Гомотетия

Обобщенная операция масштабирования в геометрии

Гомотетия: Пример с Для одного получается тождество ( ни одна точка не перемещается), для увеличения для уменьшения ${\displaystyle k>0}$
${\displaystyle k=1}$
${\displaystyle k>1}$
${\displaystyle k<1}$

Пример с Для одного получается точечное отражение в точке ${\displaystyle k<0}$
${\displaystyle k=-1}$ ${\displaystyle S}$

Гомотетия пирамиды

В математике гомотетия (или гомотеция , или однородное расширение ) — это преобразование аффинного пространства, определяемое точкой S, называемой ее центром , и ненулевым числом, называемым ее отношением , которое переводит точку в точку по правилу ^[1] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$

${\displaystyle {\overrightarrow {SX'}}=k{\overrightarrow {SX}}}$для фиксированного числа . ${\displaystyle k\neq 0}$

Использование векторов положения:

${\displaystyle \mathbf {x} '=\mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$.

В случае (Происхождение): ${\displaystyle S=O}$

${\displaystyle \mathbf {x} '=k\mathbf {x} }$,

что является равномерным масштабированием и показывает значение специальных выборов для : ${\displaystyle k}$

для одного получается отображение идентичности , ${\displaystyle k=1}$

поскольку один получает отражение в центре, ${\displaystyle k=-1}$

Для одного получаем обратное отображение, определяемое формулой . ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle k}$

В евклидовой геометрии гомотетии — это подобия , которые фиксируют точку и либо сохраняют (если ), либо меняют на противоположное (если ) направление всех векторов. Вместе с переносами все гомотетии аффинного (или евклидова) пространства образуют группу , группу растяжений или гомотетий-переносов . Это как раз те аффинные преобразования, которые обладают тем свойством, что образ каждой прямой g является прямой , параллельной g . ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle k<0}$

В проективной геометрии гомотетическое преобразование — это преобразование подобия (т. е. фиксирующее заданную эллиптическую инволюцию), которое оставляет линию на бесконечности поточечно инвариантной . ^[2]

В евклидовой геометрии гомотетия отношения умножает расстояния между точками на , площади на и объемы на . Здесь — отношение увеличения или фактора расширения или масштабного фактора или отношения подобия . Такое преобразование можно назвать увеличением, если масштабный фактор превышает 1. Вышеупомянутая неподвижная точка S называется гомотетическим центром или центром подобия или центром подобия . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle |k|}$ ${\displaystyle k^{2}}$ ${\displaystyle |k|^{3}}$ ${\displaystyle k}$

Термин, придуманный французским математиком Мишелем Шалем , происходит от двух греческих элементов: префикса homo- ( όμο ), означающего «подобный», и тезиса ( Θέσις ), означающего «положение». Он описывает отношения между двумя фигурами одинаковой формы и ориентации. Например, две русские матрешки, смотрящие в одном направлении, можно считать гомотетичными.

Гомотетии используются для масштабирования содержимого экранов компьютеров, например, смартфонов, ноутбуков и лэптопов.

Характеристики

Следующие свойства справедливы в любом измерении.

Картографирование линий, отрезков и углов

Гомотетия обладает следующими свойствами:

• Прямая отображается на параллельную прямую. Следовательно: углы остаются неизменными.
• Соотношение двух отрезков сохраняется.

Оба объекта недвижимости показывают:

• Гомотетия — это сходство .

Вывод свойств: Для упрощения вычислений предполагается, что центр является началом координат: . Прямая с параметрическим представлением отображается на множество точек с уравнением , которое является прямой, параллельной . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {p} +t\mathbf {v} }$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =k(\mathbf {p} +t\mathbf {v} )=k\mathbf {p} +tk\mathbf {v} }$ ${\displaystyle g}$

Расстояние между двумя точками равно и расстояние между их изображениями. Следовательно, отношение (частное) двух отрезков остается неизменным. ${\displaystyle P:\mathbf {p} ,\;Q:\mathbf {q} }$ ${\displaystyle |\mathbf {p} -\mathbf {q} |}$ ${\displaystyle |k\mathbf {p} -k\mathbf {q} |=|k||\mathbf {p} -\mathbf {q} |}$

В случае расчета все аналогично, но немного сложнее. ${\displaystyle S\neq O}$

Следствия: Треугольник отображается на подобный . Гомотетическим образом круга является круг. Изображением эллипса является подобный. т.е. отношение двух осей не меняется.

С теоремой о перехвате

Графические конструкции

используя теорему о перехвате

Если для гомотетии с центром задано изображение точки (см. рисунок), то изображение второй точки , не лежащей на одной прямой, можно построить графически с помощью теоремы о перехвате: является общей точкой двух прямых и . Изображение точки, коллинеарной с , можно определить с помощью . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle SP_{1}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {SP_{2}}}}$ ${\displaystyle P_{1},Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{2},Q_{2}}$

Пантограф

Геометрический фон

3D-рендеринг пантографа

с помощью пантографа

До того, как компьютеры стали повсеместными, масштабирование чертежей выполнялось с помощью пантографа — инструмента, похожего на циркуль .

