Голономные ограничения

Тип ограничений для механических систем

В классической механике голономные связи представляют собой соотношения между переменными положения (и, возможно, времени) ^[1] , которые можно выразить в следующем виде:

$${\displaystyle f(u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n},t)=0}$$

где n обобщенных координат, описывающих систему (в неограниченном конфигурационном пространстве ). Например, движение частицы, вынужденной лежать на поверхности сферы, подчиняется голономной связи, но если частица способна упасть со сферы под действием силы тяжести, связь становится неголономной. Для первого случая голономная связь может быть задана уравнением ${\displaystyle \{u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n}\}}$

$${\displaystyle r^{2}-a^{2}=0}$$

где — расстояние от центра сферы радиуса , тогда как второй неголономный случай может быть задан как ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle r^{2}-a^{2}\geq 0}$$

Ограничения, зависящие от скорости (также называемые полуголономными ограничениями) ^[2], такие как

$${\displaystyle f(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},{\dot {u}}_{1},{\dot {u}}_{2},\ldots ,{\dot {u}}_{n},t)=0}$$

обычно не являются голономными. ^{[ необходима цитата ]}

Голономная система

В классической механике система может быть определена как голономная, если все связи системы являются голономными. Чтобы связь была голономной, она должна быть выражена как функция : т. е. голономная связь зависит только от координат и, возможно, времени . ^[1] Она не зависит от скоростей или какой-либо производной более высокого порядка по  t . Связь, которая не может быть выражена в форме, показанной выше, является неголономной связью . $${\displaystyle f(u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ \ldots ,\ u_{n},\ t)=0,\,}$$ ${\displaystyle u_{j}}$ ${\displaystyle t}$

Введение

Как описано выше, голономная система — это (просто говоря) система, в которой можно вывести состояние системы, зная только изменение положений компонентов системы с течением времени, но не нужно знать скорость или порядок перемещения компонентов относительно друг друга. Напротив, неголономная система часто является системой, в которой скорости компонентов с течением времени должны быть известны, чтобы иметь возможность определить изменение состояния системы, или системой, в которой движущаяся часть не может быть привязана к поверхности ограничений, реальной или мнимой. Примерами голономных систем являются портальные краны, маятники и роботизированные руки. Примерами неголономных систем являются сегвеи , одноколесные велосипеды и автомобили.

Терминология

Конфигурационное пространство перечисляет смещения компонентов системы, по одному для каждой степени свободы . Система, которая может быть описана с помощью конфигурационного пространства, называется склерономной . ${\displaystyle \mathbf {u} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\ldots &u_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

Пространство событий идентично пространству конфигураций, за исключением добавления переменной для представления изменения системы с течением времени (если это необходимо для описания системы). Система, которая должна быть описана с использованием пространства событий, а не только пространства конфигураций, называется реономной . Многие системы могут быть описаны либо склерономически, либо реономически. Например, полное допустимое движение маятника может быть описано склерономическим ограничением, но движение маятника с течением времени должно быть описано с помощью реономического ограничения. ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\ldots &u_{n}&t\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

Пространство состояний — это конфигурационное пространство плюс термины, описывающие скорость каждого термина в конфигурационном пространстве. ${\displaystyle \mathbf {q} }$

$${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {\dot {u}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}&\ldots &u_{n}&{\dot {u}}_{1}&\ldots &{\dot {u}}_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

Пространство состояния-времени добавляет время . ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {\dot {u}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}&\ldots &u_{n}&t&{\dot {u}}_{1}&\ldots &{\dot {u}}_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

Примеры

Козловой кран

Графическое изображение козлового крана с обозначенными осями

Как показано справа, козловой кран — это мостовой кран, который может перемещать свой крюк по 3 осям, как указано стрелками. Интуитивно мы можем сделать вывод, что кран должен быть голономной системой, поскольку для заданного движения его компонентов не имеет значения, в каком порядке или с какой скоростью движутся компоненты: пока общее смещение каждого компонента из заданного начального состояния одинаково, все части и система в целом окажутся в одном и том же состоянии. Математически мы можем доказать это следующим образом:

