Сэр Уильям Валланс Дуглас Ходж FRS FRSE [2] ( / h ɒ dʒ / ; 17 июня 1903 — 7 июля 1975) был британским математиком, в частности геометром . [3] [4]
Его открытие далеко идущих топологических связей между алгебраической геометрией и дифференциальной геометрией — областью, которая теперь называется теорией Ходжа и в более общем плане относится к кэлеровым многообразиям — оказало большое влияние на последующие работы в области геометрии.
Ходж родился в Эдинбурге в 1903 году, он был младшим сыном и вторым из трех детей Арчибальда Джеймса Ходжа (1869–1938), исследователя записей на рынке недвижимости и партнера в фирме Douglas and Company, и его жены Джейн (родилась в 1875 году), дочери владельца кондитерского бизнеса Уильяма Валланса. [5] [6] [7] Они жили в доме 1 по Чёрч-Хилл-Плейс в районе Морнингсайд . [8]
Он посещал колледж Джорджа Уотсона и учился в Эдинбургском университете , получив степень магистра в 1923 году. С помощью ET Whittaker , чей сын JM Whittaker был его другом по колледжу, он затем поступил в качестве аффилированного студента в колледж Святого Иоанна в Кембридже , чтобы изучать математические трипосы . В Кембридже он попал под влияние геометра HF Baker . Он получил степень бакалавра в Кембридже в 1925 году, степень магистра в 1930 году и степень доктора наук (ScD) в 1950 году. [9]
В 1926 году он занял должность преподавателя в Университете Бристоля и начал работать над интерфейсом между итальянской школой алгебраической геометрии , в частности, проблемами, поставленными Франческо Севери , и топологическими методами Соломона Лефшеца . Это создало ему репутацию, но привело к некоторому первоначальному скептицизму со стороны Лефшеца. Согласно мемуарам Атьи , Лефшец и Ходж в 1931 году встретились в комнатах Макса Ньюмена в Кембридже, чтобы попытаться разрешить вопросы. В конце концов Лефшец был убеждён. [2] В 1928 году он был избран членом Королевского общества Эдинбурга . Его кандидатуру предлагали сэр Эдмунд Тейлор Уиттакер , Ральф Аллан Сэмпсон , Чарльз Гловер Баркла и сэр Чарльз Гальтон Дарвин . За период с 1964 по 1968 год он был удостоен юбилейной премии имени Ганнинга Виктории . [10]
В 1930 году Ходжу была присуждена исследовательская стипендия в колледже Св. Иоанна в Кембридже. Он провел 1931–1932 годы в Принстонском университете , где был Лефшец, а также посетил Оскара Зариски в Университете Джонса Хопкинса . В это время он также усваивал теорему де Рама и определял операцию Ходжа над звездой . Это позволило бы ему определить гармонические формы и, таким образом, усовершенствовать теорию де Рама.
По возвращении в Кембридж в 1933 году ему предложили должность преподавателя университета. Он стал профессором астрономии и геометрии в Кембридже и занимал эту должность с 1936 по 1970 год. Он был первым главой DPMMS .
С 1958 по 1970 год он был магистром колледжа Пембрук в Кембридже , а с 1959 по 1965 год — вице-президентом Королевского общества . В 1959 году он был посвящен в рыцари. Среди прочих наград он получил премию Адамса в 1937 году и медаль Копли Королевского общества в 1974 году.
Он умер в Кембридже 7 июля 1975 года.
Теорема Ходжа об индексе была результатом теории чисел пересечения для кривых на алгебраической поверхности : она определяет сигнатуру соответствующей квадратичной формы . Этот результат был получен итальянской школой алгебраической геометрии , но был доказан топологическими методами Лефшеца .
Теория и приложения гармонических интегралов [11] подвели итог развитию Ходжа в 1930-х годах его общей теории. Она начинается с существования для любой кэлеровой метрики теории лапласианов – она применяется к алгебраическому многообразию V (предполагаемому комплексному , проективному и невырожденному ), поскольку само проективное пространство несет такую метрику. В терминах когомологии де Рама класс когомологий степени k представлен k -формой α на V ( C ). Единственного представителя нет; но, вводя идею гармонической формы (Ходж все еще называл их «интегралами»), которые являются решениями уравнения Лапласа , можно получить единственное α . Это имеет важное, непосредственное следствие разделения
в подпространства
в соответствии с числом p голоморфных дифференциалов dz i , вклиненных в α (кокасательное пространство натянуто на dz i и их комплексно сопряженные). Размерности подпространств — это числа Ходжа .
Это разложение Ходжа стало фундаментальным инструментом. Не только измерения h p , q уточняют числа Бетти , разбивая их на части с идентифицируемым геометрическим смыслом; но и само разложение, как изменяющийся «флаг» в комплексном векторном пространстве, имеет смысл в отношении проблем модулей . В широком смысле теория Ходжа вносит вклад как в дискретную, так и в непрерывную классификацию алгебраических многообразий.
Дальнейшие разработки других авторов привели, в частности, к идее смешанной структуры Ходжа на особых многообразиях и к глубоким аналогиям с этальными когомологиями .
Гипотеза Ходжа о «средних» пространствах H p , p до сих пор не решена, в общем. Это одна из семи проблем премии тысячелетия, поставленных Математическим институтом Клэя .
Ходж также написал, совместно с Дэниелом Педо , трехтомную работу «Методы алгебраической геометрии» по классической алгебраической геометрии, с большим количеством конкретного содержания – иллюстрируя, однако, то, что Эли Картан назвал «развратом индексов» в ее компонентной нотации. По словам Атьи , это было предназначено для обновления и замены «Принципов геометрии» Х. Ф. Бейкера .
В 1929 году он женился на Кэтлин Энн Кэмерон. [12]