Уравнение Хилла (биохимия)

Диаграмма, показывающая долю рецептора, связанного с лигандом

Кривые связывания, демонстрирующие характерные сигмоидальные кривые, полученные с помощью уравнения Хилла для моделирования кооперативного связывания. Каждая кривая соответствует разному коэффициенту Хилла, указанному справа от кривой. Вертикальная ось отображает долю общего числа рецепторов, связанных лигандом. Горизонтальная ось отображает концентрацию лиганда. По мере увеличения коэффициента Хилла кривая насыщения становится круче.

В биохимии и фармакологии уравнение Хилла относится к двум тесно связанным уравнениям, которые отражают связывание лигандов с макромолекулами как функцию концентрации лиганда . Лиганд — это «вещество, которое образует комплекс с биомолекулой для выполнения биологической задачи» ( определение лиганда ), а макромолекула — это очень большая молекула, такая как белок, со сложной структурой компонентов ( определение макромолекулы ). Связывание белка с лигандом обычно изменяет структуру целевого белка, тем самым изменяя его функцию в клетке.

Различие между двумя уравнениями Хилла заключается в том, измеряют ли они занятость или реакцию . Уравнение Хилла отражает занятость макромолекул: фракцию, которая насыщается или связывается лигандом . [ ^{1] [2] [nb 1]} Это уравнение формально эквивалентно изотерме Ленгмюра . ^[3] Наоборот, уравнение Хилла как таковое отражает клеточную или тканевую реакцию на лиганд: физиологический выход системы, такой как сокращение мышц.

Уравнение Хилла было первоначально сформулировано Арчибальдом Хиллом в 1910 году для описания сигмоидальной кривой связывания _O2 гемоглобином . [ ^4]

Связывание лиганда с макромолекулой часто усиливается, если на той же макромолекуле уже присутствуют другие лиганды (это известно как кооперативное связывание ). Уравнение Хилла полезно для определения степени кооперативности связывания лиганда(ов) с ферментом или рецептором. Коэффициент Хилла позволяет количественно оценить степень взаимодействия между сайтами связывания лиганда. ^[5]

Уравнение Хилла (для ответа) важно при построении кривых доза-реакция .

Доля рецепторов, связанных с лигандом

График % насыщения связывания кислорода с гемоглобином в зависимости от количества присутствующего кислорода (выраженного как давление кислорода). Данные (красные круги) и уравнение Хилла (черная кривая) соответствуют оригинальной статье Хилла 1910 года. ^[6]

Уравнение Хилла обычно выражается следующими способами. ^{[2] [7] [8]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &={[{\ce {L}}]^{n} \over K_{d}+[{\ce {L}}]^{n}}\\&={[{\ce {L}}]^{n} \over (K_{A})^{n}+[{\ce {L}}]^{n}}\\&={1 \over 1+\left({K_{A} \over [{\ce {L}}]}\right)^{n}}\end{aligned}}}$,

где:

• ${\displaystyle \theta }$это доля концентрации рецепторного белка , связанная лигандом ,
• ${\displaystyle {\ce {[L]}}}$общая концентрация лиганда ,
• ${\displaystyle K_{d}}$- кажущаяся константа диссоциации, полученная из закона действующих масс ,
• ${\displaystyle K_{A}}$концентрация лиганда, обеспечивающая половинное заполнение,
• ${\displaystyle n}$— коэффициент Хилла.

Частным случаем является уравнение Моно . ${\displaystyle n=1}$

Константы

В фармакологии часто записывается как , где — лиганд, эквивалентный L, а — рецептор. может быть выражена через общее количество концентраций рецептора и связанного с лигандом рецептора: . равно отношению скорости диссоциации комплекса лиганд-рецептор к скорости его ассоциации ( ). ^[8] Kd — константа равновесия для диссоциации. определяется так, что , это также известно как микроскопическая константа диссоциации и представляет собой концентрацию лиганда, занимающую половину участков связывания. В современной литературе эта константа иногда упоминается как . ^[8] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle p_{{\ce {AR}}}}$ ${\displaystyle {\ce {A}}}$ ${\displaystyle {\ce {R}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta ={\frac {\ce {[LR]}}{\ce {[R_{\rm {total}}]}}}}$ ${\displaystyle K_{d}}$ ${\textstyle K_{\rm {d}}={k_{\rm {d}} \over k_{\rm {a}}}}$ ${\textstyle K_{A}}$ ${\textstyle (K_{A})^{n}=K_{\rm {d}}={k_{\rm {d}} \over k_{\rm {a}}}}$ ${\textstyle K_{D}}$

