Гомотопическая группа

Алгебраическая конструкция, классифицирующая топологические пространства

В математике гомотопические группы используются в алгебраической топологии для классификации топологических пространств . Первая и самая простая гомотопическая группа — это фундаментальная группа , обозначаемая которая записывает информацию о петлях в пространстве . Интуитивно, гомотопические группы записывают информацию о базовой форме, или дырках , топологического пространства. ${\displaystyle \pi _{1}(X),}$

Чтобы определить n -ю гомотопическую группу, отображения, сохраняющие базовую точку, из n -мерной сферы (с базовой точкой ) в заданное пространство (с базовой точкой) собираются в классы эквивалентности , называемые гомотопическими классами . Два отображения гомотопны, если одно из них может быть непрерывно деформировано в другое. Эти гомотопические классы образуют группу , называемую n -й гомотопической группой , заданного пространства X с базовой точкой. Топологические пространства с различными гомотопическими группами никогда не являются гомеоморфными , но топологические пространства, которые не являются гомеоморфными, могут иметь одинаковые гомотопические группы. ${\displaystyle \pi _{n}(X),}$

Понятие гомотопии путей было введено Камиллой Жорданом . ^[1]

Введение

В современной математике принято изучать категорию , связывая с каждым объектом этой категории более простой объект, который все еще сохраняет достаточную информацию об интересующем объекте. Гомотопические группы являются таким способом связывания групп с топологическими пространствами.

Тор​

Сфера​

Эта связь между топологией и группами позволяет математикам применять идеи из теории групп к топологии . Например, если два топологических объекта имеют разные гомотопические группы, они не могут иметь одну и ту же топологическую структуру — факт, который может быть трудно доказать, используя только топологические средства. Например, тор отличается от сферы : у тора есть «дырка», а у сферы — нет. Однако, поскольку непрерывность (основное понятие топологии) имеет дело только с локальной структурой, может быть сложно формально определить очевидное глобальное различие. Однако гомотопические группы несут информацию о глобальной структуре.

Что касается примера: первая гомотопическая группа тора есть потому, что универсальная оболочка тора есть отображение евклидовой плоскости в тор Здесь фактор находится в категории топологических пространств, а не групп или колец. С другой стороны, сфера удовлетворяет: потому что каждая петля может быть стянута до постоянного отображения (см. гомотопические группы сфер для этого и более сложных примеров гомотопических групп). Следовательно, тор не гомеоморфен сфере. ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \pi _{1}(T)=\mathbb {Z} ^{2},}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.}$ ${\displaystyle S^{2}}$ $${\displaystyle \pi _{1}\left(S^{2}\right)=0,}$$

Определение

В n -сфере мы выбираем базовую точку a . Для пространства X с базовой точкой b мы определяем как множество гомотопических классов отображений , которые отображают базовую точку a в базовую точку b . В частности, классы эквивалентности задаются гомотопиями, которые постоянны на базовой точке сферы. Эквивалентно, определяем как группу гомотопических классов отображений из n -куба в X , которые переводят границу n -куба в b . ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ $${\displaystyle f:S^{n}\to X\mid f(a)=b}$$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle g:[0,1]^{n}\to X}$

Состав в основной группе

Для гомотопических классов образуется группа . Чтобы определить групповую операцию, напомним, что в фундаментальной группе произведение двух циклов определяется установкой ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle f\ast g}$ ${\displaystyle f,g:[0,1]\to X}$ $${\displaystyle f*g={\begin{cases}f(2t)&t\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t-1)&t\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$$

Идея композиции в фундаментальной группе заключается в последовательном прохождении первого и второго пути или, что эквивалентно, в соединении их двух областей. Концепция композиции, которую мы хотим для n -й гомотопической группы, та же самая, за исключением того, что теперь области, которые мы склеиваем, являются кубами, и мы должны склеить их вдоль грани. Поэтому мы определяем сумму отображений формулой ${\displaystyle f,g:[0,1]^{n}\to X}$ $${\displaystyle (f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})={\begin{cases}f(2t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$$

Для соответствующего определения в терминах сфер, определим сумму карт, которые необходимо составить с помощью h , где — отображение из в клиновидную сумму двух n -сфер, которая схлопывает экватор, а h — отображение из клиновидной суммы двух n -сфер в X , которое определяется как f на первой сфере и g на второй. ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle f,g:S^{n}\to X}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle S^{n}}$

Если то абелева . ^[2] Далее, подобно фундаментальной группе, для линейно связного пространства любые два выбора базовой точки приводят к изоморфным ^[3 ] ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}.}$

Возникает соблазн попытаться упростить определение гомотопических групп, опустив базовые точки, но это обычно не работает для пространств, которые не являются просто связными , даже для пространств с путевой связностью. Множество гомотопических классов отображений сферы в пространство с путевой связностью не является гомотопической группой, но по сути является множеством орбит фундаментальной группы на гомотопической группе и в общем случае не имеет естественной групповой структуры.

