Код группы

В теории кодирования групповые коды являются разновидностью кода . Групповые коды состоят из линейных блочных кодов , которые являются подгруппами , где – конечная абелева группа . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle G}$

Систематический групповой код — это код над порядком , определяемым гомоморфизмами , которые определяют биты проверки четности . Остальные биты сами являются информационными битами. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle \left|G\right|^{k}}$ ${\displaystyle n-k}$ ${\displaystyle k}$

Строительство

Групповые коды могут быть построены с помощью специальных порождающих матриц , которые напоминают порождающие матрицы линейных блочных кодов, за исключением того, что элементы этих матриц являются эндоморфизмами группы, а не символами из алфавита кода. Например, рассматривая порождающую матрицу

${\displaystyle G={\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}00\\11\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}01\\01\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}11\\01\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}00\\11\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}00\\00\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}}$

элементы этой матрицы являются матрицами, являющимися эндоморфизмами. В этом сценарии каждое кодовое слово может быть представлено как генераторы . ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle g_{1}^{m_{1}}g_{2}^{m_{2}}...g_{r}^{m_{r}}}$ ${\displaystyle g_{1},...g_{r}}$ ${\displaystyle G}$

Смотрите также

• Запись с групповым кодированием (GCR)

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Уоткинсон, Джон (1990). «3.4. Групповые коды». Кодирование для цифровой записи . Стоунхэм, Массачусетс, США: Focal Press . стр. 51–61. ISBN 978-0-240-51293-8.
• Бильери, Эцио; Элия, Мишель (17 января 1993 г.). «Построение линейных блочных кодов по группам». Слушания. Международный симпозиум IEEE по теории информации (ISIT) . п. 360. дои :10.1109/ISIT.1993.748676. ISBN 978-0-7803-0878-7. S2CID  123694385.
• Форни, Джордж Дэвид ; Тротт, Митч Д. (1993). «Динамика групповых кодов: пространства состояний, решетчатые диаграммы и канонические кодеры». Транзакции IEEE по теории информации . 39 (5): 1491–1593. дои : 10.1109/18.259635.
• Вазирани, Виджай Виркумар ; Саран, Хузур; Раджан, Б. Сундар (1996). «Эффективный алгоритм построения минимальных решеток для кодов над конечными абелевыми группами». Транзакции IEEE по теории информации . 42 (6): 1839–1854. CiteSeerX  10.1.1.13.7058 . дои : 10.1109/18.556679.
• Зейн, Аднан Абдулла; Раджан, Б. Сундар (1996). «Двойственные коды систематических групповых кодов над абелевыми группами». Прикладная алгебра в технике, связи и вычислительной технике (AAECC) . 8 (1): 71–83.