Уравнение Гаддума

Уравнение Гаддума является дальнейшим обобщением уравнения Хилла, включающим наличие обратимого конкурентного антагониста. ^[1] Уравнение Гаддума выводится аналогично уравнению Хилла, но с двумя равновесиями: как лиганда с рецептором, так и антагониста с рецептором. Следовательно, уравнение Гаддума имеет 2 константы: константы равновесия лиганда и константы равновесия антагониста

Холмистый участок

График Хилла, где ось x представляет собой логарифм концентрации лиганда, а ось y — преобразованную занятость рецептора. X представляет собой L, а Y представляет собой тета.

График Хилла представляет собой преобразование уравнения Хилла в прямую линию.

Взяв обратные величины от обеих сторон уравнения Хилла, переставив и снова инвертировав, получаем: . Взятие логарифма от обеих сторон уравнения приводит к альтернативной формулировке уравнения Хилла-Ленгмюра: ${\displaystyle {\theta \over 1-\theta }={[{\ce {L}}]^{n} \over K_{d}}={[{\ce {L}}]^{n} \over (K_{A})^{n}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\log \left({\theta \over 1-\theta }\right)&=n\log {[{\ce {L}}]}-\log {K_{d}}\\&=n\log {[{\ce {L}}]}-n\log {K_{A}}\end{aligned}}}$.

Эта последняя форма уравнения Хилла выгодна, поскольку график зависимости от дает линейный график , который называется графиком Хилла. ^{[7] [8]} Поскольку наклон графика Хилла равен коэффициенту Хилла для биохимического взаимодействия, наклон обозначается как . Таким образом, наклон больше единицы указывает на положительное кооперативное связывание между рецептором и лигандом, тогда как наклон меньше единицы указывает на отрицательное кооперативное связывание. ${\textstyle \log \left({\theta \over 1-\theta }\right)}$ ${\displaystyle \log {[{\ce {L}}]}}$ ${\displaystyle n_{H}}$

Преобразования уравнений в линейные формы, подобные этому, были очень полезны до широкого распространения компьютеров, поскольку они позволяли исследователям определять параметры путем подгонки линий к данным. Однако эти преобразования влияют на распространение ошибок, и это может привести к необоснованному весу ошибки в точках данных вблизи 0 или 1. ^{[nb 2]} Это влияет на параметры линий линейной регрессии, подогнанных к данным. Кроме того, использование компьютеров позволяет проводить более надежный анализ, включающий нелинейную регрессию .

Реакция тканей

Трио кривых доза-реакция

Следует различать количественную оценку связывания препаратов с рецепторами и препаратов, вызывающих ответы. Между этими двумя значениями не обязательно может быть линейная зависимость. В отличие от предыдущего определения уравнения Хилла в этой статье, IUPHAR определяет уравнение Хилла в терминах реакции ткани , как ^[1], где — концентрация препарата, — коэффициент Хилла, — концентрация препарата, которая вызывает 50% максимальный ответ. Константы диссоциации (в предыдущем разделе) относятся к связыванию лиганда, тогда как отражает реакцию ткани. ${\displaystyle (E)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E}{E_{\mathrm {max} }}}&={\frac {[A]^{n}}{{\text{EC}}_{50}^{n}+[A]^{n}}}\\&={\frac {1}{1+\left({\frac {{\text{EC}}_{50}}{[A]}}\right)^{n}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\ce {[A]}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{EC}}_{50}}$ ${\displaystyle {\text{EC}}_{50}}$

Эта форма уравнения может отражать реакции тканей/клеток/популяций на лекарственные препараты и может использоваться для создания кривых доза-эффект . Связь между и EC50 может быть довольно сложной, поскольку биологический ответ будет суммой множества факторов; препарат будет иметь другой биологический эффект, если присутствует больше рецепторов, независимо от его сродства. ${\displaystyle K_{d}}$

Модель Дель-Кастильо-Каца используется для связи уравнения Хилла с активацией рецептора путем включения второго равновесия рецептора, связанного с лигандом, в активированную форму рецептора, связанного с лигандом.