Мы можем определить конфигурационное пространство системы как: $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$$

Можно сказать, что отклонение каждого компонента крана от его «нулевого» положения составляет , , и , для синего, зеленого и оранжевого компонентов соответственно. Ориентация и размещение системы координат не имеют значения, является ли система голономной, но в этом примере компоненты движутся параллельно своим осям. Если начало координат системы координат находится сзади-внизу-слева крана, то мы можем записать уравнение ограничения положения как: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle O}$ $${\displaystyle (x-B)+(y-G)+(z-(h-O))=0}$$

Где - высота крана. При желании можно упростить до стандартной формы, где все константы располагаются после переменных: ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle x+y+z-(B+G+h-O)=0}$$

Поскольку мы вывели уравнение связи в голономной форме (в частности, наше уравнение связи имеет вид , где ), мы можем видеть, что эта система должна быть голономной. ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$ ${\displaystyle \{x,y,z\}\in \mathbf {u} }$

Маятник

Простой маятник

Как показано справа, простой маятник — это система, состоящая из груза и струны. Струна прикреплена на верхнем конце к шарниру, а на нижнем конце — к грузу. Поскольку струна нерастяжима, ее длина постоянна. Эта система является голономной, поскольку она подчиняется голономному ограничению

$${\displaystyle {x^{2}+y^{2}}-L^{2}=0,}$$

где - положение груза, - длина струны. ${\displaystyle (x,\ y)}$ ${\displaystyle L}$

Твёрдое тело

Частицы твердого тела подчиняются голономной связи

$${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}-L_{ij}^{2}=0,\,}$$

где , — соответственно положения частиц и , а — расстояние между ними. Если данная система голономна, то жесткое присоединение дополнительных частей к компонентам рассматриваемой системы не может сделать ее неголономной, если предположить, что степени свободы не уменьшаются (другими словами, если предположить, что конфигурационное пространство не меняется). ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle P_{j}}$ ${\displaystyle L_{ij}}$

Пфаффова форма

Рассмотрим следующую дифференциальную форму ограничения:

$${\displaystyle \sum _{j}\ A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0}$$

где — коэффициенты дифференциалов для i- го уравнения связи. Эта форма называется формой Пфаффа или дифференциальной формой . ${\displaystyle A_{ij},A_{i}}$ ${\displaystyle du_{j},dt}$

Если дифференциальная форма интегрируема, т.е. если существует функция, удовлетворяющая равенству ${\displaystyle f_{i}(u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ \ldots ,\ u_{n},\ t)=0}$

$${\displaystyle df_{i}=\sum _{j}\ A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0}$$

то это ограничение является голономным ограничением; в противном случае оно является неголономным. Следовательно, все голономные и некоторые неголономные ограничения могут быть выражены с использованием дифференциальной формы. Примерами неголономных ограничений, которые не могут быть выражены таким образом, являются ограничения, зависящие от обобщенных скоростей. ^{[ необходимо разъяснение ]} При уравнении ограничения в пфаффовой форме голономность или неголономность ограничения зависит от того, интегрируема ли пфаффова форма. См. Универсальный тест для голономных ограничений ниже для описания теста для проверки интегрируемости (или отсутствия) ограничения в пфаффовой форме.

Универсальный тест для голономных ограничений

Когда уравнение связи системы записано в форме связи Пфаффа , существует математический тест, позволяющий определить, является ли система голономной.

Для уравнения ограничений или набора уравнений ограничений (обратите внимание, что переменная(ые), представляющая(ие) время, может быть включена, как указано выше , в следующей форме): ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{i}\in A_{ij}}$ ${\displaystyle \,dt\in du_{j}}$ $${\displaystyle \sum _{j}^{n}\ A_{ij}\,du_{j}=0;\,}$$

мы можем использовать тестовое уравнение: где в комбинациях тестовых уравнений на одно уравнение ограничений, для всех наборов уравнений ограничений. $${\displaystyle A_{\gamma }\left({\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}\right)+A_{\beta }\left({\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}\right)+A_{\alpha }\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}\right)=0}$$ $${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma =1,2,3\ldots n}$$ ${\textstyle {\binom {n}{3}}={\frac {n(n-1)(n-2)}{6}}}$ ${\displaystyle i}$

