Изоморфизм Хариш-Чандры

Изоморфизм коммутативных колец, построенный в теории алгебр Ли

В математике изоморфизм Хариш-Чандры , введенный Хариш-Чандрой  (1951), — это изоморфизм коммутативных колец, построенный в теории алгебр Ли . Изоморфизм отображает центр универсальной обертывающей алгебры редуктивной алгебры Ли в элементы симметрической алгебры картановской подалгебры , инвариантные относительно группы Вейля . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {h}})^{W}}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle W}$

Введение и настройка

Пусть — полупростая алгебра Ли , ее подалгебра Картана и — два элемента весового пространства (где — двойственное к ) и предположим, что набор положительных корней фиксирован. Пусть и – модули с наибольшим весом и соответственно. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \lambda ,\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \Phi _{+}}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle V_{\mu }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

Центральные персонажи

-модули и являются представлениями универсальной обертывающей алгебры , а ее центр действует на модули скалярным умножением (это следует из того, что модули порождены вектором старшего веса). Итак, для и , ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle V_{\mu }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle v\in V_{\lambda }}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$

$${\displaystyle x\cdot v:=\chi _{\lambda }(x)v}$$

центральными характерами ${\displaystyle V_{\mu }}$ ${\displaystyle \chi _{\lambda },\,\chi _{\mu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$

Формулировка теоремы Хариш-Чандры

Для любого символы тогда и только тогда, когда и находятся на одной и той же орбите группы Вейля , где - полусумма положительных корней , иногда называемая вектором Вейля . ^[1] ${\displaystyle \lambda ,\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \chi _{\lambda }=\chi _{\mu }}$ ${\displaystyle \lambda +\delta }$ ${\displaystyle \mu +\delta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \delta }$

Другая тесно связанная формулировка состоит в том, что гомоморфизм Хариш-Чандры из центра универсальной обертывающей алгебры в (элементы симметричной алгебры подалгебры Картана, фиксированные группой Вейля) является изоморфизмом . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {h}})^{W}}$

Явный изоморфизм

Более явно, изоморфизм можно построить как композицию двух отображений: одного из в , другого из себя. ${\displaystyle {\mathfrak {Z}}={\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {h}})=S({\mathfrak {h}}),}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {h}})}$

Первое — это проекция . Для выбора положительных корней определяя ${\displaystyle \gamma :{\mathfrak {Z}}\rightarrow S({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle \Phi _{+}}$

$${\displaystyle n^{+}=\bigoplus _{\alpha \in \Phi _{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha },n^{-}=\bigoplus _{\alpha \in \Phi _{-}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$$

теореме Пуанкаре – Биркгофа – Витта

$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=U({\mathfrak {h}})\oplus (U({\mathfrak {g}}){\mathfrak {n}}^{+}+{\mathfrak {n}}^{-}U({\mathfrak {g}})).}$$

${\displaystyle z\in {\mathfrak {Z}}}$

$${\displaystyle z\in U({\mathfrak {h}})\oplus (U({\mathfrak {g}}){\mathfrak {n}}^{+}\cap {\mathfrak {n}}^{-}U({\mathfrak {g}})).}$$

${\displaystyle U({\mathfrak {g}})\rightarrow U({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle \gamma :{\mathfrak {Z}}\rightarrow S({\mathfrak {h}})}$

$${\displaystyle \chi _{\lambda }(x)=\gamma (x)(\lambda )}$$

Вторая карта — карта поворотов . Он рассматривается как его подпространство и определяется вектором Вейля. ${\displaystyle \tau :S({\mathfrak {h}})\rightarrow S({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle \tau (h)=h-\delta (h)1}$ ${\displaystyle \delta }$

Тогда изоморфизм. Причина, по которой введен этот поворот, заключается в том, что на самом деле он не является инвариантом Вейля, но можно доказать, что искаженный характер инвариантен . ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}=\tau \circ \gamma :{\mathfrak {Z}}\rightarrow S({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ ${\displaystyle {\tilde {\chi }}_{\lambda }=\chi _{\lambda -\delta }}$

Приложения

Теорема была использована для получения простого алгебраического доказательства формулы Вейля для конечномерных неприводимых представлений. ^[2] Доказательство было дополнительно упрощено Виктором Кацем , так что требуется только квадратичный оператор Казимира; соответствующее упрощенное доказательство формулы характера имеется во втором издании Хамфриса (1978, стр. 143–144).

