В этой статье дается очень общая информация о математической идее топоса . Это аспект теории категорий , имеющий репутацию сложного для понимания. Уровень абстракции, о котором идет речь, не может быть снижен ниже определенной точки; но, с другой стороны, может быть задан контекст. Это отчасти относится к историческому развитию, но также в некоторой степени является объяснением различных подходов к теории категорий. [ необходима цитата ]
В конце 1950-х годов основы алгебраической геометрии были переписаны; и именно здесь следует искать истоки концепции топоса . В то время гипотезы Вейля были выдающейся мотивацией для исследований. Как мы теперь знаем, путь к их доказательству и другим достижениям лежал через построение этальных когомологий .
Оглядываясь назад, можно сказать, что алгебраическая геометрия долгое время боролась с двумя проблемами. Первая была связана с ее точками : еще во времена проективной геометрии было ясно, что отсутствие «достаточного количества» точек на алгебраическом многообразии является препятствием для хорошей геометрической теории (в которой оно было чем-то вроде компактного многообразия ). Была также трудность, которая стала ясна, как только топология оформилась в первой половине двадцатого века, что топология алгебраических многообразий имела «слишком мало» открытых множеств.
Вопрос о точках был близок к разрешению к 1950 году; Александр Гротендик сделал радикальный шаг (применив лемму Йонеды ), который избавил его от него — естественно, ценой того, что каждое многообразие или более общая схема должны были стать функтором . Однако было невозможно добавлять открытые множества. Путь вперед был иным.
Определение топоса впервые появилось несколько косвенно, примерно в 1960 году. Общие проблемы так называемого « спуска » в алгебраической геометрии рассматривались в тот же период, когда фундаментальная группа была обобщена на установку алгебраической геометрии (как проконечная группа ). В свете более поздних работ (ок. 1970 г.) «спуск» является частью теории комонад ; здесь мы можем увидеть один из способов, которым школа Гротендика раздваивается в своем подходе от «чистых» теоретиков категорий, тема, которая важна для понимания того, как позднее трактовалось понятие топоса.
Возможно, существовал более прямой путь: понятие абелевой категории было введено Гротендиком в его основополагающей работе по гомологической алгебре для объединения категорий пучков абелевых групп и модулей . Предполагается, что абелева категория замкнута относительно определенных теоретико-категорных операций — используя этот тип определения, можно полностью сосредоточиться на структуре, ничего не говоря о природе вовлеченных объектов. Этот тип определения можно проследить, в одной строке, до концепции решетки 1930- х годов. Около 1957 года можно было задать вопрос о чисто теоретико-категорной характеристике категорий пучков множеств , случай пучков абелевых групп был включен в работу Гротендика ( статья Тохоку ).
Такое определение топоса было в конечном итоге дано пятью годами позже, около 1962 года, Гротендиком и Вердье (см. семинар Вердье по Николя Бурбаки Analysis Situs ). Характеристика проводилась с помощью категорий «с достаточным количеством копределов » и применялась к тому, что сейчас называется топосом Гротендика . Теория была завершена установлением того, что топос Гротендика является категорией пучков, где теперь слово «пучок» приобрело расширенное значение, поскольку оно включало топологию Гротендика .
Идея топологии Гротендика (также известной как сайт ) была охарактеризована Джоном Тейтом как смелая игра слов на двух смыслах римановой поверхности . [ требуется цитата ] Технически говоря, это позволило построить востребованные этальные когомологии (а также другие утонченные теории, такие как плоские когомологии и кристаллические когомологии ). К этому моменту — около 1964 года — разработки, основанные на алгебраической геометрии, в значительной степени исчерпали себя. Обсуждение «открытого множества» было фактически подытожено в заключении, что многообразия имеют достаточно богатый сайт открытых множеств в неразветвленных покрытиях их (обычных) множеств, открытых по Зарискому .
Современное определение топоса восходит к Уильяму Ловеру и Майлзу Тирни . Хотя время его появления тесно связано с описанным выше, с исторической точки зрения отношение иное, а определение более всеобъемлющее. То есть существуют примеры топосов , которые не являются топосами Гротендика . Более того, они могут представлять интерес для ряда логических дисциплин.
Определение Ловера и Тирни выделяет центральную роль в теории топоса классификатора подобъектов . В обычной категории множеств это двухэлементный набор булевых значений истинности , true и false . Почти тавтологично сказать, что подмножества данного множества X такие же (так же хороши, как) функции на X для любого такого заданного двухэлементного множества: зафиксируем «первый» элемент и сделаем подмножество Y соответствующим функции, отправляющей Y туда, а его дополнение в X — к другому элементу.