Другими словами, система из трех переменных должна быть протестирована один раз с одним тестовым уравнением, где члены являются членами в уравнении ограничений (в любом порядке), но для проверки системы из четырех переменных тест должен быть выполнен до четырех раз с четырьмя различными тестовыми уравнениями, где члены являются членами , , , и в уравнении ограничений (каждый в любом порядке) в четырех различных тестах. Для системы из пяти переменных необходимо провести десять тестов на голономной системе, чтобы проверить этот факт, а для системы из пяти переменных с тремя наборами уравнений ограничений — тридцать тестов (предполагая, что упрощение, такое как замена переменной, не может быть выполнено для уменьшения этого числа). По этой причине при использовании этого метода на системах из более чем трех переменных рекомендуется руководствоваться здравым смыслом относительно того, является ли рассматриваемая система голономной, и проводить тестирование только в том случае, если система, вероятно, таковой не является. Кроме того, также лучше всего использовать математическую интуицию, чтобы попытаться предсказать, какой тест потерпит неудачу первым, и начать с него, пропуская сначала тесты, которые кажутся вероятными для успеха. ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ${\displaystyle 1,2,3}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ${\displaystyle 1,2,3}$ ${\displaystyle 1,2,4}$ ${\displaystyle 1,3,4}$ ${\displaystyle 2,3,4}$

Если каждое тестовое уравнение верно для всего набора комбинаций для всех уравнений ограничений, то система голономная. Если оно неверно хотя бы для одной тестовой комбинации, то система неголономная.

Пример

Рассмотрим эту динамическую систему, описываемую уравнением связи в форме Пфаффа. $${\displaystyle \cos(\theta )dx+\sin(\theta )dy+\left[y\cos(\theta )-x\sin(\theta )\right]d\theta =0}$$

Конфигурационное пространство, по осмотру, равно . Поскольку в конфигурационном пространстве всего три члена, понадобится только одно тестовое уравнение. Мы можем организовать члены уравнения ограничений как таковые, готовясь к замене: ${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x&y&\theta \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$ $${\displaystyle A_{\alpha }=\cos \theta }$$ $${\displaystyle A_{\beta }=\sin \theta }$$ $${\displaystyle A_{\gamma }=y\cos \theta -x\sin \theta }$$ $${\displaystyle u_{\alpha }=dx}$$ $${\displaystyle u_{\beta }=dy}$$ $${\displaystyle u_{\gamma }=d\theta }$$

Подставляя члены, наше тестовое уравнение становится следующим: $${\displaystyle \left(y\cos \theta -x\sin \theta \right)\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\sin \theta -{\frac {\partial }{\partial y}}\cos \theta \right]+\sin \theta \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\cos \theta -{\frac {\partial }{\partial x}}(y\cos \theta -x\sin \theta )\right]+\cos \theta \left[{\frac {\partial }{\partial y}}(y\cos \theta -x\sin \theta )-{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta \right]=0}$$

После вычисления всех частных производных получаем: $${\displaystyle (y\cos \theta -x\sin \theta )\left[0-0\right]+\sin \theta \left[-\sin \theta -(-\sin \theta )\right]+\cos \theta \left[\cos \theta -\cos \theta \right]=0}$$

Упрощая, находим, что: Мы видим, что наше тестовое уравнение верно, и, таким образом, система должна быть голономной. $${\displaystyle 0=0}$$

Мы закончили наш тест, но теперь, зная, что система голономная, мы можем захотеть найти уравнение голономной связи. Мы можем попытаться найти его, интегрируя каждый член формы Пфаффа и пытаясь объединить их в одно уравнение, как таковое: $${\displaystyle \int \cos \theta \,dx=x\cos \theta +f(y,\theta )}$$ $${\displaystyle \int \sin \theta \,dy=y\sin \theta +f(x,\theta )}$$ $${\displaystyle \int \left(y\cos \theta -x\sin \theta \right)d\theta =y\sin \theta +x\cos \theta +f(x,y)}$$