Статистический анализ реакции как функции стимула может быть выполнен с помощью методов регрессии, таких как пробит-модель или логит-модель , или других методов, таких как метод Спирмена–Кербера. ^[9] Эмпирические модели, основанные на нелинейной регрессии, обычно предпочтительнее использования некоторого преобразования данных, которое линеаризует зависимость доза-реакция. ^[10]

Коэффициент Хилла

Коэффициент Хилла является мерой сверхчувствительности (т.е. насколько крута кривая отклика).

Коэффициент Хилла, или , может описывать кооперативность (или, возможно, другие биохимические свойства, в зависимости от контекста, в котором используется уравнение Хилла). При необходимости ^{[ необходимо разъяснение ]} значение коэффициента Хилла описывает кооперативность связывания лиганда следующим образом: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n_{H}}$

• ${\displaystyle n>1}$. Положительно кооперативное связывание : как только одна молекула лиганда связывается с ферментом, ее сродство к другим молекулам лиганда увеличивается. Например, коэффициент Хилла связывания кислорода с гемоглобином (пример положительной кооперативности) находится в диапазоне 1,7–3,2. ^[5]
• ${\displaystyle n<1}$. Отрицательно кооперативное связывание : как только одна молекула лиганда связывается с ферментом, ее сродство к другим молекулам лиганда уменьшается.
• ${\displaystyle n=1}$. Некооперативное (полностью независимое) связывание : Сродство фермента к молекуле лиганда не зависит от того, связаны ли уже другие молекулы лиганда. Когда n=1, мы получаем модель, которая может быть смоделирована с помощью кинетики Михаэлиса–Ментен , ^[11] в которой , константа Михаэлиса–Ментен . ${\textstyle K_{D}=K_{A}=K_{M}}$

Коэффициент Хилла можно приблизительно рассчитать с помощью индекса кооперативности Такеты и Погелла ^[12] следующим образом: ^[13]

${\displaystyle n={\frac {\log _{10}(81)}{\log _{10}({\ce {EC90}}/{\ce {EC10}})}}}$.

где и — входные значения, необходимые для получения 10% и 90% максимального отклика соответственно. ${\displaystyle {\ce {EC90}}}$ ${\displaystyle {\ce {EC10}}}$

Обратимая форма

Наиболее распространенной формой уравнения Хилла является его необратимая форма. Однако при построении вычислительных моделей часто требуется обратимая форма для моделирования ингибирования продукта. По этой причине Хофмейр и Корниш-Боуден разработали обратимое уравнение Хилла . ^[14]

Связь с коэффициентами эластичности

Коэффициент Хилла также тесно связан с коэффициентом эластичности, причем можно показать, что коэффициент Хилла равен:

${\displaystyle n=\varepsilon _{s}^{v}{\frac {1}{1-\theta }}}$

где — фракционная насыщенность, и коэффициент эластичности. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle ES/E_{t}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}}$

Это выводится путем взятия наклона уравнения Хилла:

${\displaystyle n={\frac {d\log {\frac {\theta }{1-\theta }}}{d\log s}}}$

и расширение наклона с помощью правила частного. Результат показывает, что эластичность никогда не может превышать, поскольку уравнение выше можно переформулировать так: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}=n(1-\theta )}$

Приложения

Уравнение Хилла широко используется в фармакологии для количественной оценки функциональных параметров лекарственного средства ^{[ необходима ссылка ]} , а также в других областях биохимии.

