Групповое распределение Дирихле

В статистике групповое распределение Дирихле (GDD) является многомерным обобщением распределения Дирихле. Впервые оно было описано Нг и др. в 2008 г. ^[1] Групповое распределение Дирихле возникает при анализе категориальных данных , где некоторые наблюдения могут попадать в любую из набора других «четких» категорий. Например, можно иметь набор данных, состоящий из случаев и контролей при двух различных условиях. При полных данных перекрестная классификация статуса заболевания образует таблицу 2(случай/контроль)-x-(состояние/отсутствие состояния) с вероятностями ячеек

Однако, если данные включают, скажем, нереспондентов, которые известны как контрольные или случаи, то перекрестная классификация статуса заболевания образует таблицу 2-x-3. Вероятность последнего столбца является суммой вероятностей первых двух столбцов в каждой строке, например

GDD позволяет полностью оценить вероятности клеток в таких условиях агрегации. ^[1]

Распределение вероятностей

Рассмотрим замкнутый симплексный набор и . Записывая для первых элементов члена , распределение для двух разделов имеет функцию плотности, заданную как ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}=\left\{\left(x_{1},\ldots x_{n}\right)\left|x_{i}\geq 0,i=1,\cdots ,n,\sum _{i=1}^{n}x_{n}=1\right.\right\}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in {\mathcal {T}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{-n}=\left(x_{1},\ldots ,x_{n-1}\right)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \operatorname {GD} _{n,2,s}\left(\left.\mathbf {x} _{-n}\right|\mathbf {a} ,\mathbf {b} \right)={\frac {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}-1}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{s}x_{i}\right)^{b_{1}}\cdot \left(\sum _{i=s+1}^{n}x_{i}\right)^{b_{2}}}{\operatorname {\mathrm {B} } \left(a_{1},\ldots ,a_{s}\right)\cdot \operatorname {\mathrm {B} } \left(a_{s+1},\ldots ,a_{n}\right)\cdot \operatorname {\mathrm {B} } \left(b_{1}+\sum _{i=1}^{s}a_{i},b_{2}+\sum _{i=s+1}^{n}a_{i}\right)}}}$

где — многомерная бета-функция . ${\displaystyle \operatorname {\mathrm {B} } \left(\mathbf {a} \right)}$

Нг и др. ^[1] продолжили определять распределение Дирихле, сгруппированное по m разделам, с плотностью, заданной формулой ${\displaystyle \mathbf {x} _{-n}}$

${\displaystyle \operatorname {GD} _{n,m,\mathbf {s} }\left(\left.\mathbf {x} _{-n}\right|\mathbf {a} ,\mathbf {b} \right)=c_{m}^{-1}\cdot \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a_{i}-1}\right)\cdot \prod _{j=1}^{m}\left(\sum _{k=s_{j-1}+1}^{s_{j}}x_{k}\right)^{b_{j}}}$

где — вектор целых чисел с . Нормирующая константа задается формулой ${\displaystyle \mathbf {s} =\left(s_{1},\ldots ,s_{m}\right)}$ ${\displaystyle 0=s_{0}<s_{1}\leqslant \cdots \leqslant s_{m}=n}$

${\displaystyle c_{m}=\left\{\prod _{j=1}^{m}\operatorname {\mathrm {B} } \left(a_{s_{j-1}+1},\ldots ,a_{s_{j}}\right)\right\}\cdot \operatorname {\mathrm {B} } \left(b_{1}+\sum _{k=1}^{s_{1}}a_{k},\ldots ,b_{m}+\sum _{k=s_{m-1}+1}^{s_{m}}a_{k}\right)}$

Авторы продолжили использовать эти распределения в контексте трех различных приложений в медицинской науке.

Ссылки

1. Ng, Kai Wang (2008). «Групповое распределение Дирихле: новый инструмент для анализа неполных категориальных данных». Журнал многомерного анализа . 99 : 490–509.