Легко видеть, что мы можем объединить результаты наших интегрирований, чтобы найти уравнение голономной связи: где C — константа интегрирования. $${\displaystyle y\sin \theta +x\cos \theta +C=0}$$

Ограничения постоянных коэффициентов

Для заданного ограничения Пфаффа, где каждый коэффициент каждого дифференциала является константой, другими словами, ограничение имеет вид: $${\displaystyle \sum _{j}\ A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0;\;\{A_{ij},A_{i};\,j=1,2,\ldots ;\,i=1,2,\ldots \}\in \mathbb {R} }$$

ограничение должно быть голономным.

Мы можем доказать это следующим образом: рассмотрим систему ограничений в форме Пфаффа, где каждый коэффициент каждого дифференциала является константой, как описано непосредственно выше. Чтобы проверить, является ли эта система ограничений голономной, мы используем универсальный тест. Мы можем видеть, что в тестовом уравнении есть три члена, которые должны в сумме давать ноль. Следовательно, если каждый из этих трех членов в каждом возможном тестовом уравнении равен нулю, то все тестовые уравнения верны, и эта система является голономной. Каждый член каждого тестового уравнения имеет вид: где: $${\displaystyle A_{3}\left({\frac {\partial A_{2}}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial u_{2}}}\right)}$$

• ${\displaystyle A_{1}}$, , и представляют собой некоторую комбинацию (с общими комбинациями) и для заданного ограничения . ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{3}}$ ${\textstyle {\binom {n}{3}}=n(n-1)(n-2)/6}$ ${\displaystyle A_{ij};\,j=1,2,\ldots }$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle u_{1}}$, , и являются соответствующей комбинацией и . ${\displaystyle u_{2}}$ ${\displaystyle u_{3}}$ ${\displaystyle u_{j};\,j=1,2,\ldots }$ ${\displaystyle dt}$

Кроме того, имеются наборы тестовых уравнений. ${\displaystyle i}$

Мы видим, что по определению все являются константами. В исчислении хорошо известно, что любая производная (полная или частичная) любой константы равна . Следовательно, мы можем свести каждую частную производную к: ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle A_{3}{\big (}0-0{\big )}}$$

и, следовательно, каждый член равен нулю, левая часть каждого тестового уравнения равна нулю, каждое тестовое уравнение истинно, и система является голономной.

Конфигурационные пространства двух или одной переменной

Любая система, которая может быть описана ограничением Пфаффа и имеет конфигурационное пространство или пространство состояний только из двух переменных или одной переменной, является голономной.

Мы можем доказать это следующим образом: рассмотрим динамическую систему с конфигурационным пространством или пространством состояний, описанным следующим образом: $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

если система описывается пространством состояний, мы просто говорим, что равно нашей временной переменной . Эта система будет описана в пфаффовой форме: ${\displaystyle u_{2}}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle A_{i1}\,du_{1}+A_{i2}\,du_{2}=0}$$

с наборами ограничений. Система будет протестирована с использованием универсального теста. Однако для универсального теста требуются три переменные в пространстве конфигурации или состояния. Чтобы учесть это, мы просто добавляем фиктивную переменную в пространство конфигурации или состояния, чтобы сформировать: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\lambda \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

Поскольку фиктивная переменная по определению не является мерой чего-либо в системе, ее коэффициент в форме Пфаффа должен быть . Таким образом, мы пересматриваем нашу форму Пфаффа: ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle A_{i1}\,du_{1}+A_{i2}\,du_{2}+0\,d\lambda =0}$$

Теперь мы можем использовать тест как таковой для заданного ограничения, если имеется набор ограничений: ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle 0\left({\frac {\partial A_{i2}}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial A_{i1}}{\partial u_{2}}}\right)+A_{i2}\left({\frac {\partial A_{i1}}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}0\right)+A_{i1}\left({\frac {\partial }{\partial u_{2}}}0-{\frac {\partial A_{i2}}{\partial \lambda }}\right)=0}$$

