Дисперсия групповой скорости

Зависимость групповой скорости от частоты

В оптике дисперсия групповой скорости (GVD) является характеристикой дисперсионной среды , используемой чаще всего для определения того, как среда влияет на длительность оптического импульса, проходящего через нее. Формально GVD определяется как производная обратной величины групповой скорости света в материале по угловой частоте , ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv {\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {1}{v_{g}(\omega )}}\right)_{\omega =\omega _{0}},}$

где и — угловые частоты, а групповая скорость определяется как . Единицами дисперсии групповой скорости являются [время] ² /[расстояние], часто выражаемые в фс ² / мм . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle v_{g}(\omega )}$ ${\displaystyle v_{g}(\omega )\equiv \partial \omega /\partial k}$

Эквивалентно, дисперсия групповой скорости может быть определена в терминах волнового вектора, зависящего от среды, согласно ${\displaystyle k(\omega )}$

${\displaystyle {\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv \left({\frac {\partial ^{2}k}{\partial \omega ^{2}}}\right)_{\omega =\omega _{0}},}$

или в терминах показателя преломления согласно ${\displaystyle n(\omega )}$

${\displaystyle {\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv {\frac {2}{c}}\left({\frac {\partial n}{\partial \omega }}\right)_{\omega =\omega _{0}}+{\frac {\omega _{0}}{c}}\left({\frac {\partial ^{2}n}{\partial \omega ^{2}}}\right)_{\omega =\omega _{0}}.}$

Приложения

Дисперсия групповой скорости чаще всего используется для оценки величины чирпа , который будет наложен на импульс света после прохождения через интересующий материал:

${\displaystyle {\text{chirp}}=({\text{material thickness}})\times {\text{GVD}}(\omega _{0})\times ({\text{bandwidth}}).}$

Вывод

Простую иллюстрацию того, как GVD может быть использована для определения чирпа импульса, можно увидеть, рассмотрев эффект ограниченного по преобразованию импульса длительностью, проходящего через плоскую среду толщиной d . Перед прохождением через среду фазовые смещения всех частот выравниваются во времени, и импульс можно описать как функцию времени, ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle E(t)=Ae^{-{\frac {t^{2}}{4\sigma ^{2}}}}e^{-i\omega _{0}t},}$

или, что эквивалентно, как функция частоты,

${\displaystyle E(\omega )=Be^{-{\frac {(w-w_{0})^{2}}{4(1/2\sigma )^{2}}}}}$

(параметры A и B являются константами нормировки). Прохождение через среду приводит к накоплению фазы, зависящей от частоты , так что импульс после среды можно описать как ${\displaystyle \Delta \phi (\omega )=k(\omega )d}$

${\displaystyle E(\omega )=Be^{-{\frac {(w-w_{0})^{2}}{4(1/2\sigma )^{2}}}}e^{ik(\omega )d}.}$

В общем случае показатель преломления , а следовательно, и волновой вектор , могут быть произвольной функцией , что затрудняет аналитическое выполнение обратного преобразования Фурье обратно во временную область. Однако, если ширина полосы пропускания импульса узка относительно кривизны , то хорошие приближения влияния показателя преломления могут быть получены путем замены его разложением Тейлора с центром вокруг : ${\displaystyle n(\omega )}$ ${\displaystyle k(\omega )=n(\omega )\omega /c}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k(\omega )}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle {\frac {n(\omega )\omega }{c}}=\underbrace {\frac {n(\omega _{0})\omega _{0}}{c}} _{k(\omega _{0})}+\underbrace {\left[{\frac {n(\omega _{0})+n'(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\right]} _{k'(\omega _{0})}(\omega -\omega _{0})+{\frac {1}{2}}\underbrace {\left[{\frac {2n'(\omega _{0})+n''(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\right]} _{\text{GVD}}(\omega -\omega _{0})^{2}+\dots }$

Усечение этого выражения и вставка его в выражение частотной области пост-среды приводит к выражению временной области пост-среды

${\displaystyle E_{\text{post}}(t)=A_{\text{post}}\exp \left[-{\frac {\left(t-k'(\omega _{0})d\right)^{2}}{4\left(\sigma ^{2}-i\,{\text{GVD}}\,d/2\right)}}\right]e^{i[k(\omega _{0})d-\omega _{0}t]}.}$

В итоге импульс удлиняется до значения стандартного отклонения интенсивности

${\displaystyle \sigma _{\text{post}}={\sqrt {\sigma ^{2}+\left[d\,{\textrm {GVD}}(\omega _{0}){\frac {1}{2\sigma }}\right]^{2}}},}$

таким образом, подтверждая первоначальное выражение. Обратите внимание, что импульс с ограничением по преобразованию имеет , что делает целесообразным определить 1/(2 σ _t ) как полосу пропускания. ${\displaystyle \sigma _{\omega }\sigma _{t}=1/2}$

Альтернативное происхождение

Альтернативный вывод соотношения между чирпом импульса и GVD, который более наглядно иллюстрирует причину, по которой GVD может быть определена производной обратной групповой скорости, можно изложить следующим образом. Рассмотрим два импульса с ограниченным преобразованием несущих частот и , которые изначально перекрываются во времени. После прохождения через среду эти два импульса будут демонстрировать временную задержку между их соответствующими центрами огибающей импульса, заданную как ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle \Delta T=d\left({\frac {1}{v_{g}(\omega _{2})}}-{\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}\right).}$

Выражение можно аппроксимировать как разложение Тейлора , что дает

${\displaystyle \Delta T=d\left({\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}+{\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {1}{v_{g}(\omega ')}}\right)_{\omega '=\omega _{1}}(\omega _{2}-\omega _{1})-{\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}\right),}$

или

${\displaystyle \Delta T=d\times {\textrm {GVD}}(\omega _{1})\times (\omega _{2}-\omega _{1}).}$

Отсюда можно представить масштабирование этого выражения от двух импульсов до бесконечности. Разность частот должна быть заменена шириной полосы пропускания, а временная задержка преобразуется в индуцированный чирп. ${\displaystyle \omega _{2}-\omega _{1}}$ ${\displaystyle \Delta T}$

Дисперсия групповой задержки

Тесно связанной, но независимой величиной является дисперсия групповой задержки ( GDD ), определяемая таким образом, что дисперсия групповой скорости является дисперсией групповой задержки на единицу длины. GDD обычно используется в качестве параметра при характеристике слоистых зеркал, где дисперсия групповой скорости не очень хорошо определена, однако чирп, индуцированный после отражения от зеркала, может быть хорошо охарактеризован. Единицами дисперсии групповой задержки являются [время] ² , часто выражаемое в fs ² .

Дисперсия групповой задержки (ГЗ) оптического элемента представляет собой производную групповой задержки по угловой частоте , а также вторую производную оптической фазы:

${\displaystyle D_{2}(\omega )=-{\frac {\partial T_{g}}{d\omega }}={\frac {d^{2}\phi }{d\omega ^{2}}}.}$

Это мера хроматической дисперсии элемента. GDD связана с параметром общей дисперсии как ${\displaystyle D_{\text{tot}}}$

${\displaystyle D_{2}(\omega )=-{\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}D_{\text{tot}}.}$

Внешние ссылки

• Онлайн-база данных показателей преломления
• Энциклопедия RP-фотоники
• Коммерческое измерение оптической дисперсии с помощью интерферометрии белого света

Ссылки

1. Бойд, Роберт. W (2007). Нелинейная оптика (3-е изд.). Elsevier.
2. Пашотта, д-р Рюдигер. "Дисперсия групповой скорости". Энциклопедия лазерной физики и техники . Получено 15.05.2016 .