Распределение Гомпертца

Непрерывное распределение вероятностей, названное в честь Бенджамина Гомпертца

В теории вероятности и статистики распределение Гомпертца является непрерывным распределением вероятностей , названным в честь Бенджамина Гомпертца . Распределение Гомпертца часто применяется для описания распределения продолжительности жизни взрослых демографами ^{[1] [2]} и актуариями . ^{[3] [4]} Смежные области науки, такие как биология ^[5] и геронтология ^[6], также рассматривали распределение Гомпертца для анализа выживаемости. Совсем недавно специалисты по информатике также начали моделировать частоту отказов компьютерного кода с помощью распределения Гомпертца. ^[7] В маркетинговой науке оно использовалось в качестве моделирования на индивидуальном уровне для моделирования ценности жизненного цикла клиента . ^[8] В теории сетей , в частности в модели Эрдёша–Реньи , длина случайного самоизбегающего блуждания (SAW) распределяется в соответствии с распределением Гомпертца. ^[9]

Спецификация

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности распределения Гомпертца имеет вид:

${\displaystyle f\left(x;\eta ,b\right)=b\eta \exp \left(\eta +bx-\eta e^{bx}\right){\text{for }}x\geq 0,\,}$

где — параметр масштаба , а — параметр формы распределения Гомпертца. В актуарных и биологических науках, а также в демографии распределение Гомпертца параметризуется несколько иначе ( закон смертности Гомпертца–Мейкхема ). ${\displaystyle b>0\,\!}$ ${\displaystyle \eta >0\,\!}$

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения Гомпертца имеет вид:

${\displaystyle F\left(x;\eta ,b\right)=1-\exp \left(-\eta \left(e^{bx}-1\right)\right),}$

где и ${\displaystyle \eta ,b>0,}$ ${\displaystyle x\geq 0\,.}$

Функция создания момента

Функция, производящая момент, имеет вид:

${\displaystyle {\text{E}}\left(e^{-tX}\right)=\eta e^{\eta }{\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)}$

где

${\displaystyle {\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)=\int _{1}^{\infty }e^{-\eta v}v^{-t/b}dv,\ t>0.}$

Характеристики

Распределение Гомпертца является гибким распределением, которое может быть скошено вправо и влево. Его функция риска является выпуклой функцией . Модель может быть вписана в парадигму инновации-имитации с как коэффициент инновации и как коэффициент имитации. Когда становится большим, приближается к . Модель также может принадлежать к парадигме склонности к принятию с как склонность к принятию и как общая привлекательность нового предложения. ${\displaystyle h(x)=\eta be^{bx}}$ ${\displaystyle F\left(x;\eta ,b\right)}$ ${\displaystyle p=\eta b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle z(t)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle b}$

Формы

Функция плотности Гомпертца может принимать различные формы в зависимости от значений параметра формы : ${\displaystyle \eta \,\!}$

• Когда мода функции плотности вероятности равна 0. ${\displaystyle \eta \geq 1,\,}$
• Когда функция плотности вероятности имеет моду в ${\displaystyle 0<\eta <1,\,}$

${\displaystyle x^{*}=\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta \right){\text{with }}0<F\left(x^{*}\right)<1-e^{-1}=0.632121}$

Расхождение Кульбака-Лейблера

Если и являются функциями плотности вероятности двух распределений Гомпертца, то их расхождение Кульбака-Лейблера определяется выражением ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;b_{1},\eta _{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;b_{1},\eta _{1})}{f_{2}(x;b_{2},\eta _{2})}}dx\\&=\ln {\frac {e^{\eta _{1}}\,b_{1}\,\eta _{1}}{e^{\eta _{2}}\,b_{2}\,\eta _{2}}}+e^{\eta _{1}}\left[\left({\frac {b_{2}}{b_{1}}}-1\right)\,\operatorname {Ei} (-\eta _{1})+{\frac {\eta _{2}}{\eta _{1}^{\frac {b_{2}}{b_{1}}}}}\,\Gamma \left({\frac {b_{2}}{b_{1}}}+1,\eta _{1}\right)\right]-(\eta _{1}+1)\end{aligned}}}$

где обозначает экспоненциальный интеграл , а — верхняя неполная гамма-функция . ^[10] ${\displaystyle \operatorname {Ei} (\cdot )}$ ${\displaystyle \Gamma (\cdot ,\cdot )}$

Связанные дистрибутивы

• Если X определяется как результат выборки из распределения Гумбеля до тех пор, пока не будет получено отрицательное значение Y , и устанавливается X =− Y , то X имеет распределение Гомпертца.
• Гамма -распределение является естественным сопряженным распределением до вероятности Гомпертца с известным параметром масштаба ^[8] ${\displaystyle b\,\!.}$
• Когда изменяется в соответствии с гамма-распределением с параметром формы и параметром масштаба (среднее = ), распределение называется Гамма/Гомпертц. ^[8] ${\displaystyle \eta \,\!}$ ${\displaystyle \alpha \,\!}$ ${\displaystyle \beta \,\!}$ ${\displaystyle \alpha /\beta \,\!}$ ${\displaystyle x}$

