Теорема Гурвица (теория чисел)

Теорема теории чисел, дающая оценку диофантовому приближению.

В теории чисел теорема Гурвица , названная в честь Адольфа Гурвица , дает оценку диофантовой аппроксимации . Теорема утверждает, что для каждого иррационального числа ξ существует бесконечно много относительно простых целых чисел m , n таких, что $${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}.}$$

Условие иррациональности ξ опустить нельзя. Более того, константа является наилучшей из возможных; если мы заменим любым числом и положим ( золотое сечение ), то существует только конечное число относительно простых целых чисел m , n таких, что приведенная выше формула выполняется. ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle A>{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle \xi =(1+{\sqrt {5}})/2}$

Теорема эквивалентна утверждению, что постоянная Маркова каждого числа больше . ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

Смотрите также

• Аппроксимационная теорема Дирихле
• Число Лангранжа

Рекомендации

• Гурвиц, А. (1891). «Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durchrationale Brüche» [О приближенном представлении иррациональных чисел рациональными дробями]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 39 (2): 279–284. дои : 10.1007/BF01206656. ЖФМ  23.0222.02. S2CID  119535189.
• Г.Х. Харди , Эдвард М. Райт, Роджер Хит-Браун, Джозеф Сильверман, Эндрю Уайлс (2008). «Теорема 193». Введение в теорию чисел (6-е изд.). Оксфордские научные публикации. п. 209. ИСБН 978-0-19-921986-5.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Левек, Уильям Джадсон (1956). Темы теории чисел . Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Ридинг, Массачусетс, MR  0080682.
• Иван Нивен (2013). Диофантовые приближения . Курьерская корпорация. ISBN 978-0486462677.