Кривая дракона

Кривая дракона — это любой член семейства самоподобных фрактальных кривых , которые могут быть аппроксимированы рекурсивными методами, такими как системы Линденмайера . Кривая дракона, вероятно, чаще всего рассматривается как форма, которая генерируется путем многократного складывания полоски бумаги пополам, хотя существуют и другие кривые, называемые кривыми дракона, которые генерируются по-другому.

Дракон шоссе

Дракон Хайвэя (также известный как дракон Хартера-Хайвэя или дракон Юрского парка ) был впервые исследован физиками НАСА Джоном Хайвэем, Брюсом Бэнксом и Уильямом Хартером. Он был описан Мартином Гарднером в его колонке Scientific American Mathematical Games в 1967 году. Многие из его свойств были впервые опубликованы Чендлером Дэвисом и Дональдом Кнутом . Он появился на титульных страницах разделов романа Майкла Крайтона «Юрский парк» . ^[1]

Строительство

Дракон шоссе может быть построен из базового отрезка линии путем многократной замены каждого отрезка двумя отрезками с прямым углом и с поворотом на 45° попеременно вправо и влево: ^[2]

Дракон шоссе также является предельным множеством следующей итерированной системы функций в комплексной плоскости:

f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}

f_{2}(z)=1-{\frac {(1-i)z}{2}}

с начальным набором точек . $S_{0}=\{0,1\}$

Используя вместо этого пары действительных чисел, это то же самое, что и две функции, состоящие из

f_{1}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 45^{\circ }&-\sin 45^{\circ }\\\sin 45^{\circ }&\cos 45^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}

f_{2}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 135^{\circ }&-\sin 135^{\circ }\\\sin 135^{\circ }&\cos 135^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}

Складывание дракона

Кривую дракона Хайвэя можно построить, сложив полоску бумаги , как это было изначально обнаружено. ^[1] Возьмите полоску бумаги и сложите ее пополам вправо. Сложите ее еще раз пополам вправо. Если бы полоску развернули сейчас, разгибая каждый сгиб, чтобы получить поворот на 90 градусов, последовательность поворотов была бы RRL, т. е. вторая итерация дракона Хайвэя. Сложите полоску еще раз пополам вправо, и последовательность поворотов развернутой полоски теперь будет RRLRRLL – третья итерация дракона Хайвэя. Продолжаем складывать полоску пополам вправо, чтобы создать дальнейшие итерации дракона Хайвэя (на практике полоска становится слишком толстой, чтобы резко сгибаться после четырех или пяти итераций).

Схемы складывания этой последовательности бумажных полосок, как последовательности правых (П) и левых (Л) сгибов, следующие:

1-я итерация: R
2-я итерация: R R L
3-я итерация: R R L R R L L
4-я итерация: Р Р Л Р Р Л Л Р Р Р Л Л Р Л Л .

Каждую итерацию можно найти, скопировав предыдущую итерацию, затем R, затем вторую копию предыдущей итерации в обратном порядке, поменяв местами буквы L и R. ^[1]

Характеристики

В кривой дракона Хайвэя можно увидеть множество самоподобий . Наиболее очевидным является повторение того же узора, наклоненного на 45° и с коэффициентом уменьшения . Исходя из этих самоподобий, многие из ее длин являются простыми рациональными числами. $\textstyle {\sqrt {2}}$

Кривая дракона может замостить плоскость . Одна из возможных замощений заменяет каждое ребро квадратной замощения кривой дракона, используя рекурсивное определение дракона, начинающееся с отрезка прямой. Начальное направление расширения каждого сегмента может быть определено из шахматной раскраски квадратной замощения, расширения вертикальных сегментов в черные плитки и из белых плиток и расширения горизонтальных сегментов в белые плитки и из черных. ^[3]
Как кривая, заполняющая пространство , кривая дракона имеет фрактальную размерность ровно 2. Для кривой дракона с начальной длиной сегмента 1 ее площадь составляет 1/2, как можно видеть из ее разбиений на плоскости. ^[1]
Граница множества, охватываемого кривой дракона, имеет бесконечную длину с фрактальной размерностью, где — действительное решение уравнения ^[4] $2\log _{2}\лямбда \приблизительно 1,523627086202492,$ $\lambda ={\frac {1+(28-3{\sqrt {87}})^{1/3}+(28+3{\sqrt {87}})^{1/3}}{3}}\приблизительно 1,69562076956$ $\lambda ^{3}-\lambda ^{2}-2=0.$

