В математике интегральный оператор Гильберта –Шмидта — это тип интегрального преобразования . В частности, если задана область Ω в n - мерном евклидовом пространстве R n , то квадратично-интегрируемая функция k : Ω × Ω → C , принадлежащая L 2 (Ω × Ω), такая, что
называется ядром Гильберта–Шмидта , а связанный с ним интегральный оператор T : L 2 (Ω) → L 2 (Ω) задается формулой
называется интегральным оператором Гильберта–Шмидта . [1] [2] Тогда T является оператором Гильберта–Шмидта с нормой Гильберта–Шмидта
Интегральные операторы Гильберта–Шмидта являются как непрерывными , так и компактными . [3]
Понятие оператора Гильберта–Шмидта может быть распространено на любые локально компактные хаусдорфовы пространства . В частности, пусть L 2 ( X ) — сепарабельное гильбертово пространство , а X — локально компактное хаусдорфово пространство, снабженное положительной борелевской мерой . Начальное условие на ядре k на Ω ⊆ R n можно переинтерпретировать как требование принадлежности k L 2 ( X × X ) . Тогда оператор
компактен . Если
тогда T также самосопряжен , и поэтому спектральная теорема применима. Это одна из фундаментальных конструкций таких операторов, которая часто сводит проблемы о бесконечномерных векторных пространствах к вопросам о хорошо понятых конечномерных собственных пространствах. [4]