Гейзенберг фотография

Формулировка квантовой механики

В физике картина Гейзенберга или представление Гейзенберга ^[1] — это формулировка (в значительной степени принадлежащая Вернеру Гейзенбергу в 1925 году) квантовой механики, в которой операторы ( наблюдаемые и другие) включают зависимость от времени, но векторы состояния не зависят от времени, произвольный фиксированный базис , жестко лежащий в основе теории.

Она контрастирует с картиной Шредингера, в которой операторы постоянны, а состояния развиваются во времени. Две картины отличаются только базисным изменением в отношении зависимости от времени, что соответствует различию между активными и пассивными преобразованиями . Картина Гейзенберга — это формулировка матричной механики в произвольном базисе, в котором гамильтониан не обязательно диагонален.

Далее он служит для определения третьей, гибридной картины — картины взаимодействия .

Математические подробности

В картине квантовой механики Гейзенберга векторы состояния | ψ ⟩ не меняются со временем, в то время как наблюдаемые A удовлетворяют

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A_{\text{H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}[H_{\text{H}}(t),A_{\text{H}}(t)]+\left({\frac {\partial A_{\text{S}}}{\partial t}}\right)_{\text{H}},}$

где "H" и "S" обозначают наблюдаемые величины в картинах Гейзенберга и Шредингера соответственно, H — гамильтониан , а [·,·] обозначает коммутатор двух операторов (в данном случае H и A ). Взятие значений ожиданий автоматически приводит к теореме Эренфеста , представленной в принципе соответствия .

По теореме Стоуна–фон Неймана картина Гейзенберга и картина Шредингера унитарно эквивалентны, просто базис меняется в гильбертовом пространстве . В некотором смысле картина Гейзенберга более естественна и удобна, чем эквивалентная картина Шредингера, особенно для релятивистских теорий. Лоренц-инвариантность проявляется в картине Гейзенберга, поскольку векторы состояния не выделяют время или пространство.

Этот подход также имеет более прямое сходство с классической физикой : простая замена коммутатора выше скобкой Пуассона сводит уравнение Гейзенберга к уравнению гамильтоновой механики .

Эквивалентность уравнения Гейзенберга уравнению Шредингера

В педагогических целях картина Гейзенберга представлена ​​здесь на основе более поздней, но более знакомой картины Шредингера .

Согласно уравнению Шредингера , квантовое состояние в момент времени равно , где — оператор эволюции во времени, индуцированный гамильтонианом , который может зависеть от времени, а — начальное состояние. относится к упорядочению по времени, ħ — приведенная постоянная Планка , а i — мнимая единица. Ожидаемое значение наблюдаемой в картине Шредингера , которая является эрмитовым линейным оператором , который также может зависеть от времени, в состоянии задается выражением ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle }$ ${\displaystyle U(t)=Te^{-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}dsH_{\rm {S}}(s)}}$ ${\displaystyle H_{\rm {S}}(t)}$ ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A_{\rm {S}}(t)}$ ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ $${\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (t)|A_{\rm {S}}(t)|\psi (t)\rangle .}$$

В картине Гейзенберга предполагается, что квантовое состояние остается постоянным в своем начальном значении , тогда как операторы эволюционируют со временем в соответствии с определением Это легко подразумевает , поэтому одно и то же ожидаемое значение может быть получено, работая в любой картине. Уравнение Шредингера для оператора эволюции во времени имеет вид Из этого следует, что где дифференцирование выполнялось в соответствии с правилом произведения . Это уравнение движения Гейзенберга. Обратите внимание, что гамильтониан , который появляется в последней строке выше, является гамильтонианом Гейзенберга , который может отличаться от гамильтониана Шредингера . ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ $${\displaystyle A_{\rm {H}}(t):=U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)U(t)\,.}$$ ${\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|A_{\rm {H}}(t)|\psi (0)\rangle }$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}U(t)=-{\frac {i}{\hbar }}H_{\rm {S}}(t)U(t).}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}A_{\rm {H}}(t)&=\left({\frac {d}{dt}}U^{\dagger }(t)\right)A_{\rm {S}}(t)U(t)+U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)\left({\frac {d}{dt}}U(t)\right)+U^{\dagger }(t)\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)U(t)\\&={\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)H_{\rm {S}}(t)A_{\rm {S}}(t)U(t)-{\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)H_{\rm {S}}(t)U(t)+U^{\dagger }(t)\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)U(t)\\&={\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)H_{\rm {S}}(t)U(t)U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)U(t)-{\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)A_{\rm {S}}(t)U(t)U^{\dagger }(t)H_{\rm {S}}(t)U(t)+\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)_{\rm {H}}\\&={\frac {i}{\hbar }}[H_{\rm {H}}(t),A_{\rm {H}}(t)]+\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)_{\rm {H}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle H_{\rm {H}}(t)}$ ${\displaystyle H_{\rm {S}}(t)}$

Важный частный случай уравнения выше получается, если гамильтониан не меняется со временем. Тогда оператор эволюции во времени можно записать как и, следовательно, поскольку теперь коммутирует с . Следовательно, и следуя предыдущим анализам, ${\displaystyle H_{\rm {S}}}$ $${\displaystyle U(t)=e^{-{\frac {i}{\hbar }}tH_{\rm {S}}},}$$ ${\displaystyle H_{\rm {H}}\equiv H_{\rm {S}}\equiv H}$ ${\displaystyle U(t)}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{{\frac {i}{\hbar }}tH}A_{\rm {S}}(t)e^{-{\frac {i}{\hbar }}tH}|\psi (0)\rangle }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}A_{\rm {H}}(t)&={\frac {i}{\hbar }}[H,A_{\rm {H}}(t)]+e^{{\frac {i}{\hbar }}tH}\left({\frac {\partial A_{\rm {S}}}{\partial t}}\right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}tH}.\end{aligned}}}$$

