Предварительный обуславливатель Хиптмайра–Сюй

В математике предобуславливатели Хиптмайра–Сюй (HX) ^[1] являются предобуславливателями для решения и задач, основанных на каркасе предобуславливания вспомогательного пространства. ^[2] Важным компонентом в выводе предобуславливателей HX в двух и трех измерениях является так называемая регулярная декомпозиция, которая разлагает функцию пространства Соболева на компонент более высокой регулярности и скалярный или векторный потенциал. Ключом к успеху предобуславливателей HX является дискретная версия этой декомпозиции, которая также известна как декомпозиция HX. Дискретная декомпозиция разлагает дискретную функцию пространства Соболева на дискретный компонент более высокой регулярности, дискретный масштабный или векторный потенциал и высокочастотную компоненту. ${\displaystyle H(\operatorname {curl} )}$ ${\displaystyle H(\operatorname {div} )}$

Прекондиционеры HX использовались для ускорения широкого спектра методов решения благодаря их высокомасштабируемым параллельным реализациям и известны как прекондиционеры AMS ^[3] и ADS ^[4] . Прекондиционер HX был определен Министерством энергетики США как один из десяти крупнейших прорывов в вычислительной науке ^[5] за последние годы. Исследователи из Sandia, Los Alamos и Lawrence Livermore National Labs используют этот алгоритм для моделирования термоядерного синтеза с помощью уравнений магнитогидродинамики. ^[6] Более того, этот подход также будет играть важную роль в разработке оптимальных итерационных методов в структурной механике, электродинамике и моделировании сложных потоков.

HX предварительный кондиционер для ЧАС ( завиток ) {\displaystyle H(\operatorname {curl} )}

Рассмотрим следующую задачу: найти такое, что ${\displaystyle H(\operatorname {curl} )}$ ${\displaystyle u\in H_{h}(\operatorname {curl} )}$

${\displaystyle (\operatorname {curl} ~u,\operatorname {curl} ~v)+\tau (u,v)=(f,v),\quad \forall v\in H_{h}(\operatorname {curl} ),}$с . ${\displaystyle \tau >0}$

Соответствующая матричная форма имеет вид

${\displaystyle A_{\operatorname {curl} }u=f.}$

Предварительный обуславливатель HX для проблемы определяется как ${\displaystyle H(\operatorname {curl} )}$

${\displaystyle B_{\operatorname {curl} }=S_{\operatorname {curl} }+\Pi _{h}^{\operatorname {curl} }\,A_{vgrad}^{-1}\,(\Pi _{h}^{\operatorname {curl} })^{T}+\operatorname {grad} \,A_{\operatorname {grad} }^{-1}\,(\operatorname {grad} )^{T},}$

где — сглаживатель (например, сглаживатель Якоби, сглаживатель Гаусса–Зейделя), — канонический оператор интерполяции для пространства, — матричное представление дискретного векторного лапласиана, определенного на , — дискретный оператор градиента, а — матричное представление дискретного скалярного лапласиана, определенного на . На основе вспомогательного каркаса предварительной обработки пространства можно показать, что ${\displaystyle S_{\operatorname {curl} }}$ ${\displaystyle \Pi _{h}^{\operatorname {curl} }}$ ${\displaystyle H_{h}(\operatorname {curl} )}$ ${\displaystyle A_{vgrad}}$ ${\displaystyle [H_{h}(\operatorname {grad} )]^{n}}$ ${\displaystyle grad}$ ${\displaystyle A_{\operatorname {grad} }}$ ${\displaystyle H_{h}(\operatorname {grad} )}$

${\displaystyle \kappa (B_{\operatorname {curl} }A_{\operatorname {curl} })\leq C,}$

где обозначает число обусловленности матрицы . ${\displaystyle \kappa (A)}$ ${\displaystyle A}$

