Неравенство Харди

Неравенство Харди — это неравенство в математике , названное в честь Г. Х. Харди . Оно утверждает, что если — последовательность неотрицательных действительных чисел , то для любого действительного числа p > 1 имеем ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.}$

Если правая часть конечна, равенство имеет место тогда и только тогда, когда для всех n . ${\displaystyle a_{n}=0}$

Интегральная версия неравенства Харди утверждает следующее: если f — измеримая функция с неотрицательными значениями, то

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\,dx\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.}$

Если правая часть конечна, равенство имеет место тогда и только тогда, когда f ( x ) = 0 почти всюду .

Неравенство Харди было впервые опубликовано и доказано (по крайней мере, дискретная версия с худшей константой) в 1920 году в заметке Харди. ^[1] Первоначальная формулировка имела интегральную форму, несколько отличающуюся от приведенной выше.

Общая одномерная версия

Общая взвешенная одномерная версия выглядит следующим образом: ^{[2] : §329}

• Если , то ${\displaystyle \alpha +{\tfrac {1}{p}}<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\biggl (}y^{\alpha -1}\int _{0}^{y}x^{-\alpha }f(x)\,dx{\biggr )}^{p}\,dy\leq {\frac {1}{{\bigl (}1-\alpha -{\frac {1}{p}}{\bigr )}^{p}}}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx}$

• Если , то ${\displaystyle \alpha +{\tfrac {1}{p}}>1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\biggl (}y^{\alpha -1}\int _{y}^{\infty }x^{-\alpha }f(x)\,dx{\biggr )}^{p}\,dy\leq {\frac {1}{{\bigl (}\alpha +{\frac {1}{p}}-1{\bigr )}^{p}}}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.}$

Многомерные версии

Многомерное неравенство Харди вокруг точки

В многомерном случае неравенство Харди можно распространить на -пространства, приняв вид ^[3] ${\displaystyle L^{p}}$

${\displaystyle \left\|{\frac {f}{|x|}}\right\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}\leq {\frac {p}{n-p}}\|\nabla f\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})},2\leq n,1\leq p<n,}$

где , а где константа , как известно, точна; по плотности она распространяется тогда на пространство Соболева . ${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\frac {p}{n-p}}}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

Аналогично, если , то для каждого имеем ${\displaystyle p>n\geq 2}$ ${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\Big (}1-{\frac {n}{p}}{\Big )}^{p}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {\vert f(x)-f(0)\vert ^{p}}{|x|^{p}}}dx\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert \nabla f\vert ^{p}.}$

Многомерное неравенство Харди вблизи границы

Если — непустое выпуклое открытое множество, то для любого , ${\displaystyle \Omega \subsetneq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\in W^{1,p}(\Omega )}$

${\displaystyle {\Big (}1-{\frac {1}{p}}{\Big )}^{p}\int _{\Omega }{\frac {\vert f(x)\vert ^{p}}{\operatorname {dist} (x,\partial \Omega )^{p}}}\,dx\leq \int _{\Omega }\vert \nabla f\vert ^{p},}$

и константа не может быть улучшена. ^[4]

Дробное неравенство Харди

Если и , , то существует константа такая, что для каждого удовлетворяющего , имеем ^{[5] : Лемма 2} ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle 0<\lambda <\infty }$ ${\displaystyle \lambda \neq 1}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f:(0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\vert f(x)\vert ^{p}/x^{\lambda }\,dx<\infty }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\vert f(x)\vert ^{p}}{x^{\lambda }}}\,dx\leq C\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {\vert f(x)-f(y)\vert ^{p}}{\vert x-y\vert ^{1+\lambda }}}\,dx\,dy.}$

Доказательство неравенства

Интегральная версия

Замена переменных дает

${\displaystyle \left(\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\ dx\right)^{1/p}=\left(\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{1}f(sx)\,ds\right)^{p}\,dx\right)^{1/p},}$

что меньше или равно по интегральному неравенству Минковского . Наконец, с помощью еще одной замены переменных, последнее выражение равно ${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\infty }f(sx)^{p}\,dx\right)^{1/p}\,ds}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx\right)^{1/p}s^{-1/p}\,ds={\frac {p}{p-1}}\left(\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx\right)^{1/p}.}$

Дискретная версия: из непрерывной версии

Предполагая, что правая часть конечна, мы должны иметь как . Следовательно, для любого положительного целого числа j существует только конечное число членов, больших, чем . Это позволяет нам построить убывающую последовательность, содержащую те же положительные члены, что и исходная последовательность (но, возможно, не нулевые члены). Поскольку для каждого n , достаточно показать неравенство для новой последовательности. Это следует непосредственно из интегральной формы, определяющей , если и в противном случае. Действительно, имеем ${\displaystyle a_{n}\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle 2^{-j}}$ ${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \dotsb }$ ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}\leq b_{1}+b_{2}+\dotsb +b_{n}}$ ${\displaystyle f(x)=b_{n}}$ ${\displaystyle n-1<x<n}$ ${\displaystyle f(x)=0}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}^{p}}$

и, для , имеет место ${\displaystyle n-1<x<n}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt={\frac {b_{1}+\dots +b_{n-1}+(x-n+1)b_{n}}{x}}\geq {\frac {b_{1}+\dots +b_{n}}{n}}}$

(последнее неравенство эквивалентно , что верно, так как новая последовательность убывает) и, таким образом, ${\displaystyle (n-x)(b_{1}+\dots +b_{n-1})\geq (n-1)(n-x)b_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {b_{1}+\dots +b_{n}}{n}}\right)^{p}\leq \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\,dx}$.

