Гамильтонова матрица

В математике гамильтонова матрица — это матрица $A$ размером $2n$ $на 2n$ $,$ $такая$ , что JA симметрична $,$ где J $—$ кососимметричная матрица.

J={\begin{bmatrix}0_{n}&I_{n}\\-I_{n}&0_{n}\\\end{bmatrix}}

и $I n$ — единичная матрица $n$ -на $-n$ . Другими словами, $A$ является гамильтоновой тогда и только тогда, когда $($ $JA$ $)$ $T$ $=$ $JA$ , где $()$ $T$ обозначает транспонирование . ^[1]

Характеристики

Предположим, что $матрица$ A $размером$ 2n $на$ $2n$ $записана$ в виде блочной матрицы

A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}

где $a$ , $b$ , $c$ , и $d$ являются матрицами $n$ на $n$ . Тогда условие, что $A$ является гамильтоновым, эквивалентно требованию, чтобы матрицы $b$ и $c$ были симметричными, и чтобы $a + d T = 0$ . ^[1]^[2] Другое эквивалентное условие состоит в том, что $A$ имеет вид $A = JS$ с симметричным $S.$ ^[2]^{: 34}

Из определения легко следует, что транспонированная гамильтоновая матрица является гамильтоновой. Более того, сумма (и любая линейная комбинация ) двух гамильтоновых матриц снова является гамильтоновой, как и их коммутатор . Отсюда следует, что пространство всех гамильтоновых матриц является алгеброй Ли , обозначаемой $sp(2 n)$ . Размерность $sp(2 n)$ равна $2 n 2 + n$ . Соответствующая группа Ли является симплектической группой $Sp(2 n)$ . Эта группа состоит из симплектических матриц , тех матриц $A$ , которые удовлетворяют $A T JA = J$ . Таким образом, матричная экспонента гамильтоновой матрицы является симплектической. Однако логарифм симплектической матрицы не обязательно является гамильтоновым, поскольку экспоненциальное отображение из алгебры Ли в группу не является сюръективным. ^[2]^{: 34–36}^[3]

Характеристический многочлен действительной гамильтоновой матрицы четный . Таким образом, если гамильтонова матрица имеет $λ$ в качестве собственного значения , то $-λ$ , $λ *$ и $-λ *$ также являются собственными значениями. ^[2]^{: 45} Отсюда следует, что след гамильтоновой матрицы равен нулю.

Квадрат гамильтоновой матрицы является косогамильтоновой (матрица $A$ является косогамильтоновой, если $(JA) T = - JA$ ). И наоборот, каждая косогамильтонова матрица возникает как квадрат гамильтоновой матрицы. ^[4]

Расширение до комплексных матриц

Что касается симплектических матриц, определение для гамильтоновых матриц может быть расширено до комплексных матриц двумя способами. Одна возможность — сказать, что матрица $A$ является гамильтоновой, если $(JA) T = JA$ , как указано выше. ^[1]^[4] Другая возможность — использовать условие $(JA) * = JA$ , где верхний индекс звездочка ( $(\cdot) *$ ) обозначает сопряженное транспонирование . ^[5]

Гамильтоновы операторы

Пусть $V$ — векторное пространство, снабженное симплектической формой $Ω$ . Линейное отображение называется гамильтоновым оператором относительно $Ω,$ если форма симметрична. Эквивалентно, оно должно удовлетворять $A:\;V\mapsto V$ $x,y\mapsto \Omega (A (x),y)$

{\ displaystyle \ Omega (A (x), y) = - \ Omega (x, A (y))}

Выберем базис $e 1, \dots, e 2 n$ в $V$ , такой, что $Ω$ запишется как . Линейный оператор является гамильтоновым относительно $Ω$ тогда и только тогда, когда его матрица в этом базисе является гамильтоновой. ^[4] ${\textstyle \sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}}$

Ссылки

^ abc Икрамов, Хаким Д. (2001), «Повторный взгляд на гамильтоновы квадратные корни косогамильтоновых матриц», Линейная алгебра и ее приложения , 325 : 101–107, doi : 10.1016/S0024-3795(00)00304-9.
^ abcd Мейер, KR; Холл, GR (1991), Введение в гамильтоновы динамические системы и задачу $N$ тел , Springer , ISBN 0-387-97637-X.
^ Драгт, Алекс Дж. (2005), «Симплектическая группа и классическая механика», Анналы Нью-Йоркской академии наук , 1045 (1): 291–307, doi :10.1196/annals.1350.025, PMID 15980319.
^ abc Waterhouse, William C. (2005), «Структура матриц переменного гамильтониана», Линейная алгебра и ее приложения , 396 : 385–390, doi : 10.1016/j.laa.2004.10.003.
^ Paige, Chris; Van Loan, Charles (1981), «Разложение Шура для гамильтоновых матриц», Линейная алгебра и ее приложения , 41 : 11–32, doi : 10.1016/0024-3795(81)90086-0.