Теперь классификаторы подобъектов можно найти в теории пучков . Все еще тавтологично, хотя, безусловно, более абстрактно, для топологического пространства X существует прямое описание пучка на X , который играет роль по отношению ко всем пучкам множеств на X. Его множество сечений над открытым множеством U из X — это просто множество открытых подмножеств U. Пространство , связанное с пучком , для него описать сложнее.
Поэтому Ловер и Тирни сформулировали аксиомы для топоса , который предполагал классификатор подобъектов и некоторые предельные условия (чтобы создать декартово-замкнутую категорию , по крайней мере). Некоторое время это понятие топоса называлось «элементарным топосом».
После того, как была сформулирована идея связи с логикой, появилось несколько разработок, «проверяющих» новую теорию:
Была некоторая ирония в том, что в проталкивании долгосрочной программы Дэвида Гильберта был найден естественный дом для центральных идей интуиционистской логики : Гильберт ненавидел школу Л. Э. Дж. Брауэра . Существование как «локальное» существование в пучково-теоретическом смысле, теперь известное под названием семантика Крипке–Джойяла , является хорошим соответствием. С другой стороны, долгие усилия Брауэра по «видам», как он называл интуиционистскую теорию действительных чисел, предположительно, в некотором роде включены и лишены статуса за пределами исторического. В каждом топосе есть теория действительных чисел, и поэтому никто не владеет интуиционистской теорией.
Более поздняя работа по этальным когомологиям имела тенденцию предполагать, что полная общая теория топоса не требуется. С другой стороны, используются другие сайты, и топос Гротендика занял свое место в гомологической алгебре.
Программа Ловера состояла в том, чтобы написать логику высшего порядка в терминах теории категорий. То, что это можно сделать чисто, показано в обработке книги Йоахима Ламбека и П. Дж. Скотта. Результатом является по сути интуиционистская (т. е. конструктивно-логическая ) теория, содержание которой проясняется существованием свободного топоса . Это теория множеств в широком смысле, но также и нечто, принадлежащее области чистого синтаксиса . Структура ее подобъектного классификатора является структурой алгебры Гейтинга . Чтобы получить более классическую теорию множеств, можно рассмотреть топосы, в которых она, кроме того, является булевой алгеброй , или, специализируясь еще больше, на тех, у которых всего два истинностных значения. В этой книге речь идет о конструктивной математике ; но на самом деле это можно читать как фундаментальную информатику (которая не упоминается). Если кто-то хочет обсудить теоретико-множественные операции, такие как формирование образа (диапазона) функции, то топос гарантированно сможет выразить это вполне конструктивно.
Это также породило более доступный спин-офф в бесточечной топологии , где концепция локали изолирует некоторые идеи, найденные при рассмотрении топоса как значительного развития топологического пространства . Слоган — «точки приходят позже»: это замыкает круг обсуждения на этой странице. Точка зрения изложена в книге Питера Джонстона « Stone Spaces » , которую лидер в области компьютерных наук назвал «трактатом об экстенсиональности ». Экстенсионал рассматривается в математике как окружающее — это не то, о чем математики действительно ожидают иметь теорию. Возможно, именно поэтому теория топоса рассматривалась как странность; она выходит за рамки того, что позволяет традиционный геометрический способ мышления. Потребности полностью интенсиональных теорий, таких как нетипизированное лямбда-исчисление, были удовлетворены в денотационном семантике . Теория топоса долгое время выглядела как возможная «главная теория» в этой области.
Понятие топоса возникло в алгебраической геометрии как следствие объединения понятия пучка и замыкания при категориальных операциях . Оно играет определенную роль в теориях когомологий. «Убийственным приложением» являются этальные когомологии .
Последующие разработки, связанные с логикой, являются более междисциплинарными. Они включают примеры, опирающиеся на теорию гомотопии ( классифицирующие топосы ). Они включают связи между теорией категорий и математической логикой, а также (как высокоуровневое организационное обсуждение) между теорией категорий и теоретической информатикой, основанной на теории типов . Учитывая общее мнение Сондерса Маклейна о повсеместности понятий, это дает им определенный статус. Использование топосов в качестве объединяющих мостов в математике было впервые предложено Оливией Карамелло в ее книге 2017 года. [1]