Кроме того, это необходимое условие существования ненулевого гомоморфизма некоторых модулей старшего веса (гомоморфизм таких модулей сохраняет центральный характер). Простое следствие состоит в том, что для модулей Верма или обобщенных модулей Верма со старшим весом существует только конечное число весов, для которых существует ненулевой гомоморфизм . ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle V_{\lambda }\rightarrow V_{\mu }}$

Фундаментальные инварианты

Для простой алгебры Ли пусть будет ее ранг , то есть размерность любой подалгебры Картана в . HSM Коксетер заметил, что это изоморфно алгебре полиномов от переменных ( более общее утверждение см. В теореме Шевалле – Шепарда – Тодда ). Следовательно, центр универсальной обертывающей простой алгебры Ли изоморфен полиномиальной алгебре. Степени образующих алгебры — это степени фундаментальных инвариантов, приведенных в следующей таблице. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {h}})^{W}}$ ${\displaystyle r}$

Число фундаментальных инвариантов группы Ли равно ее рангу. Фундаментальные инварианты также связаны с кольцом когомологий группы Ли. В частности, если фундаментальные инварианты имеют степени , то и образующие кольца когомологий имеют степени . Благодаря этому степени фундаментальных инвариантов можно вычислять по числам Бетти группы Ли и наоборот. В другом направлении фундаментальные инварианты связаны с когомологиями классифицирующего пространства . Кольцо когомологий изоморфно алгебре полиномов от образующих со степенями . ^[3] ${\displaystyle d_{1},\cdots ,d_{r}}$ ${\displaystyle 2d_{1}-1,\cdots ,2d_{r}-1}$ ${\displaystyle H^{*}(BG,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 2d_{1},\cdots ,2d_{r}}$

Примеры

• Если - алгебра Ли , то центр универсальной обертывающей алгебры порождается инвариантом Казимира степени 2, а группа Вейля действует на подалгебре Картана, которая изоморфна , по отрицанию, поэтому инвариант группы Вейля равен квадрат образующей подалгебры Картана, который также имеет степень 2. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Для изоморфизм Хариш-Чандры говорит, что изоморфен алгебре многочленов, инвариантных по Вейлю многочленов от двух переменных (поскольку подалгебра Картана двумерна). При группа Вейля есть действующая на CSA в стандартном представлении. Поскольку группа Вейля действует посредством отражений, они являются изометриями, и поэтому полином степени 2 является инвариантом Вейля. Контуры полинома, инвариантного по Вейлю степени 3 (для конкретного выбора стандартного представления, когда одно из отражений происходит поперек оси x), показаны ниже. Эти два полинома порождают алгебру полиномов и являются фундаментальными инвариантами для . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=A_{2}={\mathfrak {sl}}(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle h_{1},h_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle S_{3}\cong D_{6}}$ ${\displaystyle f_{2}(h_{1},h_{2})=h_{1}^{2}+h_{2}^{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$
• Для всех алгебр Ли в классификации существует фундаментальный инвариант степени 2 — квадратичный Казимира . В изоморфизме они соответствуют полиному степени 2 на CSA. Поскольку группа Вейля действует путем отражения на CSA, они являются изометриями, поэтому инвариантный полином степени 2 равен где - размерность CSA , также известная как ранг алгебры Ли. ${\displaystyle f_{2}(\mathbf {h} )=h_{1}^{2}+\cdots +h_{r}^{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
• Для , подалгебра Картана одномерна, и изоморфизм Хариша-Чандры говорит, что изоморфен алгебре Вейля-инвариантных полиномов от одной переменной . Группа Вейля действует как отражение с нетривиальным элементом, действующим на полиномы посредством . Подалгебра полиномов, инвариантных по Вейлю, в полной алгебре полиномов, следовательно, представляет собой только четные полиномы, порожденные . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=A_{1}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle h\mapsto -h}$ ${\displaystyle K[h]}$ ${\displaystyle f_{2}(h)=h^{2}}$

• Для группа Вейля , действующая на две координаты , и порождается (неминимально) четырьмя отражениями, которые действуют на координаты как . Любая инвариантная квартика должна быть четной как в , так и в , а инвариантность при обмене координат означает, что любая инвариантная квартика может быть записана. Несмотря на то, что это двумерное векторное пространство, оно вносит только один новый фундаментальный инвариант, лежащий в пространстве. В этом случае не существует однозначного выбора инварианта четвертой степени, поскольку достаточно любого многочлена с нулями (а не обоих). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=B_{2}={\mathfrak {so}}(5)={\mathfrak {sp}}(4)}$ ${\displaystyle D_{8}}$ ${\displaystyle h_{1},h_{2}}$ ${\displaystyle (h_{1}\mapsto -h_{1},h_{2}\mapsto h_{2}),(h_{1}\mapsto h_{1},h_{2}\mapsto -h_{2}),(h_{1}\mapsto h_{2},h_{2}\mapsto h_{1}),(h_{1}\mapsto -h_{2},h_{2}\mapsto h_{1})}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle f_{4}(h_{1},h_{2})=ah_{1}^{4}+bh_{1}^{2}h_{2}^{2}+ah_{2}^{4}.}$ ${\displaystyle f_{2}(h_{1},h_{2})^{2}}$ ${\displaystyle b\neq 2a}$ ${\displaystyle a,b}$