Уравнение Хилла можно использовать для описания зависимости реакции от дозы, например, вероятности открытия ионного канала (P-open) в зависимости от концентрации лиганда. ^[15]

Регуляция транскрипции генов

Уравнение Хилла можно применять при моделировании скорости, с которой вырабатывается генный продукт, когда его родительский ген регулируется факторами транскрипции (например, активаторами и/или репрессорами ). ^[11] Это целесообразно, когда ген регулируется несколькими сайтами связывания для факторов транскрипции, и в этом случае факторы транскрипции могут связывать ДНК кооперативным образом. ^[16]

Если продукция белка из гена X повышается ( активируется ) фактором транскрипции Y , то скорость продукции белка X можно смоделировать в виде дифференциального уравнения относительно концентрации активированного белка Y :

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}[{\rm {X_{produced}}}]=k\ \cdot {{[{\rm {Y_{active}}}]^{\mathit {n}}} \over {(K_{A})^{n}\ +\ {[{\rm {Y_{active}}}]^{\mathit {n}}}}}}$,

где k — максимальная скорость транскрипции гена X.

Аналогично, если продукция белка из гена Y подавляется ( репрессируется ) фактором транскрипции Z , то скорость продукции белка Y можно смоделировать в виде дифференциального уравнения относительно концентрации активированного белка Z :

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}[{\rm {Y_{produced}}}]=k\ \cdot {{(K_{A})^{\mathit {n}}} \over {(K_{A})^{n}\ +\ {[{\rm {Z_{active}}}]^{\mathit {n}}}}}}$,

где k — максимальная скорость транскрипции гена Y.

Ограничения

Из-за предположения, что молекулы лиганда связываются с рецептором одновременно, уравнение Хилла подверглось критике как физически нереалистичная модель. ^[5] Более того, коэффициент Хилла не следует считать надежным приближением числа кооперативных участков связывания лиганда на рецепторе ^{[5] [17],} за исключением случаев, когда связывание первого и последующих лигандов приводит к чрезвычайно положительной кооперативности. ^[5]

В отличие от более сложных моделей, относительно простое уравнение Хилла дает мало информации о физиологических механизмах взаимодействия белка с лигандом. Однако именно эта простота делает уравнение Хилла полезной эмпирической моделью, поскольку для его использования требуется мало априорных знаний о свойствах изучаемого белка или лиганда. ^[2] Тем не менее, были предложены и другие, более сложные модели кооперативного связывания. ^[7] Для получения дополнительной информации и примеров таких моделей см. Кооперативное связывание .

Глобальная мера чувствительности, такая как коэффициент Хилла, не характеризует локальное поведение s-образных кривых. Вместо этого эти особенности хорошо фиксируются мерой коэффициента отклика. ^[18]

Существует связь между коэффициентом Хилла и коэффициентом отклика, как показано ниже. Альтзилер и др. (2017) показали, что эти показатели сверхчувствительности могут быть связаны. ^[13]

Смотрите также

• Коэффициент связывания
• участок Бьеррума
• Кооперативное связывание
• кривая Гомпертца
• Модель адсорбции Ленгмюра
• Логистическая функция
• Кинетика Михаэлиса–Ментена
• Уравнение монода

Примечания

1. Для ясности в этой статье будет использоваться соглашение Международного союза фундаментальной и клинической фармакологии о различии между уравнением Хилла-Ленгмюра (для насыщения рецепторов) и уравнением Хилла (для реакции тканей).
2. См. Распространение неопределенности . Функция распространяет ошибки в как . Следовательно, ошибки в значениях около или имеют гораздо больший вес, чем ошибки для ${\displaystyle f(\theta )=\log _{10}\left({\frac {\theta }{1-\theta }}\right)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \delta _{f}=\delta _{\theta }{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\delta _{\theta }}{(\ln 10)\,\theta (1-\theta )}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \theta \approx 0.5}$