Дискретная версия: прямое доказательство

Пусть и пусть будут положительными действительными числами. Положим . Сначала докажем неравенство ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ ${\displaystyle S_{k}=\sum _{i=1}^{k}b_{i}}$

Пусть и пусть будет разностью между -ыми членами в правой и левой части * , то есть . Имеем: ${\displaystyle T_{n}={\frac {S_{n}}{n}}}$ ${\displaystyle \Delta _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta _{n}:=T_{n}^{p}-{\frac {p}{p-1}}b_{n}T_{n}^{p-1}}$

${\displaystyle \Delta _{n}=T_{n}^{p}-{\frac {p}{p-1}}b_{n}T_{n}^{p-1}=T_{n}^{p}-{\frac {p}{p-1}}(nT_{n}-(n-1)T_{n-1})T_{n}^{p-1}}$

или

${\displaystyle \Delta _{n}=T_{n}^{p}\left(1-{\frac {np}{p-1}}\right)+{\frac {p(n-1)}{p-1}}T_{n-1}T_{n}^{p}.}$

Согласно неравенству Юнга имеем:

${\displaystyle T_{n-1}T_{n}^{p-1}\leq {\frac {T_{n-1}^{p}}{p}}+(p-1){\frac {T_{n}^{p}}{p}},}$

из чего следует, что:

${\displaystyle \Delta _{n}\leq {\frac {n-1}{p-1}}T_{n-1}^{p}-{\frac {n}{p-1}}T_{n}^{p}.}$

При телескопировании мы имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\Delta _{n}&\leq 0-{\frac {1}{p-1}}T_{1}^{p}+{\frac {1}{p-1}}T_{1}^{p}-{\frac {2}{p-1}}T_{2}^{p}+{\frac {2}{p-1}}T_{2}^{p}-{\frac {3}{p-1}}T_{3}^{p}+\dotsb +{\frac {N-1}{p-1}}T_{N-1}^{p}-{\frac {N}{p-1}}T_{N}^{p}\\&=-{\frac {N}{p-1}}T_{N}^{p}<0,\end{aligned}}}$

доказывая * . Применяя неравенство Гёльдера к правой части *, имеем:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {S_{n}^{p}}{n^{p}}}\leq {\frac {p}{p-1}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {b_{n}S_{n}^{p-1}}{n^{p-1}}}\leq {\frac {p}{p-1}}\left(\sum _{n=1}^{N}b_{n}^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{n=1}^{N}{\frac {S_{n}^{p}}{n^{p}}}\right)^{(p-1)/p}}$

откуда сразу получаем:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {S_{n}^{p}}{n^{p}}}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{N}b_{n}^{p}.}$

Приходим к неравенству Харди. ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

Смотрите также

• Неравенство Карлемана

Примечания

1. Харди, GH (1920). «Замечание к теореме Гильберта». Mathematische Zeitschrift . 6 (3–4): 314–317. дои : 10.1007/BF01199965. S2CID  122571449.
2. Харди, GH; Литтлвуд, JE; Полиа, G. (1952). Неравенства (Второе издание). Кембридж, Великобритания.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
3. Ружанский, Майкл; Сураган, Дурвудхан (2019). Неравенства Харди на однородных группах: 100 лет неравенств Харди. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-030-02894-7.
4. Маркус, Моше; Мизель, Виктор Дж.; Пинчовер, Йехуда (1998). «О лучшей константе для неравенства Харди в $\mathbb {R}^n$». Труды Американского математического общества . 350 (8): 3237–3255. doi : 10.1090/S0002-9947-98-02122-9 .
5. Миронеску, Петру (2018). «Роль неравенств типа Харди в теории функциональных пространств» (PDF) . Румынское ревю чистой и прикладной математики . 63 (4): 447–525.

Ссылки

• Харди, GH; Литтлвуд, JE; Полиа, G. (1952). Неравенства (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9.

• Куфнер, Алоис; Перссон, Ларс-Эрик (2003). Весовые неравенства типа Харди . World Scientific Publishing. ISBN 981-238-195-3.

• Масмуди, Надер (2011), «О неравенстве Харди», Дирка Шлейхера; Мальте Лакманн (ред.), Приглашение к математике , Springer Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-19533-4.
• Ружанский, Майкл; Сураган, Дурвудхан (2019). Неравенства Харди на однородных группах: 100 лет неравенств Харди . Биркхойзер Базель. ISBN 978-3-030-02895-4.

Внешние ссылки

• «Неравенство Харди», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]