Выход из этих трудностей был найден путем определения высших гомотопических группоидов отфильтрованных пространств и n -кубов пространств. Они связаны с относительными гомотопическими группами и n -адическими гомотопическими группами соответственно. Высшая гомотопическая теорема Ван Кампена позволяет затем вывести некоторую новую информацию о гомотопических группах и даже о гомотопических типах. Для получения дополнительной информации и ссылок см. "Higher dimensional group theory" и ссылки ниже.

Гомотопические группы и дырки

Топологическое пространство имеет дыру с d -мерной границей тогда и только тогда, когда оно содержит d -мерную сферу, которая не может быть непрерывно сжата в одну точку. Это выполняется тогда и только тогда, когда существует отображение , которое не гомотопно постоянной функции . Это выполняется тогда и только тогда, когда d -я гомотопическая группа X не является тривиальной. Короче говоря, X имеет дыру с d -мерной границей, тогда и только тогда, когда . ${\textstyle S^{d}\to X}$ ${\displaystyle \pi _{d}(X)\not \cong 0}$

Длинная точная последовательность расслоения

Пусть будет сохраняющим базовую точку расслоением Серра со слоем , то есть отображением, обладающим свойством гомотопического подъема относительно комплексов CW . Предположим, что B линейно связно. Тогда существует длинная точная последовательность гомотопических групп ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle F,}$ $${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to 0.}$$

Здесь отображения, включающие , не являются групповыми гомоморфизмами , поскольку не являются группами, но они точны в том смысле, что образ равен ядру . ${\displaystyle \pi _{0}}$ ${\displaystyle \pi _{0}}$

Пример: расслоение Хопфа . Пусть B равно и E равно Пусть p будет расслоением Хопфа , которое имеет волокно Из длинной точной последовательности ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{3}.}$ ${\displaystyle S^{1}.}$ $${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(S^{1})\to \pi _{n}(S^{3})\to \pi _{n}(S^{2})\to \pi _{n-1}(S^{1})\to \cdots }$$

и тот факт, что для мы находим, что для В частности, ${\displaystyle \pi _{n}(S^{1})=0}$ ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle \pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})}$ ${\displaystyle n\geq 3.}$ ${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})=\pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z} .}$

В случае пространства покрытия, когда слой дискретен, мы имеем , изоморфное для , которое инъективно вкладывается в для всех положительных и что подгруппа , которая соответствует вложению , имеет смежные классы во взаимно однозначном соответствии с элементами слоя. ${\displaystyle \pi _{n}(E)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(B)}$ ${\displaystyle n>1,}$ ${\displaystyle \pi _{n}(E)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(B)}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(E)}$

Когда расслоение является волокном отображения , или, что двойственно, корасслоение является конусом отображения , то результирующая точная (или, что двойственно, коточная) последовательность задается последовательностью Пуппе .

Однородные пространства и сферы

Существует множество реализаций сфер как однородных пространств , которые предоставляют хорошие инструменты для вычисления гомотопических групп групп Ли и классификации главных расслоений на пространствах, состоящих из сфер.

Специальная ортогональная группа

Существует волокнистость ^[4]

$${\displaystyle SO(n-1)\to SO(n)\to SO(n)/SO(n-1)\cong S^{n-1}}$$

дающий длинную точную последовательность

$${\displaystyle \cdots \to \pi _{i}(SO(n-1))\to \pi _{i}(SO(n))\to \pi _{i}\left(S^{n-1}\right)\to \pi _{i-1}(SO(n-1))\to \cdots }$$

который вычисляет гомотопические группы низкого порядка для так как -связно . В частности, существует расслоение ${\displaystyle \pi _{i}(SO(n-1))\cong \pi _{i}(SO(n))}$ ${\displaystyle i<n-1,}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle (n-2)}$

$${\displaystyle SO(3)\to SO(4)\to S^{3}}$$

чьи нижние гомотопические группы могут быть вычислены явно. Так как и существует расслоение ${\displaystyle SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3},}$

