stringtranslate.com

Интегральный оператор Гильберта–Шмидта

В математике интегральный оператор Гильберта –Шмидта — это тип интегрального преобразования . В частности, если задана область Ω в n - мерном евклидовом пространстве R n , то квадратично-интегрируемая функция k  : Ω × Ω →  C , принадлежащая L 2 (Ω × Ω), такая, что

называется ядром Гильберта–Шмидта , а связанный с ним интегральный оператор T  :  L 2 (Ω) →  L 2 (Ω) задается формулой

называется интегральным оператором Гильберта–Шмидта . [1] [2] Тогда T является оператором Гильберта–Шмидта с нормой Гильберта–Шмидта

Интегральные операторы Гильберта–Шмидта являются как непрерывными , так и компактными . [3]

Понятие оператора Гильберта–Шмидта может быть распространено на любые локально компактные хаусдорфовы пространства . В частности, пусть L 2 ( X )сепарабельное гильбертово пространство , а X — локально компактное хаусдорфово пространство, снабженное положительной борелевской мерой . Начальное условие на ядре k на Ω ⊆ R n можно переинтерпретировать как требование принадлежности k L 2 ( X × X ) . Тогда оператор

компактен . Если

тогда T также самосопряжен , и поэтому спектральная теорема применима. Это одна из фундаментальных конструкций таких операторов, которая часто сводит проблемы о бесконечномерных векторных пространствах к вопросам о хорошо понятых конечномерных собственных пространствах. [4]

Смотрите также

Примечания

  1. Саймон 1978, стр. 14.
  2. Бамп 1998, стр. 168.
  3. ^ Ренарди и Роджерс 2004, стр. 260, 262.
  4. Бамп 1998, стр. 168–185.

Ссылки