Ссылки

1. Neubig, Richard R. (2003). "Международный комитет фармакологического союза по номенклатуре рецепторов и классификации лекарств. XXXVIII. Обновление терминов и символов в количественной фармакологии" (PDF) . Pharmacological Reviews . 55 (4): 597–606. doi :10.1124/pr.55.4.4. PMID  14657418. S2CID  1729572.
2. Gesztelyi, Рудольф; Жуга, Юдит; Кемени-Беке, Адам; Варга, Балаж; Юхас, Бела; Тосаки, Арпад (31 марта 2012 г.). «Уравнение Хилла и происхождение количественной фармакологии». Архив истории точных наук . 66 (4): 427–438. дои : 10.1007/s00407-012-0098-5. ISSN  0003-9519. S2CID  122929930.
3. Ленгмюр, Ирвинг (1918). «Адсорбция газов на плоских поверхностях стекла, слюды и платины». Журнал Американского химического общества . 40 (9): 1361–1403. doi :10.1021/ja02242a004.
4. Хилл, AV (1910-01-22). «Возможные эффекты агрегации молекул гемоглобина на кривые его диссоциации». J. Physiol. 40 (Suppl): iv–vii. doi :10.1113/jphysiol.1910.sp001386. S2CID  222195613.
5. Weiss, JN (1 сентября 1997 г.). «Пересмотр уравнения Хилла: использование и неправильное использование». FASEB Journal . 11 (11): 835–841. doi : 10.1096/fasebj.11.11.9285481 . ISSN  0892-6638. PMID  9285481. S2CID  827335.
6. "Труды Физиологического общества: 22 января 1910 г.". Журнал физиологии . 40 (suppl): i–vii. 1910. doi :10.1113/jphysiol.1910.sp001386. ISSN  1469-7793. S2CID  222195613.
7. Стефан, Мелани И.; Новер, Николя Ле (27 июня 2013 г.). "Кооперативное связывание". PLOS Computational Biology . 9 (6): e1003106. Bibcode : 2013PLSCB...9E3106S. doi : 10.1371/journal.pcbi.1003106 . ISSN  1553-7358. PMC 3699289. PMID 23843752  . 
8. Нельсон, Дэвид Л.; Кокс, Майкл М. (2013). Принципы биохимии Ленингера (6-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman. С. 158–162. ISBN 978-1429234146.
9. Гамильтон, MA; Руссо, RC; Терстон, RV (1977). «Метод усеченного Спирмена–Карбера для оценки средних летальных концентраций в биопробах токсичности». Environmental Science & Technology . 11 (7): 714–9. Bibcode : 1977EnST...11..714H. doi : 10.1021/es60130a004.
10. Бейтс, Дуглас М.; Уоттс, Дональд Г. (1988). Нелинейный регрессионный анализ и его применение . Wiley . стр. 365. ISBN 9780471816430.
11. Alon, Uri (2007). Введение в системную биологию: принципы проектирования биологических цепей ([Nachdr.] ред.). Boca Raton, FL: Chapman & Hall. ISBN 978-1-58488-642-6.
12. Taketa, K.; Pogell, BM (1965). «Аллостерическое ингибирование фруктозо-1,6-дифосфатазы печени крысы аденозин-5'-монофосфатом». J. Biol. Chem . 240 (2): 651–662. doi : 10.1016/S0021-9258(17)45224-0 . PMID  14275118.
13. Altszyler, E; Ventura, AC; Colman-Lerner, A.; Chernomoretz, A. (2017). "Повторный взгляд на сверхчувствительность в сигнальных каскадах: связывание локальных и глобальных оценок сверхчувствительности". PLOS ONE . ​​12 (6): e0180083. arXiv : 1608.08007 . Bibcode :2017PLoSO..1280083A. doi : 10.1371/journal.pone.0180083 . PMC 5491127 . PMID  28662096. 
14. Хофмейр, Ян-Хендрик С.; Корниш-Боуден, Атель (1997). «Обратимое уравнение Хилла: как включить кооперативные ферменты в метаболические модели». Биоинформатика . 13 (4): 377–385. doi : 10.1093/bioinformatics/13.4.377 . PMID  9283752.
15. Ding, S; Sachs, F (1999). «Свойства одного канала пуриноцепторов P2X2». J. Gen. Physiol . 113 (5). The Rockefeller University Press: 695–720. doi :10.1085/jgp.113.5.695. PMC 2222910. PMID 10228183  . 
16. Чу, Доминик; Забет, Николае Раду; Митавский, Борис (2009-04-07). "Модели связывания факторов транскрипции: чувствительность функций активации к предположениям модели" (PDF) . Журнал теоретической биологии . 257 (3): 419–429. Bibcode :2009JThBi.257..419C. doi :10.1016/j.jtbi.2008.11.026. PMID  19121637.
17. Моно, Жак; Вайман, Джеффрис; Шанже, Жан-Пьер (1 мая 1965 г.). «О природе аллостерических переходов: правдоподобная модель». Журнал молекулярной биологии . 12 (1): 88–118. doi :10.1016/S0022-2836(65)80285-6. PMID  14343300.
18. Холоденко, Борис Н.; и др. (1997). «Количественная оценка передачи информации через клеточные пути передачи сигнала». FEBS Letters . 414 (2): 430–434. Bibcode : 1997FEBSL.414..430K. doi : 10.1016/S0014-5793(97)01018-1 . PMID  9315734. S2CID  19466336.