$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\to S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}}$$

мы имеем для Используя это, и тот факт, что это может быть вычислено с помощью системы Постникова , мы имеем длинную точную последовательность ${\displaystyle \pi _{i}(SO(3))\cong \pi _{i}(S^{3})}$ ${\displaystyle i>1.}$ ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \to {}&\pi _{4}(SO(3))\to \pi _{4}(SO(4))\to \pi _{4}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{3}(SO(3))\to \pi _{3}(SO(4))\to \pi _{3}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{2}(SO(3))\to \pi _{2}(SO(4))\to \pi _{2}(S^{3})\to \cdots \\\end{aligned}}}$$

Так как у нас есть Также, средняя строка дает , так как связующее отображение тривиально. Также, мы можем знать, имеет два кручения. ${\displaystyle \pi _{2}\left(S^{3}\right)=0}$ ${\displaystyle \pi _{2}(SO(4))=0.}$ ${\displaystyle \pi _{3}(SO(4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} =\pi _{3}\left(\mathbb {RP} ^{3}\right)}$ ${\displaystyle \pi _{4}(SO(4))}$

Применение к сферическим пучкам

Милнор ^[5] использовал этот факт для классификации 3-сферных расслоений над в частности, он смог найти экзотические сферы , которые являются гладкими многообразиями, называемыми сферами Милнора, только гомеоморфными, но не диффеоморфными . Обратите внимание, что любое сферическое расслоение может быть построено из -векторного расслоения , которое имеет структурную группу, поскольку может иметь структуру ориентированного риманова многообразия . ${\displaystyle \pi _{3}(SO(4))=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{4},}$ ${\displaystyle S^{7},}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle SO(4)}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Комплексное проективное пространство

Существует волокнистость.

$${\displaystyle S^{1}\to S^{2n+1}\to \mathbb {CP} ^{n}}$$

где находится единичная сфера в Эту последовательность можно использовать, чтобы показать односвязность для всех ${\displaystyle S^{2n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}.}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Методы расчета

Расчет гомотопических групп в целом гораздо сложнее, чем некоторые другие гомотопические инварианты, изучаемые в алгебраической топологии. В отличие от теоремы Зейферта–ван Кампена для фундаментальной группы и теоремы об вырезании для сингулярных гомологий и когомологий , не существует простого известного способа вычисления гомотопических групп пространства путем разбиения его на меньшие пространства. Однако методы, разработанные в 1980-х годах с использованием теоремы типа ван Кампена для высших гомотопических группоидов, позволили провести новые вычисления гомотопических типов и так далее для гомотопических групп. Пример результата см. в статье Эллиса и Михайлова 2010 года. ^[6]

Для некоторых пространств, таких как торы , все высшие гомотопические группы (то есть вторые и высшие гомотопические группы) тривиальны . Это так называемые асферические пространства . Однако, несмотря на интенсивные исследования по вычислению гомотопических групп сфер, даже в двух измерениях полный список неизвестен. Для вычисления даже четвертой гомотопической группы единицы требуются гораздо более продвинутые методы, чем можно было бы предположить из определений. В частности, спектральная последовательность Серра была построена именно для этой цели. ${\displaystyle S^{2}}$

Некоторые гомотопические группы n -связных пространств можно вычислить путем сравнения с группами гомологий с помощью теоремы Гуревича .

Список методов вычисления гомотопических групп

• Длинная точная последовательность гомотопических групп расслоения.
• Теорема Гуревича , имеющая несколько версий.
• Теорема Блейкерса–Месси , также известная как теорема об исключении гомотопических групп .
• Теорема Фрейденталя о подвеске , следствие вырезания для гомотопических групп.

Относительные гомотопические группы

Существует также полезное обобщение гомотопических групп, называемое относительными гомотопическими группами для пары , где A является подпространством ${\displaystyle \pi _{n}(X),}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$ ${\displaystyle (X,A),}$ ${\displaystyle X.}$

Конструкция мотивирована наблюдением, что для включения существует индуцированное отображение на каждой гомотопической группе , которое в общем случае не является инъекцией. Действительно, элементы ядра известны путем рассмотрения представителя и взятия базисной гомотопии к постоянному отображению или, другими словами, в то время как ограничение на любой другой граничный компонент является тривиальным. Следовательно, мы имеем следующую конструкцию: ${\displaystyle i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),}$ ${\displaystyle i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle f:I^{n}\to X}$ ${\displaystyle F:I^{n}\times I\to X}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle H_{I^{n}\times 1}=f,}$ ${\displaystyle I^{n+1}}$