Осознав, что: поскольку фиктивная переменная не может появляться в коэффициентах, используемых для описания системы, мы видим, что тестовое уравнение должно быть верным для всех наборов уравнений ограничений, и, таким образом, система должна быть голономной. Аналогичное доказательство можно провести с одной фактической переменной в пространстве конфигурации или состояний и двумя фиктивными переменными, чтобы подтвердить, что системы с одной степенью свободы, описываемые в форме Пфаффа, также всегда голономны. ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \lambda }}f(u_{1},u_{2})=0}$ ${\displaystyle \lambda }$

В заключение мы понимаем, что, хотя неголономные системы можно моделировать в пфаффовой форме, любая система, моделируемая в пфаффовой форме с двумя или менее степенями свободы (число степеней свободы равно числу членов в конфигурационном пространстве), должна быть голономной.

Важное примечание: поймите, что тестовое уравнение не удалось, поскольку фиктивная переменная, а следовательно, и фиктивный дифференциал, включенный в тест, будут дифференцировать все, что является функцией фактической конфигурации или переменных пространства состояний, до . Имея систему с конфигурацией или пространством состояний: ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

и набор ограничений, где одно или несколько ограничений находятся в форме Пфаффа: $${\displaystyle A_{i1}du_{1}+A_{i2}du_{2}+0du_{3}=0}$$

не гарантирует , что система является голономной, поскольку даже если один дифференциал имеет коэффициент , все равно существуют три степени свободы, описанные в пространстве конфигураций или состояний. ${\displaystyle 0}$

Преобразование в независимые обобщенные координаты

Уравнения голономных ограничений могут помочь нам легко удалить некоторые зависимые переменные в нашей системе. Например, если мы хотим удалить , который является параметром в уравнении ограничений , мы можем перестроить уравнение в следующую форму, предполагая, что это можно сделать, ${\displaystyle x_{d}}$ ${\displaystyle f_{i}}$

$${\displaystyle x_{d}=g_{i}(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots ,\ x_{N},\ t),\,}$$

и заменить в каждом уравнении системы, используя указанную выше функцию. Это всегда можно сделать для общих физических систем, при условии, что производная от непрерывна, тогда по теореме о неявной функции решение , гарантируется в некотором открытом множестве. Таким образом, можно удалить все вхождения зависимой переменной . ${\displaystyle x_{d}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle x_{d}}$

Предположим, что физическая система имеет степени свободы. Теперь на систему накладываются голономные связи. Тогда число степеней свободы сокращается до . Мы можем использовать независимые обобщенные координаты ( ), чтобы полностью описать движение системы. Уравнение преобразования можно выразить следующим образом: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle m=N-h}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q_{j}}$

$${\displaystyle x_{i}=x_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \ldots ,\ q_{m},\ t)\ ,\qquad i=1,\ 2,\ \ldots N.\,}$$

Классификация физических систем

Для того чтобы изучать классическую физику строго и методично, нам нужно классифицировать системы. Основываясь на предыдущем обсуждении, мы можем классифицировать физические системы на голономные и неголономные . Одним из условий применимости многих теорем и уравнений является то, что система должна быть голономной. Например, если физическая система является голономной и моногенной , то принцип Гамильтона является необходимым и достаточным условием корректности уравнения Лагранжа . ^[3]

Смотрите также

• Неголономная система
• Горячев–Чаплыгин топ
• Ограничение Пфаффа
• Уравнение Удвадиа–Калабы

Ссылки

1. Goldstein, Herbert (2002). "1.3 Ограничения". Классическая механика (Третье изд.). Pearson India: Addison-Wesley. стр. 12–13. ISBN 9788131758915. OCLC  960166650.
2. Голдштейн, Герберт (2002). Классическая механика . Соединенные Штаты Америки: Addison-Wesley. стр. 46. ISBN 978-0-201-65702-9.
3. Голдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (3-е изд.). Соединенные Штаты Америки: Addison Wesley. стр. 45. ISBN 0-201-65702-3.