Обобщение на аффинные алгебры Ли

Приведенный выше результат справедлив для редуктивных и, в частности, полупростых алгебр Ли . Существует обобщение на аффинные алгебры Ли , показанное Фейгиным и Френкелем, показывающее, что алгебра, известная как центр Фейгина-Френкеля, изоморфна W-алгебре, ассоциированной с двойственной к Ленглендсу алгебре Ли . ^{[4] [5]} ${\displaystyle ^{L}{\mathfrak {g}}}$

Центр Фейгина –Френкеля аффинной алгебры Ли не является точно центром универсальной обертывающей алгебры . Они являются элементами вакуумной аффинной вершинной алгебры на критическом уровне , где - двойственное число Кокстера, для которых аннулируются частью положительной петлевой алгебры , то есть ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(U({\hat {\mathfrak {g}}}))}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k=-h^{\vee }}$ ${\displaystyle h^{\vee }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}[t]}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$

$${\displaystyle {\mathfrak {Z}}({\hat {\mathfrak {g}}}):=\{S\in V_{\text{cri}}({\mathfrak {g}})|{\mathfrak {g}}[t]S=0\}}$$

сингулярные векторывекторы Сигала–Сугавары ${\displaystyle V_{\text{cri}}({\mathfrak {g}})}$

Изоморфизм в этом случае представляет собой изоморфизм между центром Фейгина–Френкеля и W-алгеброй, построенной и связанной с двойственной к Ленглендсу алгеброй Ли редукцией Дринфельда–Соколова :

$${\displaystyle {\mathfrak {Z}}({\hat {\mathfrak {g}}})\cong {\mathcal {W}}(^{L}{\mathfrak {g}}).}$$

${\displaystyle {\mathfrak {Z}}({\hat {\mathfrak {g}}})}$ ${\displaystyle \partial ^{n}S_{i},i=1,\cdots ,l,n\geq 0}$ ${\displaystyle S_{i},i=1,\cdots ,l}$ ${\displaystyle d_{i}+1,i=1,\cdots ,l}$ ${\displaystyle \partial }$

Смотрите также

• Функтор перевода
• Бесконечно малый символ

Примечания

1. Хамфрис 1978, с. 130.
2. Хамфрис 1978, стр. 135–141.
3. Борель, Арманд (апрель 1954 г.). «Sur la когомологии пространств гомогенных групп компактов Ли». Американский журнал математики . 76 (2): 273–342.
4. Молев, Александр (19 января 2021 г.). «О векторах Сигала–Сугавары и элементах Казимира для классических алгебр Ли». Письма по математической физике . 111 (8). arXiv : 2008.05256 . дои : 10.1007/s11005-020-01344-3. S2CID  254795180.
5. Фейгин, Борис; Френкель, Эдвард; Решетихин, Николай (3 апреля 1994 г.). «Модель Годена, анзац Бете и критический уровень». Коммун. Математика. Физ . 166 : 27–62. arXiv : hep-th/9402022 . дои : 10.1007/BF02099300. S2CID  17099900.

Внешние ресурсы

Замечания об изоморфизме Хариш-Чандры

Рекомендации

• Хариш-Чандра (1951), «О некоторых применениях универсальной обертывающей алгебры полупростой алгебры Ли», Труды Американского математического общества , 70 (1): 28–96, doi : 10.2307/1990524 , JSTOR  1990524, MR  0044515
• Хамфрис, Джеймс Э. (1978). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Тексты для аспирантов по математике. Том. 9 (Второе исправленное изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-90053-5. МР  0499562.(Содержит улучшенное доказательство формулы характера Вейля.)
• Хамфрис, Джеймс Э. (2008), Представления полупростых алгебр Ли в категории BGG O , AMS, с. 26, ISBN 978-0-8218-4678-0
• Кнапп, Энтони В.; Воган, Дэвид А. (1995), Когомологическая индукция и унитарные представления , Princeton Mathematical Series, vol. 45, Издательство Принстонского университета , ISBN 978-0-691-03756-1, МР  1330919
• Кнапп, Энтони В. (2013) [1996], «V. Конечномерные представления §5. Изоморфизм Хариш-Чандры», Группы Ли за пределами введения , Progress in Mathematics, vol. 140, Спрингер, стр. 246–258, ISBN. 978-1-4757-2453-0