Распределение Гомпертца, подобранное для максимального ежемесячного количества осадков за один день ^[11]

• Если , то , и, следовательно , . ^[12] ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gompertz} }$ ${\displaystyle X=\exp(Y)\sim \mathrm {Weibull} ^{-1}}$ ${\displaystyle \exp(-Y)\sim \mathrm {Weibull} }$

Приложения

• В гидрологии распределение Гомпертца применяется к экстремальным событиям, таким как годовые максимальные однодневные осадки и речные сбросы. Синяя картинка иллюстрирует пример подгонки распределения Гомпертца к ранжированным годовым максимальным однодневным осадкам, показывая также 90% доверительный пояс на основе биномиального распределения . Данные об осадках представлены путем построения позиций в рамках кумулятивного частотного анализа .

Смотрите также

• Закон смертности Гомпертца-Мейкхема
• Функция Гомпертца
• Пожизненная ценность клиента
• Гамма-распределение Гомпертца

Примечания

1. Vaupel, James W. (1986). «Как изменение смертности по возрасту влияет на продолжительность жизни» (PDF) . Population Studies . 40 (1): 147–157. doi :10.1080/0032472031000141896. PMID  11611920.
2. Престон, Сэмюэл Х.; Хевелин, Патрик; Гийо, Мишель (2001). Демография: измерение и моделирование демографических процессов . Оксфорд: Blackwell.
3. Бенджамин, Бернард; Хейкокс, Х. У.; Поллард, Дж. (1980). Анализ смертности и других актуарных статистик . Лондон: Heinemann.
4. Willemse, WJ; Koppelaar, H. (2000). «Извлечение знаний о законе смертности Гомпертца». Scandinavian Actuarial Journal . 2000 (2): 168–179. doi :10.1080/034612300750066845. S2CID  122719776.
5. Экономос, А. (1982). «Скорость старения, скорость умирания и механизм смертности». Архив геронтологии и гериатрии . 1 (1): 46–51. doi :10.1016/0167-4943(82)90003-6. PMID  6821142.
6. Браун, К.; Форбс, В. (1974). «Математическая модель процессов старения». Журнал геронтологии . 29 (1): 46–51. doi :10.1093/geronj/29.1.46. PMID  4809664.
7. Ohishi, K.; Okamura, H.; Dohi, T. (2009). «Модель надежности программного обеспечения Gompertz: алгоритм оценки и эмпирическая проверка». Journal of Systems and Software . 82 (3): 535–543. doi :10.1016/j.jss.2008.11.840.
8. Bemmaor, Albert C.; Glady, Nicolas (2012). «Моделирование покупательского поведения с внезапной «смертью»: гибкая модель пожизненного обслуживания клиентов». Management Science . 58 (5): 1012–1021. doi :10.1287/mnsc.1110.1461.
9. Тишби, Бихам, Кацав (2016), Распределение длин путей самоизбегающих блужданий в сетях Эрдеша-Реньи, arXiv : 1603.06613.
10. Bauckhage, C. (2014), Характеристика и расхождение Кульбака-Лейблера распределений Гомпертца, arXiv :1402.3193.
11. Калькулятор для подгонки распределения вероятностей [1]
12. Клейбер, Кристиан; Коц, Сэмюэл (2003). Статистические распределения размеров в экономике и актуарных науках. Wiley. стр. 179. doi :10.1002/0471457175. ISBN 9780471150640.

Ссылки

• Беммаор, Альберт К.; Глэди, Николас (2011). «Реализация модели Gamma/Gompertz/NBD в MATLAB» (PDF) . Сержи-Понтуаз: Бизнес-школа ESSEC.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
• Гомпертц, Б. (1825). «О природе функции, выражающей закон человеческой смертности, и о новом способе определения ценности жизненных обстоятельств». Философские труды Лондонского королевского общества . 115 : 513–583. doi : 10.1098/rstl.1825.0026 . JSTOR  107756. S2CID  145157003.
• Джонсон, Норман Л.; Коц, Сэмюэл; Балакришнан, Н. (1995). Непрерывные одномерные распределения . Том 2 (2-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons. С. 25–26. ISBN 0-471-58494-0.
• Шейх, AK; Боа, JK; Юнас, M. (1989). «Усеченная модель экстремальных значений для надежности трубопровода». Надежность техники и безопасность систем . 25 (1): 1–14. doi :10.1016/0951-8320(89)90020-3.