Очень мощное число

Положительные целые числа, имеющие свойство относительно своих делителей

В элементарной теории чисел высокомощное число — это положительное целое число, которое удовлетворяет свойству, введенному индо-канадским математиком Матукумалли В. Суббарао . ^[1] Множество высокомощных чисел является собственным подмножеством множества мощных чисел .

Определим prodex (1) = 1. Пусть будет положительным целым числом, таким, что , где — различные простые числа в порядке возрастания, а — положительное целое число для . Определим . (последовательность A005361 в OEIS ) Положительное целое число определяется как очень мощное число тогда и только тогда, когда для каждого положительного целого числа следует, что ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{e_{p_{i}}(n)}}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e_{p_{i}}(n)}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$ ${\displaystyle \operatorname {prodex} (n)=\prod _{i=1}^{k}e_{p_{i}}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m,\,1\leq m<n}$ ${\displaystyle \operatorname {prodex} (m)<\operatorname {prodex} (n).}$

Первые 25 очень мощных чисел: 1, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 144, 216, 288, 432, 864, 1296, 1728, 2592, 3456, 5184, 7776, 10368, 15552, 20736, 31104, 41472, 62208, 86400. (последовательность A005934 в OEIS )

Ссылки

1. Харди, GE; Суббарао, MV (1983). «Высокоэффективные числа». Congr. Numer. 37. С. 277–307.
2. Lacampagne, CB ; Selfridge, JL (июнь 1984). «Большие высокомощные числа являются кубическими». Труды Американского математического общества . 91 (2): 173–181. doi : 10.1090/s0002-9939-1984-0740165-6 .