Конструкция и геометрический фон:

1. Возьмите 4 стержня и соберите подвижный параллелограмм с вершинами так, чтобы два стержня, встречающиеся в , были продолжены на другом конце, как показано на рисунке. Выберите отношение . ${\displaystyle P_{0},Q_{0},H,P}$ ${\displaystyle Q_{0}}$ ${\displaystyle k}$
2. На удлиненных стержнях отметьте две точки так, что и . Это имеет место, если (Вместо расположения центра можно задать. В этом случае отношение равно .) ${\displaystyle S,Q}$ ${\displaystyle |SQ_{0}|=k|SP_{0}|}$ ${\displaystyle |QQ_{0}|=k|HQ_{0}|}$ ${\displaystyle |SQ_{0}|={\tfrac {k}{k-1}}|P_{0}Q_{0}|.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k=|SQ_{0}|/|SP_{0}|}$
3. Прикрепите подвижные стержни с возможностью вращения в точке . ${\displaystyle S}$
4. Меняйте местоположение точки и отметки в каждый момент времени . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Из (см. диаграмму) следует из теоремы о перехвате , что точки коллинеарны (лежат на одной прямой) и уравнение выполняется. Это показывает: отображение является гомотетией с центром и отношением . ${\displaystyle |SQ_{0}|/|SP_{0}|=|Q_{0}Q|/|PP_{0}|}$ ${\displaystyle S,P,Q}$ ${\displaystyle |SQ|=k|SP|}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$

Состав

Композиция двух гомотетий с центрами и отношениями, отображающими отношение, снова является гомотетией с центром на прямой с отношением . ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle k_{1}=2,k_{2}=0{.}3}$ ${\displaystyle P_{i}\to Q_{i}\to R_{i}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$ ${\displaystyle k\cdot l=0{.}6}$

• Композиция двух гомотетий с одним и тем же центром снова является гомотетией с центром . Гомотетии с центром образуют группу . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
• Композиция двух гомотетий с разными центрами и ее соотношениями ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$

в случае гомотетии с центром на линии и отношением или ${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$ ${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$ ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$

в случае перевода в направлении . Особенно, если ( точечные отражения ). ${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$ ${\displaystyle k_{1}=k_{2}=-1}$

Вывод:

Для композиции двух гомотетий с центрами с ${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle \sigma _{1}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1}),}$

${\displaystyle \sigma _{2}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{2}+k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{2})\ }$

для изображения точки получаем расчетом : ${\displaystyle X:\mathbf {x} }$

${\displaystyle (\sigma _{2}\sigma _{1})(\mathbf {x} )=\mathbf {s} _{2}+k_{2}{\big (}\mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1})-\mathbf {s} _{2}{\big )}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \ =(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}+k_{1}k_{2}\mathbf {x} }$.

Таким образом, композиция имеет вид

в случае перемещения в направлении вектора . ${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$ ${\displaystyle \ (1-k_{2})(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$

в случае точки ${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$

${\displaystyle S_{3}:\mathbf {s} _{3}={\frac {(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}}{1-k_{1}k_{2}}}=\mathbf {s} _{1}+{\frac {1-k_{2}}{1-k_{1}k_{2}}}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$

является фиксированной точкой (не перемещается) и композиция

${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}:\ \mathbf {x} \to \mathbf {s} _{3}+k_{1}k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{3})\quad }$.

является гомотетией с центром и отношением . лежит на прямой . ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$

Сочинение с переводом

• Композиция гомотетии и трансляции есть гомотетия.

Вывод:

Состав гомотетии

${\displaystyle \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} ),\;k\neq 1,\;}$и перевод

${\displaystyle \tau :\mathbf {x} \to \mathbf {x} +\mathbf {v} }$является

${\displaystyle \tau \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +\mathbf {v} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$

${\displaystyle =\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}+k\left(\mathbf {x} -(\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}})\right)}$

которая является гомотетией с центром и отношением . ${\displaystyle \mathbf {s} '=\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}}$ ${\displaystyle k}$

В однородных координатах

Гомотетию с центром можно записать как композицию гомотетии с центром и трансляции: ${\displaystyle \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$ ${\displaystyle S=(u,v)}$ ${\displaystyle O}$

${\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} +(1-k)\mathbf {s} }$.

Следовательно, можно представить в однородных координатах матрицей: ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}k&0&(1-k)u\\0&k&(1-k)v\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Чистое гомотетическое линейное преобразование также является конформным , поскольку оно состоит из переноса и равномерного масштабирования.

Смотрите также

• Масштабирование (геометрия) аналогичное понятие в векторных пространствах
• Центр гомотетичности , центр гомотетического преобразования, переводящего одну из пары фигур в другую.
• Гипотеза Хадвигера о числе строго меньших гомотетических копий выпуклого тела, которые могут потребоваться для его покрытия
• Гомотетическая функция (экономика) , функция вида f ( U ( y )), в которой U — однородная функция , а f — монотонно возрастающая функция .

Примечания

1. Адамар, стр. 145)
2. Туллер (1967, стр. 119)

Ссылки

• Х. С. М. Коксетер, «Введение в геометрию», Wiley (1961), стр. 94
• Адамар, Ж. , Уроки плоской геометрии
• Месерв, Брюс Э. (1955), «Гомотетические преобразования», «Основные понятия геометрии» , Эддисон-Уэсли , стр. 166–169
• Туллер, Аннита (1967), Современное введение в геометрию , Университетская серия по математике для студентов бакалавриата, Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Co.

Внешние ссылки

• Гомотетия, интерактивный апплет от Cut-the-Knot .