На практике инвертирование и может быть затратным, особенно для задач большого масштаба. Поэтому мы можем заменить их инверсию спектрально эквивалентными приближениями и , соответственно. И предобуславливатель HX для становится ${\displaystyle A_{vgrad}}$ ${\displaystyle A_{grad}}$ ${\displaystyle B_{vgrad}}$ ${\displaystyle B_{\operatorname {grad} }}$ ${\displaystyle H(\operatorname {curl} )}$ ${\displaystyle B_{\operatorname {curl} }=S_{\operatorname {curl} }+\Pi _{h}^{\operatorname {curl} }\,B_{vgrad}\,(\Pi _{h}^{\operatorname {curl} })^{T}+\operatorname {grad} B_{\operatorname {grad} }(\operatorname {grad} )^{T}.}$

Прекондиционер HX для H ( div ) {\displaystyle H(\operatorname {div} )}

Рассмотрим следующую задачу: найти ${\displaystyle H(\operatorname {div} )}$ ${\displaystyle u\in H_{h}(\operatorname {div} )}$

${\displaystyle (\operatorname {div} \,u,\operatorname {div} \,v)+\tau (u,v)=(f,v),\quad \forall v\in H_{h}(\operatorname {div} ),}$с . ${\displaystyle \tau >0}$

Соответствующая матричная форма имеет вид

${\displaystyle A_{\operatorname {div} }\,u=f.}$

Предварительный обуславливатель HX для проблемы определяется как ${\displaystyle H(\operatorname {div} )}$

${\displaystyle B_{\operatorname {div} }=S_{\operatorname {div} }+\Pi _{h}^{\operatorname {div} }\,A_{vgrad}^{-1}\,(\Pi _{h}^{\operatorname {div} })^{T}+\operatorname {curl} \,A_{\operatorname {curl} }^{-1}\,(\operatorname {curl} )^{T},}$

где — сглаживатель (например, сглаживатель Якоби, сглаживатель Гаусса–Зейделя), — канонический оператор интерполяции для пространства, — матричное представление дискретного векторного Лапласа, определенного на , а — дискретный оператор ротора. ${\displaystyle S_{\operatorname {div} }}$ ${\displaystyle \Pi _{h}^{\operatorname {div} }}$ ${\displaystyle H(\operatorname {div} )}$ ${\displaystyle A_{vgrad}}$ ${\displaystyle [H_{h}(\operatorname {grad} )]^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {curl} }$

На основе вспомогательного пространства предварительной подготовки можно показать, что

${\displaystyle \kappa (B_{\operatorname {div} }A_{\operatorname {div} })\leq C.}$

Для определения , мы можем заменить его предобуславливателем HX для задачи, например, , поскольку они спектрально эквивалентны. Более того, инвертирование может быть дорогим и мы можем заменить его спектрально эквивалентными приближениями . Это приводит к следующему практическому предобуславливателю HX для задачи, ${\displaystyle A_{\operatorname {curl} }^{-1}}$ ${\displaystyle B_{\operatorname {div} }}$ ${\displaystyle H(\operatorname {curl} )}$ ${\displaystyle B_{\operatorname {curl} }}$ ${\displaystyle A_{vgrad}}$ ${\displaystyle B_{vgrad}}$ ${\displaystyle H(\operatorname {div} )}$

${\displaystyle B_{\operatorname {div} }=S_{\operatorname {div} }+\Pi _{h}^{\operatorname {div} }B_{vgrad}(\Pi _{h}^{\operatorname {div} })^{T}+\operatorname {curl} B_{\operatorname {curl} }(\operatorname {curl} )^{T}=S_{\operatorname {div} }+\Pi _{h}^{\operatorname {div} }B_{vgrad}(\Pi _{h}^{\operatorname {div} })^{T}+\operatorname {curl} S_{\operatorname {curl} }(\operatorname {curl} )^{T}+\operatorname {curl} \Pi _{h}^{\operatorname {curl} }B_{vgrad}(\Pi _{h}^{\operatorname {curl} })^{T}(\operatorname {curl} )^{T}.}$

Вывод

Вывод предобуславливателей HX основан на дискретных регулярных разложениях для и , для полноты изложения кратко напомним их. ${\displaystyle H_{h}(\operatorname {curl} )}$ ${\displaystyle H_{h}(\operatorname {div} )}$