Элементами такой группы являются гомотопические классы базовых отображений , которые переносят границу в A. Два отображения называются гомотопными относительно A , если они гомотопны посредством гомотопии, сохраняющей базовую точку, такой, что для каждого p в и t в элемент находится в A. Обратите внимание, что обычные гомотопические группы восстанавливаются для особого случая, в котором есть синглетон, содержащий базовую точку. ${\displaystyle D^{n}\to X}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle F:D_{n}\times [0,1]\to X}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle F(p,t)}$ ${\displaystyle A=\{x_{0}\}}$

Эти группы являются абелевыми для , но для образуют верхнюю группу скрещенного модуля с нижней группой ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \pi _{1}(A).}$

Существует также длинная точная последовательность относительных гомотопических групп, которую можно получить с помощью последовательности Пуппе :

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)\to \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n-1}(A)\to \cdots }$

Связанные понятия

Гомотопические группы являются основополагающими для гомотопической теории , которая в свою очередь стимулировала развитие модельных категорий . Можно определить абстрактные гомотопические группы для симплициальных множеств .

Группы гомологий похожи на группы гомотопий в том, что они могут представлять «дыры» в топологическом пространстве. Однако группы гомотопий часто очень сложны и их трудно вычислить. Напротив, группы гомологий коммутативны (как и высшие гомотопические группы). Поэтому иногда говорят, что «гомология — это коммутативная альтернатива гомотопии». ^[7] Для данного топологического пространства его n -я гомотопическая группа обычно обозначается как , а его n -я группа гомологий обычно обозначается как ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X),}$ ${\displaystyle H_{n}(X).}$

Смотрите также

• Фибрация
• волокнистость Хопфа
• инвариант Хопфа
• Теория узлов
• Гомотопический класс
• Гомотопические группы сфер
• Топологический инвариант
• Гомотопическая группа с коэффициентами
• Остроконечный набор

Примечания

1. Мари Эннемон Камилла Джордан
2. Для доказательства этого, обратите внимание, что в двух измерениях или больше, две гомотопии могут быть «повернуты» вокруг друг друга. См. аргумент Экмана–Хилтона .
3. см . раздел 4.1 Аллен Хэтчер#Книги .
4. Husemoller, Dale (1994). Расслоения волокон . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 20. Springer. стр. 89. doi : 10.1007/978-1-4757-2261-1 .
5. Милнор, Джон (1956). «О многообразиях, гомеоморфных 7-сфере». Annals of Mathematics . 64 : 399–405.
6. Эллис, Грэм Дж.; Михайлов, Роман (2010). «Копредел классифицирующих пространств». Успехи математики . 223 (6): 2097–2113. arXiv : 0804.3581 . doi : 10.1016/j.aim.2009.11.003 . MR  2601009.
7. Wildberger, NJ (2012). "Введение в гомологию". Архивировано из оригинала 2021-12-12.

Ссылки

• Рональд Браун , «Группоиды и скрещенные объекты в алгебраической топологии», Гомология, гомотопия и приложения , 1 (1999) 1–78.
• Рональд Браун , Филип Дж. Хиггинс, Рафаэль Сивера, Неабелева алгебраическая топология: отфильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды, EMS Tracts in Mathematics Vol. 15, 703 страницы, Европейское математическое общество, Цюрих, 2011. doi : 10.4171/083 MR 2841564
• Чех, Эдуард (1932), "Höhersizede Homotopiegruppen", Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Цюрих.
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1
• «Гомотопическая группа», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Хопф, Хайнц (1931), «Über die Abbildungen der drei Dimensionen Sphäre auf die Kugelfläche», Mathematische Annalen , 104 (1): 637–665, doi : 10.1007/BF01457962.
• Кампс, Клаус Х.; Портер, Тимоти (1997). Абстрактная гомотопия и простая гомотопическая теория . River Edge, NJ: World Scientific Publishing. doi :10.1142/9789812831989. ISBN 981-02-1602-5. МР  1464944.
• Тода, Хироси (1962). Методы композиции в гомотопических группах сфер . Annals of Mathematics Studies. Том 49. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 0-691-09586-8. МР  0143217.
• Уайтхед, Джордж Уильям (1978). Элементы теории гомотопий. Graduate Texts in Mathematics. Т. 61 (3-е изд.). Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. С. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. МР  0516508.