Чтобы помочь понять приведенные выше определения, приведем соответствующие величины в важном примере модели Изинга с взаимодействиями ближайших соседей (константа связи J ) и магнитным полем ( h ) на Z ^d :

• Решетка простая . ${\displaystyle \mathbb {L} =\mathbf {Z} ^{d}}$
• Пространство одного спина равно S = {−1, 1}.
• Потенциал определяется как

${\displaystyle \Phi _{A}(\omega )={\begin{cases}-J\,\omega (t_{1})\omega (t_{2})&{\text{if }}A=\{t_{1},t_{2}\}{\text{ with }}\|t_{2}-t_{1}\|_{1}=1\\-h\,\omega (t)&{\text{if }}A=\{t\}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Смотрите также

• Распределение Больцмана
• Экспоненциальная семья
• Алгоритм Гиббса
• выборка Гиббса
• Система взаимодействующих частиц
• Потенциальная игра
• Софтмакс
• Стохастические клеточные автоматы

Ссылки

1. "Меры Гиббса" (PDF) .
2. Росс Киндерманн и Дж. Лори Снелл, Марковские случайные поля и их приложения (1980) Американское математическое общество, ISBN 0-8218-5001-6 

Дальнейшее чтение

• Георгий, Х.-О. (2011) [1988]. Меры Гиббса и фазовые переходы (2-е изд.). Берлин: de Gruyter. ISBN 978-3-11-025029-9.
• Фридли, С.; Веленик, Ю. (2017). Статистическая механика решетчатых систем: конкретное математическое введение. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.