Твиндракон

Кривая Twindragon, созданная из двух драконов Heighway

Twindragon (также известный как дракон Дэвиса–Кнута ) может быть построен путем размещения двух кривых дракона Хайвэя спина к спине (после переворота исходной кривой дракона по вертикали и горизонтали). Это также предельный набор следующей итерированной системы функций:

f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}

f_{2}(z)=1-{\frac {(1+i)z}{2}}

где начальная форма определяется следующим набором . $S_{0}=\{0,1,1-i\}$

Ее также можно записать в виде системы Линденмайера — для этого нужно лишь добавить еще один раздел в исходную строку:

угол 90°
начальная строка FX+FX+
правила перезаписи строк
- Х ↦ Х + ЖФ
- Y ↦ FX − Y .

Это также геометрическое место точек на комплексной плоскости с той же целой частью, записанной в системе счисления с основанием $(-1\pm i)$ . ^[5]

Тердрагон

Тердрагон можно записать в виде системы Линденмайера :

угол 120°
начальная строка F
правила перезаписи строк
- Ф ↦ Ф+Ф−Ф .

Это предельное множество следующей итерационной системы функций:

f_{1}(z)=\lambda z

f_{2}(z)={\frac {i}{\sqrt {3}}}z+\lambda

f_{3}(z)=\lambda z+\lambda ^{*}

{\mbox{где }}\lambda ={\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}{\text{ и }}\lambda ^{*}={\frac {1}{2}}+{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}.

Леви дракон

Кривую Леви С иногда называют драконом Леви . ^[6]

Появления кривой дракона в наборах решений

Получив набор решений линейного дифференциального уравнения, любая линейная комбинация решений, в силу принципа суперпозиции , также будет подчиняться исходному уравнению. Другими словами, новые решения получаются путем применения функции к набору существующих решений. Это похоже на то, как итерированная система функций создает новые точки в наборе, хотя не все IFS являются линейными функциями. В концептуально схожем ключе набор полиномов Литтлвуда может быть получен путем таких итерированных применений набора функций.

Полином Литтлвуда — это полином: где все . $p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,$ $a_{i}=\pm 1$

Для некоторых мы определяем следующие функции: $|w|<1$

f_{+}(z)=1+wz

f_{-}(z)=1-wz

Начиная с z=0, мы можем сгенерировать все полиномы Литтлвуда степени d, используя эти функции итеративно d+1 раз. ^[7] Например: $f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w = 1+1w-1w^{2}$

Видно, что для , указанная выше пара функций эквивалентна формулировке IFS дракона Хайвэя. То есть дракон Хайвэя, итерированный до определенной итерации, описывает множество всех полиномов Литтлвуда до определенной степени, вычисленной в точке . Действительно, при построении достаточно большого числа корней полиномов Литтлвуда, структуры, похожие на кривую дракона, появляются в точках, близких к этим координатам. ^[7]^[8]^[9] $w=(1+i)/2$ $w=(1+i)/2$

Смотрите также

Ссылки

^ abcd Табачников, Сергей (2014), «Повторный взгляд на кривые дракона», The Mathematical Intelligencer , 36 (1): 13–17, doi :10.1007/s00283-013-9428-y, MR 3166985, S2CID 14420269
^ Эдгар, Джеральд (2008), «Дракон шоссе», в Эдгар, Джеральд (ред.), Мера, топология и фрактальная геометрия , Бакалаврские тексты по математике (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, стр. 20–22, doi :10.1007/978-0-387-74749-1, ISBN 978-0-387-74748-4, МР 2356043
↑ Эдгар (2008), «Шоссе Дракона застилает плоскость», стр. 74–75.
↑ Эдгар (2008), «Граница шоссе Дракон», стр. 194–195.
^ Кнут, Дональд (1998). "Позиционные системы счисления". Искусство программирования . Т. 2 (3-е изд.). Бостон: Addison-Wesley. С. 206. ISBN 0-201-89684-2. OCLC 48246681.
^ Бейли, Скотт; Ким, Теодор; Стрихартц, Роберт С. (2002), «Внутри дракона Леви», The American Mathematical Monthly , 109 (8): 689–703, doi :10.2307/3072395, JSTOR 3072395, MR 1927621.
^ ab "Кафе n-категории".
^ "Неделя285".
^ "Красота корней". 2011-12-11.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Кривая Дракона».

Вайсштейн, Эрик В. , «Кривая Дракона», MathWorld
Кнут на Драконьей кривой