Теорема: [Дискретное регулярное разложение для ] ${\displaystyle H_{h}(\operatorname {curl} )}$

Пусть — односвязная ограниченная область. Для любой функции существует вектор , , , такой, что и ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle v_{h}\in H_{h}(\operatorname {curl} \Omega )}$ ${\displaystyle {\tilde {v}}_{h}\in H_{h}(\operatorname {curl} \Omega )}$ ${\displaystyle \psi _{h}\in [H_{h}(\operatorname {grad} \Omega )]^{3}}$ ${\displaystyle p_{h}\in H_{h}(\operatorname {grad} \Omega )}$ ${\displaystyle v_{h}={\tilde {v}}_{h}+\Pi _{h}^{\operatorname {curl} }\psi _{h}+\operatorname {grad} p_{h}}$ ${\displaystyle \Vert h^{-1}{\tilde {v}}_{h}\Vert +\Vert \psi _{h}\Vert _{1}+\Vert p_{h}\Vert _{1}\lesssim \Vert v_{h}\Vert _{H(\operatorname {curl} )}}$

Теорема: [Дискретное регулярное разложение для ] Пусть — односвязная ограниченная область. Для любой функции существует вектор , такой что и ${\displaystyle H_{h}(\operatorname {div} )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle v_{h}\in H_{h}(\operatorname {div} \Omega )}$ ${\displaystyle {\widetilde {v}}_{h}\in H_{h}(\operatorname {div} \Omega )}$ ${\displaystyle \psi _{h}\in [H_{h}(\operatorname {grad} \Omega )]^{3},}$ ${\displaystyle w_{h}\in H_{h}(\operatorname {curl} \Omega ),}$ ${\displaystyle v_{h}={\widetilde {v}}_{h}+\Pi _{h}^{\operatorname {div} }\psi _{h}+\operatorname {curl} \,w_{h},}$ ${\displaystyle \Vert h^{-1}{\widetilde {v}}_{h}\Vert +\Vert \psi _{h}\Vert _{1}+\Vert w_{h}\Vert _{1}\lesssim \Vert v_{h}\Vert _{H(\operatorname {div} )}}$

На основе приведенных выше дискретных регулярных разложений вместе с каркасом предобуславливания вспомогательного пространства мы можем вывести предобуславливатели HX для задач и , как показано ранее. ${\displaystyle H(\operatorname {curl} )}$ ${\displaystyle H(\operatorname {div} )}$

Ссылки

1. Хиптмайр, Ральф; Сюй, Цзиньчао (01.01.2007). "{Предварительное обуславливание узлового вспомогательного пространства в пространствах $backslash$bf H($backslash$bf curl) и $backslash$bf H($backslash$rm div)}". SIAM J. Numer. Anal . ResearchGate : 2483. doi :10.1137/060660588 . Получено 06.07.2020 .
2. J.Xu, Метод вспомогательного пространства и оптимальные методы многосеточной предварительной подготовки для неструктурированных сеток. Вычислительная техника. 1996;56(3):215–35.
3. ТВ Колев, П. С. Василевский, Параллельное вспомогательное пространство AMG для задач H (rot). Журнал вычислительной математики. 2009 1 сентября:604–23.
4. ТВ Колев, П. С. Василевский. Параллельный вспомогательный пространственный AMG-решатель для задач H(div). Журнал SIAM по научным вычислениям. 2012;34(6):A3079–98.
5. Отчет Группы по последним значительным достижениям в области вычислительной науки, https://science.osti.gov/-/media/ascr/pdf/program-documents/docs/Breakthroughs_2008.pdf
6. EG Phillips, JN Shadid, EC Cyr, ST Miller, Enabling Scalable Multifluid Plasma Simulations Through Block Preconditioning. В: van Brummelen H., Corsini A., Perotto S., Rozza G. (ред.) Numerical Methods for Flows. Lecture Notes in Computational Science and Engineering, т. 132. Springer, Cham 2020.