Более того, если также не зависит от времени, то последний член исчезает и ${\displaystyle A_{\rm {S}}\equiv A}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A_{\rm {H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A_{\rm {H}}(t)],}$

где в данном конкретном случае. Уравнение решается с использованием стандартного операторного тождества , что подразумевает ${\displaystyle A_{\rm {H}}(t)\equiv A(t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}tH}Ae^{-{\frac {i}{\hbar }}tH}}$ $${\displaystyle {e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots \,,}$$ $${\displaystyle A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]+{\frac {1}{2!}}\left({\frac {it}{\hbar }}\right)^{2}[H,[H,A]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {it}{\hbar }}\right)^{3}[H,[H,[H,A]]]+\cdots }$$

Аналогичное соотношение справедливо и для классической механики , классический предел вышеизложенного задается соответствием между скобками Пуассона и коммутаторами : В классической механике для A без явной зависимости от времени выражение для A ( t ) снова представляет собой разложение Тейлора вокруг t = 0. $${\displaystyle [A,H]\quad \longleftrightarrow \quad i\hbar \{A,H\}.}$$ $${\displaystyle \{A,H\}={\frac {dA}{dt}}~,}$$

В результате начальное состояние квантовой системы отступает из поля зрения и рассматривается только на последнем этапе взятия определенных значений ожиданий или матричных элементов наблюдаемых, которые эволюционировали во времени в соответствии с уравнением движения Гейзенберга. Похожий анализ применяется, если начальное состояние является смешанным .

Иногда состояние, развивающееся во времени, в картине Шредингера записывается так, чтобы отличить его от развивающегося состояния , которое появляется в другой картине взаимодействия . ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{\rm {S}}(t)\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{\rm {I}}(t)\rangle }$

Коммутаторные соотношения

Коммутаторные соотношения могут выглядеть иначе, чем в картине Шредингера, из-за зависимости операторов от времени. Например, рассмотрим операторы x ( t ₁ ), x ( t ₂ ), p ( t ₁ ) и p ( t ₂ ) . Временная эволюция этих операторов зависит от гамильтониана системы. Рассматривая одномерный гармонический осциллятор, эволюция операторов положения и импульса задается следующим образом: $${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}},}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,x(t)]={\frac {p}{m}},}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}p(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,p(t)]=-m\omega ^{2}x.}$$

Обратите внимание, что гамильтониан не зависит от времени и, следовательно, является оператором положения и импульса в картине Гейзенберга. Дифференцирование обоих уравнений еще раз и решение для них с надлежащими начальными условиями приводит к ${\displaystyle x(t),p(t)}$ $${\displaystyle {\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0},}$$ $${\displaystyle {\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}},}$$ $${\displaystyle x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{\omega m}}\sin(\omega t),}$$ $${\displaystyle p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega x_{0}\sin(\omega t).}$$

Прямое вычисление дает более общие коммутаторные соотношения: $${\displaystyle [x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right),}$$ $${\displaystyle [p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right),}$$ $${\displaystyle [x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right).}$$

Для можно просто восстановить стандартные канонические коммутационные соотношения, справедливые во всех изображениях. ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$

Сводное сравнение эволюции на всех рисунках

Для гамильтониана H _S , не зависящего от времени , где H _0,S — свободный гамильтониан,

Смотрите также

• Обозначение скобок
• Интерактивная картинка
• Картина Шредингера
• Уравнения Гейзенберга–Ланжевена
• Формулировка фазового пространства

Ссылки

1. "Представление Гейзенберга". Энциклопедия математики . Получено 3 сентября 2013 г.

• Коэн-Таннуджи, Клод ; Бернар Диу; Фрэнк Лало (1977). Квантовая механика (Том первый) . Париж: Wiley. С. 312–314. ISBN 0-471-16433-X.
• Альберт Мессия , 1966. Квантовая механика (т. I), перевод на английский язык с французского Г. М. Теммера. Северная Голландия, John Wiley & Sons.
• Мерцбахер Э. , Квантовая механика (3-е изд., John Wiley 1998) стр. 430–431 ISBN 0-471-88702-1 
• Л. Д. Ландау , Э. М. Лифшиц (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Т. 3 (3-е изд.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.Электронная копия
• Р. Шанкар (1994); Принципы квантовой механики , Plenum Press, ISBN 978-0306447907 . 
• JJ Sakurai (1993); Современная квантовая механика (пересмотренное издание), ISBN 978-0201539295 . 

Внешние ссылки

• Педагогические пособия по квантовой теории поля Щелкните ссылку на главу 2, чтобы найти подробное, упрощенное введение в картину Гейзенберга.
• Некоторые расширенные выводы и пример гармонического осциллятора в картине Гейзенберга [1]
• Перевод оригинальной статьи Гейзенберга (хотя ее трудно читать, но она содержит пример для ангармонического осциллятора): Источники квантовой механики Б. Л. Ван дер Варден [2]
• Вычисления для атома водорода в представлении Гейзенберга первоначально из статьи Паули [3]