Дальнейшее чтение

• Иллюстрированный медицинский словарь Дорланда
• Coval, ML (декабрь 1970 г.). «Анализ коэффициентов взаимодействия Хилла и недействительность уравнения Квона и Брауна». J. Biol. Chem. 245 (23): 6335–6. doi : 10.1016/S0021-9258(18)62614-6 . PMID  5484812.
• d'A Heck, Henry (1971). "Статистическая теория кооперативного связывания с белками. Уравнение Хилла и потенциал связывания". J. Am. Chem. Soc . 93 (1): 23–29. doi :10.1021/ja00730a004. PMID  5538860.
• Аткинс, Гордон Л. (1973). «Простая цифровая компьютерная программа для оценки параметра уравнения Хилла». Eur. J. Biochem . 33 (1): 175–180. doi : 10.1111/j.1432-1033.1973.tb02667.x . PMID  4691349.
• Endrenyi, Laszlo; Kwong, FHF; Fajszi, Csaba (1975). "Оценка наклонов Хилла и коэффициентов Хилла, когда связывание насыщения или скорость неизвестны". Eur. J. Biochem . 51 (2): 317–328. doi : 10.1111/j.1432-1033.1975.tb03931.x . PMID  1149734.
• Воэт, Дональд; Воэт, Джудит Г. (2004). Биохимия .
• Вайс, Дж. Н. (1997). «Повторное рассмотрение уравнения Хилла: использование и неправильное использование». FASEB Journal . 11 (11): 835–841. doi : 10.1096/fasebj.11.11.9285481 . PMID  9285481. S2CID  827335.
• Курганов, Б.И.; Лобанов, А.В. (2001). «Критерий валидности уравнения Хилла для описания калибровочных кривых биосенсоров». Anal. Chim. Acta . 427 (1): 11–19. Bibcode : 2001AcAC..427...11K. doi : 10.1016/S0003-2670(00)01167-3.
• Гутель, Сильвен; Морен, Мишель; Ружье, Флоран; Барбо, Ксавье; Бургиньон, Лоран; Дюшер, Мишель; Мэр, Паскаль (2008). «Уравнение Хилла: обзор его возможностей в фармакологическом моделировании». Фундаментальная и клиническая фармакология . 22 (6): 633–648. дои : 10.1111/j.1472-8206.2008.00633.x. PMID  19049668. S2CID  4979109.
• Gesztelyi R; Zsuga J; Kemeny-Beke A; Varga B; Juhasz B; Tosaki A (2012). «Уравнение Хилла и происхождение количественной фармакологии». Архив для History of Exact Sciences . 66 (4): 427–38. doi :10.1007/s00407-012-0098-5. S2CID  122929930.
• Колкухун Д. (2006). «Количественный анализ взаимодействия лекарств и рецепторов: краткая история». Trends Pharmacol Sci . 27 (3): 149–57. doi :10.1016/j.tips.2006.01.008. PMID  16483674.
• Rang HP (2006). «Концепция рецептора: большая идея фармакологии». Br J Pharmacol . 147 (Suppl 1): S9–16. doi :10.1038/sj.bjp.0706457. PMC  1760743. PMID  16402126 .

Внешние ссылки

• Калькулятор уравнения Хилла